Начертательная геометрия и инженерная графика. Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для обучающихся по направлениям

Рис. 11. Деление углов на три равных сегмента

6. Деление окружности и построение правильных многоугольников

При построении правильных многоугольников рассматривают их вписанными в окружность. Деление окружности с помощью циркуля и линейки может быть произведено на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 24 и 32 части, на другое количество частей (с 7, не включая перечисленные и кратные им) окружность может быть разделена только приближенно (по теореме Гаусса).

6.1. Деление окружности на три равные части

Из т. В как из центра радиусом этой окружности проводим дугу, пересекающую заданную окружность в т. С и D. Точки А, С и D делят окружность на три равные части, а треугольник, построенный соединением этих точек прямыми линиями, будет равносторонним

(рис. 12).

A

CD B

Рис. 12. Деление окружности на три равные чести

11

6.2. Деление окружности на четыре равные части

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Точки А, С, В и D делят данную окружность на четыре равные части, а фигура, полученная соединением этих точек, является квадратом

(рис. 13).

A

B

Рис. 13. Деление окружности на четыре равные части

6.3. Деление окружности на пять равных частей

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Разделим радиус OD пополам. Из середины этого радиуса — т. К — как из центра проведем дугу радиусом КА до пересечения с диаметром CD в т. М. Отрезок AM есть сторона вписанного пятиугольника; засекая этим отрезком данную окружность последовательно пять раз и соединив эти точки, получим правильный пятиугольник (рис. 14).

A

C M O K D

Рис. 14. Деление окружности на пять равных частей

12

6.4. Деление окружности на шесть равных частей

Проводим в данной окружности диаметр. Из его концов как из центров проводим дуги радиусом данной окружности до пересечения с ней. Концы диаметров и точки пересечения дуг делят окружность на шесть равных частей, а фигура, полученная последовательным соединением этих точек, будет правильным шестиугольником. Делением полученных дуг пополам получим двенадцатиугольник и т.д. (рис. 15).

Рис. 15. Деление окружности на шесть равных частей

6.5. Деление окружности на восемь равных частей

Окружность делим двумя взаимно перпендикулярными диаметрами на четыре части, каждую часть делим пополам. Аналогично выполняется деление окружности на 16, 32 и т.д. равных частей

(рис. 16).

Рис. 16. Деление окружности на восемь равных частей

13

7. Построение правильного многоугольника по заданной стороне

Построим правильный многоугольник по заданной стороне а. В этом случае радиус описанной окружности выбирается по данным таблицы по заданной длине стороны:

7.1. Построение многоугольников по заданной высоте

Построение многоугольника по заданной высоте возможно на основании приведенных зависимостей:

А3= 1,155Н; А4 = 0,707Н; А5 = 0,650Н; А6 = 0,577Н; А8 = 0,414Н,

где А — сторона многоугольника; Н — высота.

Например, построим пятиконечную звезду высотой 2 м. Сторона пятиугольника, в котором будет построена звезда, согласно указанным соотношениям, равна 1,3 м.

8. Уклон и конусность

Некоторые детали имеют конические поверхности и наклонные плоскости, для построения которых необходимы приемы выполнения на чертежах уклонов и конусности.

Уклон прямой линии есть тангенс угла наклона (tg α), т.е. отношение катетов образованного прямого угла (рис. 17).

A

K B

Рис. 17. Уклон прямой

14

Уклон прямой линии может быть задан отношением чисел, например 1:5, или в процентах, например 20 %. Перед числом, определяющим уклон, ставят знак уклона , острый угол которого должен быть направлен в сторону падения линии. На рис. 17 показано построение уклона (1:7) прямой АС. На прямой АВ от т. А откладываем отрезок АК, равный семи единицам. Из т. К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ. На перпендикуляре откладываем отрезок КМ, равный единице. Прямые АС и АВ составляют угол, определяемый уклоном 1:7.

Построение уклона, заданного в процентах, аналогично число-

вому.

Конические формы деталей, изображаемых на чертежах, указываются величиной их конусности. Конусность есть отношение диаметра D основания прямого кругового конуса к его высоте Н. В усеченном конусе конусность выражается отношением разности диаметров оснований к высоте.

