Надежность АСОИУ. Методические указания

возводить их в степень. При значениях вероятностей P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнить по следующим приближенным формулам:

где qi(t) − вероятность отказа i-го блока.

Полный расчет показателей надежности изделия выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов изделия.

Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы, сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надежность как изделия в целом, так и отдельных его составляющих частей. Выполнение окончательного расчета параметров надежности возможно только при наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов Kн и при наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их электрической нагрузки, температуры окружающей среды T и других факторов, т.е. для окончательного расчета необходимо знать зависимости:

λс = f(Kн, T,...).

Эти зависимости приводятся в виде графиков либо их можно рассчитать с помощью так называемых поправочных коэффициентов интенсивности отказов ki.

Задачи

2.1 Система состоит из 13 устройств, средняя интенсивность отказов которых 7,6∙10−5 ч−1. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 111ч.

Решение

λc = λ N, T = 1 =105 =1 104 ч,

λ7,6

λc = 7,6 10−5 13 =9,8 10−4 ч −1.

Вероятность безотказной работы устройств в течение t = 111 ч:

Pc (60) = e−λct , Pc (111) = e−9,8 10−4 111 = 0,8969.

11

2.2 Электронно-вычислительная система состоит из четырех блоков, среднее интенсивность отказов одного блока 9,810−4 ч−1. Требуется определить среднюю наработку блоков до первого отказа.

Решение

2.3 Вычислительная система состоит из пяти блоков и представляет собой систему, средняя наработка блоков которой до отказа составляет

T1 =128, T2 = 256, T3 =512, T4 =1024, T5 = 2048.

Определить среднюю наработку всей системы.

Решение

2.4 Система состоит из трех блоков устройств, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 60 ч равны

P1(60) = 0,995, P2(60) = 0,997, P3(60) = 0,996.

Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 60 ч.

Предполагается, что отказы вычислительных блоков независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равна

3

Pc ≈1 −∑Qi (60) =1 −(0,005 +0,003 +0,004) = 0,988.

i=1

12

Интенсивность отказов равна

λc =1 − Pc (t ); t

λc =1 −0,60988 = 2 10−4 ч −1.

Частота отказов равна

T = 1 ;

λс

T = 2 101 −4 =5000 ч−1.

3 Расчет показателей надежности невосстанавливаемых резервированных систем

В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов, при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:

Pc (t) =1 −Qc (t) =1 −qm+1 (t) =1 −[1 − p(t)]m+1 ,

где q(t), p(t) – соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.

Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности, то

Pc (t) =1 −(1 −e−λt )m+1 .

13

Для высоконадежных систем, у которых λt < 0,1 и e−λt =1 −λt, имеем

Pc (t) =1 −(λt)m+1 .

Среднее время наработки до отказа резервированной системы:

где T0 − среднее время наработки до отказа основной системы или любой из резервных систем.

Кроме m-кратного резервирования (m − целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов.

Вероятность безотказной работы системы с последовательнопараллельной структурой, изображенной на рисунке 3.1, а, наиболее удобно выразить постепенным упрощением ее схемы.

Рисунок 3.1 − Этапы последовательного упрощения последовательно-параллельной структуры

Заменим сначала параллельные подсистемы 2 и 3 новой подсистемой 23 (рисунок 3.1, б). Тогда вероятность безотказной работы новой подсистемы

p23 =1 −(1 − p2 )(1 − p3 ) .

Теперь заменим последовательные подсистемы 1 и 23 новой подсистемой 123 (рисунок 3.1, в). Тогда вероятность безотказной работы этой подсистемы

p123 = p1 p23 .

14

Далее заменим последовательные подсистемы 4 и 5 одной подсистемой 45 с вероятностью безотказной работы:

p45 = p4 p5 .

Наконец, заменив параллельные подсистемы 123 и 45 новой подсистемой 12345 (рисунок 3.1, г) получим вероятность безотказной работы этой подсистемы:

p12345 =1 −(1 − p123 )(1 − p45 ),

что соответствует вероятности безотказной работы системы.

Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений.

Нижняя граница надежности Pн(t) определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям, а верхняя граница Pв(t) – системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным путям. Таким образом:

n

Pв (t) =1 −∏[1 − P( Ai )];

i=1

m

Pí (t) =∏P(Bj ),

j=1

где n, m – число путей и сечений системы; P(Ai), P(Bj) – соответственно вероятности событий Ai и Вj.

Задачи

3.1 Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m = 2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ = 0,05 ч−1. Найти показатели надежности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.

Решение. Воспользуемся формулами

P (t) =1 −(1 −e−λt )m+1, f (t) = (m +1)λe−λt (1 −e−λt )m, λc (t) = fc (t) .

c c Pc (t)

15

Получим

Pc (t) =1 −(1 −e−0,05t )3 , fc (t) =3 0,05e−0,05t (1 −e−0,05t )2 ,

Отображая в таблице 3.1 значение полученных функций, найдем искомые показатели надежности.

