Надежность АСОИУ. Методические указания

A2(G0, G1) − отказ произошел; A3(G1, G0) − восстановление произошло; A4(G1, G1) − восстановление не произошло. Тогда

P0 (t + ∆t) = P( A1 ) + P( A3 ) = P0 (t)(1 −λ∆t) + P1 (t)µ∆t;

P1 (t + ∆t) = P( A2 ) + P( A4 ) = P0 (t)λ∆t + P1 (t)(1 −µ∆t).

Или

P0 (t + ∆t) − P0 (t) = −λP0 (t) +µP1 (t); ∆t

P1 (t + ∆t) − P1 (t) = λP0 (t) +µP1 (t).

∆t

Решение системы при начальных условиях P0(t) = 1 и P1(t) = 1, т.е. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид

Если в начальный момент времени система неработоспособна, то P0(0) = 0, P1(0) = 1 и решение системы имеет вид

При t → ∞ независимо от начального состояния системы (G0 или G1) вероятности P0 (t) = Kг , P1(t) стремятся к постоянным значениям:

Kг (t) = λ+µµ ; P1 (t) = λ+µλ .

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным

21

свойством называется эргодической, а сам процесс − марковским случайным процессом. Случайный процесс называется марковским,

если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 – Граф состояний резервированной системы

В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния: G0 − исправное, G1 − неисправное, но работоспособное, G2 − неработоспособное.

Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

Система составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак «минус», если стрелка исходит из данного состояния, а знак «плюс» – если стрелка

22

направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова.

Например, для графа состояний, показанного на рисунке 4.2, получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t → ∞ справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

В соответствии с этой теоремой при t → ∞ производная dPdti (t) →0 и

система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений

−λ01P0 (t) −λ02 P0 (t) +µ10 P1 (t) +µ20 P2 (t) = 0,λ01P0 (t) −µ10 P1 (t) +λ12 P2 (t) = 0,

λ02 P0 (t) +λ12 P1 (t) −µ20 P2 (t) = 0.

Система дополняется нормировочным уравнением

P0 + P1 + P2 = 1.

В качестве примера рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением (рисунок 4.3).

Состояния системы имеют следующий смысл: G0 − основная и все резервные системы работоспособны; Gi − основная и (i − 1) резервная система отказали, все остальные резервные системы работают; Gm+1 − основная и все резервные системы отказали. Каждой дуге, ведущей из состояния Gi в состояние Gi+1, приписано значение λ, так как одновременно работает только одна резервная

23

система. Дуге ведущей из Gi в Gi–1 приписано значение i μ, так как при этом восстанавливается i резервных систем.

Рисунок 4.3 − Граф состояния системы с общим резервированием замещением

Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надежности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надежности систем.

На практике часто встречается необходимость оценки надежности достаточно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае метод марковских цепей приведет к сложным решениям из-за большого числа состояний системы, поэтому для расчета показателей надежности используют простой приближенный метод расчета. Метод основан на следующих допущениях: время восстановления намного меньше времени безотказной работы; интенсивности отказов и интенсивности восстановлений – постоянные величины; отказы и восстановления отдельных подсистем – независимые случайные события.

Для последовательного включения подсистем имеются следующие приближенные зависимости:

n

λ= ∑λi ;

i=1

n

Kг =1 −n +∑Kгi ;

i=1

µ =1 −λKг .

Для параллельного включения

m

µ= ∑µi ;

i=1

m

K3 =1 − ∏(1 −K3i );

i=1

24

λ=µ(1 − Kг ).

Вформулах приняты следующие допущения: λ − интенсивность отказов последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем;

Kг – коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем; µ – интенсивности восстановлений последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем.

Далее расчет надежности системы сводится к составлению структурной схемы расчета надежности и ее постепенном упрощении

спомощью формул до получения показателей λ, µ и Kг для системы.

Задачи

4.1 Нерезервированная система состоит из шести элементов. Интенсивности их отказов равны: λ1 = 0,0003; λ2 = 0,0002; λ3 = 0,0009; λ4 = 0,0006; λ5 = 0,0004; λ6 = 0,0003 ч−1. Интенсивности восстановления элементов одинаковы и равны μ = 0,4 ч−1. Требуется определить показатели надежности системы.

Решение. Вычислим интенсивность отказов системы:

n

λ= ∑λi = 0,0003 + 0,0002 + 0,0009 +

i=1

+0,0006 + 0,0004 + 0,0003 = 0,0027.

Тогда наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности равны соответственно:

Поскольку интенсивности восстановления элементов одинаковы, то систему можно рассматривать как один элемент с интенсивностью отказов λс и интенсивностью восстановления μ. Исходя из этого, функция готовности системы будет равна

25

Заносим значения функции от 0 до 20 ч с шагом 2 ч (таблица 4.1).

Таблица 4.1 – Промежуточные значения коэффициента готовности системы

Коэффициенты готовности и вынужденного простоя связаны между собой зависимостью Kп =1 − Kг . Следовательно Kп = 0,0066. Коэффициент оперативной готовности Kог = Kг e−λt .

Заносим значения функции от 0 до 20 ч с шагом 2 ч (таблица 4.2). Таблица 4.2 – Показатели оперативной готовности системы

4.2 Схема расчета надежности резервированного устройства для различных вариантов приведена на рисунке 4.4, а – г. Интенсивности

26

n2 = 5. Предполагается, что последействие отказов элементов отсутствует. Необходимо найти вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов работы.