Перед числовым значением конусности проставляют знак конусности, острый угол которого должен быть направлен в сторону вершины конической поверхности (рис. 18).

1:10

10

100

Рис. 18. Конусность

9. Сопряжения и касательные

Сопряжение — плавный переход между различными дугами, а также дугами и прямыми. Точка плавного перехода одной линии в другую называется точкой сопряжения.

Точка, равноудаленная от сопрягаемых линий, называется

центром сопряжения.

Все построения сопряжений сводятся к двум случаям: 1) построение касательных прямых к дугам;

15

2) построение сопряжений между двумя различными дугами. Положение 1: касание прямой к дуге окружности (рис. 19)

возможно только тогда, когда их общая точка (точка касания К) лежит на перпендикуляре к заданной прямой, проходящей через центр этой дуги.

Положение 2: сопряжение двух различных дуг (рис. 20) возможно только тогда, когда их общая точка (точка сопряжения С) лежит на линии, соединяющей оба центра сопрягаемых дуг.

Положение 3: скругление угла заданной дугой (рис. 21) сводится к построению двух касательных к этой дуге. Для построения скругления угла должно быть задано положение одной из точек касания, или центра дуги, или радиуса дуги.

O

R

K

Рис. 21. Положение 3

16

9.1. Построение касательной к заданной окружности (радиуса R), проходящей через точку а

1-й способ построения (рис. 22):

а) проводим вспомогательную дугу радиусом АО;

б) на этой дуге строим хорду ОВ, равную 2R, которая засекает на окружности искомую точку касания К.

2-й способ построения (рис. 23):

а) соединяем центр окружности и т. А прямой линией; б) делим отрезок АО пополам;

в) из центра деления проводим дугу, радиус которой равен половине отрезка ОА. Пересечение этой дуги с данной окружностью определяет точку касания К.

9.3. Построение сопряжения к двум заданным окружностям

Задача заключается в отыскании точек сопряжения, если задан радиус, или нахождении радиуса дуги сопряжения, если задана точка сопряжения. Существуют 2 решения: построение внешнего (центры О1 и О2 окружности) или внутреннего (рис. 26) сопряжений

окружностей с центрами О1 и О2.

R1

R1

R1 - R2

Рис. 26. Сопряжение к двум заданным окружностям

10. Плоские кривые

Плоские кривые линии делятся на лекальные кривые и циркульные.

Лекальными кривыми называются такие линии, которые вычерчиваются при помощи лекала. К лекальным кривым относятся следующие:

кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола, которые называют коническими кривыми, полученными при сечении

19

прямого кругового конуса плоскостью, занимающей различное взаиморасположение;

циклические: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, полученные траекторией движения точки, принадлежащей окружности, которая катится по прямой или кривой без скольжения;

эвольвента окружности, получаемая при качении прямой линии без скольжения;

синусоида, косинусоида — синусоидальные кривые, получающиеся при колебательных процессах;

спиральные кривые и др.

Вычерчивание эллипса

Вычерчивание эллипсов может быть осуществлено разными способами.

Аналитический способ (рис. 27, а): даны большая АВ и малая

CD оси. На большой оси задаются т. Г1 и Г2, которые называются фокусами. Сумма расстояний от двух фокусов до любой точки кривой есть величина постоянная. Для т. I — радиусы r1 и r2 из фокуса Г как из центра радиусом Г1 делаем засечку, из фокуса Г2 как из центра радиусом r2 проводим дугу. Пересечение этих дуг дает т. 1.

Аналогично для т. II: радиусами здесь будут расстояния Г — А, Г2 — В и т.п.

Технический способ заключается в делении большой окружности на двенадцать равных частей и проведении линий из точек пересечения: с большой окружностью II малой оси, с малой окружностью II большой оси (рис. 27, б);

Проектно-аффинный способ построения показан на рис. 27, в.

Способ построения по прямоугольнику, если заданы оси, пока-

зан на рис. 27, г.

20