Таблица 3.1 − Показатели надежности резервированной системы

с постоянно включенным резервом и кратностью резервирования m = 2

3.2 Требуется определить кратность резервирования системы с постоянным резервом, обеспечивающим вероятность безотказной работы 0,96 в течение времени t = 150 ч. Элементы системы равнонадежны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т = 300 ч. Найти также кратность резервирования для системы, элементы которой имеют распределение Рэлея с тем же средним значением.

Решение. Кратность резервирования может быть определена по

формуле

m = ln(1 − Pc (t)) −1, ln(1 − P(t))

16

где P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t; Pc(t) = 0,96 – вероятность безотказной работы системы в течение времени t.

-- для экспоненциального распределения

Округляя до целых чисел в большую сторону, получаем m1 = 3, m2 = 1. Таким образом, для достижения заданной надежности в первом случае потребуется 3 резервных элемента, а во втором случае – только один.

3.3 Вероятность безотказной работы серверного оборудования после 1000 ч составляет 0,95. Второй, аналогичный комплект, включается в работу после отказа основного. Рассчитать Тср и Р(t) для

17

моментов времени 250, 500 и 1000 ч для варианта с резервированием и без резервирования.

Решение. Определим значение интенсивности отказа комплекта:

λ = λ0 = −ln Pt (t) = −ln(0,100095) =5 10−5 ч−1 .

Определим значение средней наработки до отказа комплекта при отсутствии резервирования:

Из условия задачи следует, что основной сервер резервируется однотипным сервером по схеме с дублированием замещением. Для определения средней наработки до отказа системы с данным способом резервирования воспользуемся выражением

T = 2T0 = 4000 ч.

Для определения вероятности безотказной работы основного сервера без резервирования воспользуемся выражениями

P(250) = e−5 10−5 250 = 0,9876 ;

P(500) = e−5 10−5 500 = 0,9753 ;

P(1000) = e−5 10−5 1000 = 0,9512 .

Для определения вероятности безотказной работы серверного оборудования с дублированным замещением воспользуемся выражением:

P(t) = (1 +λ0t)e−λ0t ;

P(250) = (1 +5 10−5 250)e−5 10−5 250 = 0,99992 ; P(500) = (1 +5 10−5 500)e−5 10−5 500 = 0,99968 ;

P(1000) = (1 +5 10−5 1000)e−5 10−5 1000 = 0,9987.

Как видно из расчетов, вероятность безотказной работы серверного оборудования с резервированием, даже после отработки 1000 ч, не снижается ниже 0,99.

18

3.4 Система состоит из 10 равнонадежных элементов с основным соединением. Для каждого элемента Тср = 1000 ч.

Определить Тср всей системы для трех вариантов: а) без резервирования; б) нагруженное дублирование; в) дублирование замещением.

Решение. Определим значение результирующей интенсивности отказов ветви, состоящей из 10 элементов, воспользовавшись выражением

где λi и Тсрi − интенсивность отказов и средняя наработка до отказа i-го элемента.

Определим среднюю наработку системы до отказа: -- для системы без резервирования по выражению

-- для системы с нагруженным дублированием среднюю наработку до отказа определим с помощью формулы

Tб =Ta ∑jm0 j 1+1 ,

=

где m – число резервных ветвей, в данном случае m = 1.

Tб =Ta 0 1+1 +1 +1 1 =1,5Ta =1,5 100 =150 ч;

-- для системы с дублированием замещением среднюю наработку до отказа определим по выражению

T = 2Ta = 200 ч.

4 Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем

Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном (G0) или неработоспособном (G1). Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рисунок 4.1).

19

Отказ

Восстановление

Рисунок 4.1 − Граф состояний нерезервированной системы

Из состояния (G0) в состояние (G1) система переходит в результате отказов с интенсивностью λ, а из G1 в G0 − в результате восстановления с интенсивностью μ. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: λ = const, μ = const. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения:

F(t) =1 −e−µt ; Tв = µ1 .

Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности Kг. Сокращение времени восстановления ведет к увеличению коэффициента готовности и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени (t, t + ∆t). Обозначим через P0(t), P0(t + ∆t) и P1(t), P1(t + ∆t) вероятности того, что в момент времени t и t + ∆t система находится в состоянии G0 и

G1. Тогда P0(t) + P1(t) = 1 и Kг = P0(t). Обозначим также через P01(∆t) и P10(∆t) – условную вероятность того, что в момент времени t система

находится или в состоянии G0 или в состоянии G1, а в момент времени t + ∆t или в состоянии G1 или в состоянии G0, т.е. за интервал времени ∆t произошел отказ (восстановление) системы. Тогда

P01 (∆t) = λ∆t;

P10 (∆t) =µ∆t.

Будем считать, что за время ∆t может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале ∆t могут произойти четыре несовместимые события: A1(G0, G0) − в момент времени t система находилась в состоянии G0, в момент времени t + ∆t она осталась в том же состоянии, т.е. отказа не произошло;

20