24 Определение расстояния от точки до плоскости

- Как вам не стыдно! Вы тут сидите, а я вас там ищу!

- Надо было искать не там, - заметил попугай, - надо было искать тут.

Григорий Остер

Вот и нам с вами, для того, чтобы определить расстояние от точки до плоскости, тоже нужно знать, где искать и, главное, что. Расстояние от точки до плоскости есть не что иное, как перпендикуляр, опущенный из точки на заданную плоскость. Давайте разберем все подробно.

Если в задаче дана плоскость общего положения, то для того, чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтали этой плоскости. Построение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных геометрических построений.

Решение задачи упрощается, если плоскость занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае и проведение перпендикуляра, и построение точки его встречи с плоскостью осуществляется без каких-либо дополнительных вспомогательных построений.

Задача: Определить расстояние от точки А до плоскости γ, плоскость γ задана следами (рисунок 106).

Решение: Плоскость γ является плоскостью частного положения – она расположена перпендикулярно фронтальной плоскости проекций и является фронтально-проецирующей. Исходя из этого, можно на фронтальной проекции получить ответ задачи, построив перпендикуляр к фронтальному следу γ2. В самом деле, посмотрите на рисунок 107 – если провести перпендикуляр из точки А к плоскости γ, то через фронтальную проекцию точки А2 нужно провести перпендикулярную прямую к γ2, а через горизонтальную проекцию А1 - к горизонтальному следу плоскости γ1. Точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью будет точка пересечения его фронтальной проекции с фронтальным следом плоскости γ2 – К2. Горизонтальную проекцию точки К – К1 следует достроить на горизонтальной проекции перпендикуляра. Отрезок |АК| выражает расстояние от точки А до заданной плоскости, причем он спроецирован в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, т.к. прямая, заданная этим отрезком является фронтальной линией уровня. Таким образом, измерив линейкой расстояние |А2К2| в мм Вы получите ответ задачи.

Для решения подобной задачи с плоскостью общего положения нужно уметь проводить перпендикуляр к плоскости общего положения, решать задачу на точку встречи прямой с плоскостью и определять натуральную величину отрезка методом прямоугольного треугольника. В следующей задаче мы попробуем все это сделать.

Задача: Определить расстояние от точки В до плоскости, заданной параллельными прямыми l и t (рисунок 108).

Решение : Чтобы провести перпендикуляр из точки на плоскость, в плоскости необходимо построить горизонталь и фронталь. Проведем фронтальную проекцию горизонтали на произвольном расстоянии от оси ОХ параллельно ей. Выбирайте положение горизонтали так, чтобы она имела две точки пересечения с заданной плоскостью (рисунок 109). Обозначив точки пересечения горизонтали с прямыми Т2 и К2, построим их горизонтальные проекции на соответствующих горизонтальных проекциях прямых l и t. Через точки Т1 и К1 пройдет горизонтальная проекция прямой h2.

Аналогичным образом построим фронталь в плоскости параллельных прямых l, t (рисунок 110). Теперь мы имеем возможность провести из точки В прямую, перпендикулярную заданной плоскости. Надеюсь, Вы не забыли как это делается. Давайте повторим: фронтальная проекция перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной прекции горизонтали.

Перпендикулярная прямая построена на рисунке 111.

Следующим действием необходимо определить точку пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью. Для этого надо перпендикуляр заключить во фронтально проецирующую плоскость и построить линию пересечения этой плоскости с заданной (для построения точки встречи можно было использовать и горизонтально-проецирующую плоскость). В той точке, где линия пересечения плоскостей пересечет прямую, перпендикулярную плоскости будет находиться точка встречи перпендикуляра с плоскостью. На рисунке 112 это точка О (О1, О2). Для завершения задачи необходимо определить натуральную величину отрезка |ВО| методом прямоугольного треугольника, что выполнено на рисунке 113. Ответ задачи выражается длиной гипотенузы треугольника в мм.

Таким образом, алгоритм решения задачи на определение расстояния от точки до плоскости сводится к следующему:

1)построить в плоскости произвольные горизонталь и фронталь;

2)провести проекции перпендикуляра из точки к плоскости;

3)построить точку пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью;

4)определить натуральную величину отрезка, выражающего расстояние от точки до плоскости.

Кроме задач на определение расстояния от точки до плоскости подобным образом решаются задачи следующих типов: определение расстояния между прямой и плоскостью, определение расстояния между плоскостями, определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость.

Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые (рисунок 114). Для того, чтобы через скрещивающиеся прямые m и f провести взаимно параллельные плоскости, достаточно через точку А, взятую на прямой m, провести прямую t, параллельную прямой f, а через точку В, взятую на прямой f, провести прямую g, параллельную прямой m. Пересекающиеся прямые m и g, f и t определяют взаимно параллельные плоскости (рисунок 115).

Рисунок 114

Рисунок 115