Рисунок 4.4 − Различные виды резервирования систем

4.3 Составить систему уравнений Колмогорова для графа состояний резервированной восстанавливаемой системы, изображенного на рисунке 4.5, а – г.

Рассчитать коэффициент готовности системы K = P + P , решив

г 0 1

полученную систему уравнений, если интенсивность отказов и восстановлений λ = n1 10−4 ч−1; µ= n2 10−4 ч−1, где n1 = 7; n2 = 4.

Рисунок 4.5 − Граф состояний системы:

G0 − исправное состояние системы; G1 − неисправное, но работоспособное состояние системы;

G2 − неисправное неработоспособное состояние системы

27

5 Показатели для оценки долговечности

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Долговечность объекта закладывается при его разработке.

Ресурс – наработка машины от начала эксплуатации или ее возобновления после ремонта от предельного состояния.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации или возобновления после ремонта, до наступления предельного состояния.

Для оценки долговечности применяют ряд показателей. Средний ресурс – математическое ожидание ресурса

n

∑tрi

Tp (t )= i=1N ,

где tpi – ресурс i-го объекта; N – число объектов. Гамма-процентный ресурс – наработка, в течение которой объект

не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью γ, выраженной в процентах:

P(T )=100γ .

Средний срок службы – математическое ожидание срока службы

n

∑tслi

Tсл (t )= i=1N ,

где tcлi – срок службы i-го объекта.

Гамма-процентный срок службы – календарная продолжительность эксплуатации, в течение которой объект не достигает предельного состояния с определенной вероятностью, выраженной в процентах.

Задачи

5.1 На производстве выпушено 10 единиц электронного оборудования. Ресурс каждого объекта составляет 106, 108, 125, 123,

28

117, 136, 131, 109, 122, 124 ч соответственно. Необходимо определить средний ресурс работы данного оборудования.

5.2В эксплуатацию введено 10 единиц оборудования. Средний срок службы каждого объекта составляет 1109, 1204, 1012, 1015, 1099, 1126, 1324, 1231, 1022, 1043 ч соответственно. Необходимо определить средний срок службы данного оборудования.

5.3Производство оснащено 15 однотипными приборами измерения. В техническом паспорте каждого прибора указан средний срок службы 7 лет. Соответствует ли это значение действительному значению, если в течение 15 лет каждый год из строя выходило по одному прибору.

5.4При испытаниях некоторой приборной конструкции, имеющей время работы до отказа, распределенное по нормальному закону, получено 15 реализаций наработки до отказа: 120, 110, 80, 130, 120, 140, 80, 150, 130, 140, 117, 93, 87, 105, 31 ч. Требуется найти доверительные границы с доверительной вероятностью 0,95 для средней наработки на отказ и дисперсии Dх.

Пример решения

Условие. На испытания поставлено N = 10 невосстанавливаемых элементов. Испытания проводились в течение времени t = 100 ч. В процессе проведения испытаний отказало 8 элементов, при этом отказы зафиксированы в следующие моменты времени: t1 = 20 ч,

t2 = 30 ч, t3 = 50 ч, t4 = 30 ч, t5 = 40 ч, t6 = 60 ч, t7 = 70 ч, t8 = 60 ч.

Оставшиеся два элемента не отказали. Определить среднюю наработку до отказа.

Решение. Определяем наработку до отказа для невосстанавливаемого элемента:

T = t1 +t2 +…+tN +(N −m)t , N

где N – число элементов, поставленных на испытания; m – число отказавших элементов; t − время испытания.

T = 20 +30 +50 +30 + 40 +60 +70 +(10 −2)100 =56 ч . 10

Ответ: средняя наработка до отказа 56 ч.

29

6 Планы определительных испытаний

Определительные испытания проводят для впервые вводимых в

эксплуатацию объектов или объектов, претерпевших модернизацию с неизвестными показателями надежности. Целью таких испытаний является накопление информации об отказах объекта и дальнейшего вычисления основных показателей надежности. В ходе таких испытаний выявляются наиболее распространенные причины отказов оборудования.

Основными параметрами определительных испытаний являются: объем выборки N, как правило, одновременно испытаниям подвергается большое число объектов; режим работы испытуемых объектов – без ремонта или с восстановлением элементов; условия прекращения испытания; способы оценивания основных показателей надежности.

Планы испытаний также зависят от момента окончания испытаний:

-- планы, при которых испытания продолжаются в течение времени Т;

-- планы, при которых испытания продолжаются до отказа r-го объекта;

-- планы, при которых испытания продолжаются до отказа r-го объекта, если tr < T, либо до истечения времени T;

-- планы, при которых испытания продолжаются до достижения суммарной наработки ТΣ.

Различные планы принято обозначать тремя буквами или цифрами. Первая обозначает число испытываемых объектов, вторая показывает было ли восстановление во время испытаний до отказа (R – наличие, U – отсутствие восстановлений), третья характеризует момент прекращения испытания.

Во всех планах функция распределения отказов имеет вид

F (t )=1 −e−λt .

Для дальнейшего решения задач необходимо ввести некоторые обозначения:

r(t) – число отказов за время испытаний; tr – время наступления r-го отказа; Sr – суммарная наработка к окончанию испытаний.

30