Методические указания по практическим занятиям по дисциплине «Основы теории и методы оптимизации»

↑

Своб.

1

0 0 0 + 1 + 22

+ 3 + 54 = 9

Баз.

1

2

3

4

0

1

2

1

5

9

МЖИ

{0 0 0 + 1

+ 32

− 3

+ 4 = 4

←

0

1

3

–1

1

4

0 0 − 1 − 42 − 23

− 4 = 0

–1

–4

–2

–1

0

↑

Своб.

0

1

Своб.

1

Баз.

2

3

4

Баз.

2

3

4

0

–1

–1

2

4

5

←

0

–1

2

4

5

МЖИ

1

3

–1

1

4

3

–1

1

4

1

1

1

–1 –3

0

4

–1 –3

0

4

Своб.

0

1

Своб.

1

Баз.

2

3

Баз.

2

3

4 4

–1

2

1

5

4 4

–1

2

5

4 1

13

–6

–1

11

4 1

13

–6

11

4

–4 –12 0

16

4

–4 –12 16

1 + 2 + 23 + 4

= 4

{−1

+ 52 − 3

− 5 = 3 .

31

+ 2 − 23

= 2

ложный базис из нулей и переписываем функцию цели ( ) в виде еще одного линейного

уравнения − 21 − 42 − 3 = 3:

Своб.

1

0 0 0 0 + 1 + 2 + 23

+ 4

= 4

Баз.

1

2

3

4

5

0

1

1

2

1

0

4

0 0 0 0 −1 + 52 − 3

− 5 = 3

{0 0 0 0 + 31 + 2 − 23

= 2

0

–1

5

–1

0

–1

3

0 0 0 − 21 − 42 − 3

= 3

0

3

1

–2

0

0

2

–2

–4

–1

0

0

3

В столбце переменной 4

единственный положительный элемент 1. Его выберем

генеральным элементом МЖИ:

↑

Своб.

1

Своб.

0

1

Баз.

1

2

3

4

5

Баз.

1

2

3

5

← 0

1

1

2

1

0

4

МЖИ

4

1

1

2

1

0

4

3

0

–1

5 –1 0 –1

3

0

–1

5 –1 0 –1

0

3

1 –2 0

0

2

0

3

1 –2 0

0

2

–2 –4 –1 0

0

3

–2 –4 –1 0

0

3

Своб.

1

Баз.

1

2

3

5

4

1

1

2

0

4

0

–1

5

–1

–1

3

0

3

1

–2

0

2

–2

–4

–1

0

3

В столбце переменной 1

есть два положительных числа 1 и 3. Их симплексные отноше-

4

2

ния

1 и

3. Наименьшим является второе отношение. В соответствии с этим число 3 ука-

занного столбца можно выбрать генеральным элементом МЖИ:

↑

Своб.

1

Своб.

0

1

Баз.

1

2

3

5

Баз.

2

3

5

4

1

1

2

0

4

МЖИ

3 4

–1 2

8

0 10

1 16 –5 –3 11

0

–1

5 –1 –1

3

0

← 0

3

1 –2 0

2

3 1

1

1 –2 0

2

–2 –4 –1 0

3

3

2 –10 –7 0 13

Своб.

1

Баз.

2

3

5

3 4

2

8

0

10

0

16

–5

–3

11

3 1

1

–2

0

2

3

–10

–7

0

13

↑

Своб.

1

Своб.

1

Баз.

3

1

Баз.

4

1

← 4

4

–2 2

МЖИ

4 3

1

–2

2

2

–2

3

2

4 2

2

8

12

5

–9

16

7

4 5

9

46

46

–9

10

11

4

9

22

62

В строке оценок нет отрицательных чисел, поэтому дальнейшее увеличение значения

функции цели невозможно, т.е. каноническая задача на максимум в 5-мерном простран-

стве решена. Ее оптимальное решение (точка максимума)

= 0,

= 12 = 3,

= 2

= 1 ,

1

2

4

3

4

2

= 0,

= 46 = 23 , а максимальное значение функции цели

= 62 = 15 1 . Если ис-

4

5

4

2

4

2

ключить дополнительные переменные 4

и 5, то мы получаем решение исходной задачи

на максимум в 3-мерном пространстве:

оптимальное решение (точка максимума)

= 0,

= 3, = 1 ,

1

2

3

2

максимальное значение функции цели

= 15 1 .

2

Пример 7. Решить симплекс-методом ЗЛП

( ) = 3

+

+ 2

+ min при {

1 + 42

+ 23

+ 4 ≥ 5 ,

≥ 0.

1

2

3

4

21

− 2

+ 3 + 24 = 4

Данная задача сформулирована в 4-мерном пространстве и не является канониче-

ской ЗЛП, поскольку первое ограничение – неравенство. Для того, чтобы это ограничение

стало равенством, нужно уменьшить его левую часть на некоторую неотрицательную ве-

личину 5, которая будет играть роль дополнительной переменной. Тогда система ограни-

чений примет вид

{

1

+ 42 + 23 + 4

− 5 = 5.

21

− 2

+ 3 + 24

= 4

Это ограничения канонической ЗЛП в 5-мерном пространстве. Далее, как в приме-

рах 4 и 5, вводим ложный базис из нулей и переписываем функцию цели ( ) в виде еще

одного линейного уравнения − 31 + 2

− 23 − 4 = 0:

Своб.

1

0 0 00 + 1 + 42 + 230 + 4

− 5 = 5

Баз.

1

2

3

4

5

0

1

4

2

1

–1

5

{0 0 0 + 210 − 20 + 3 + 240000 = 4

0

2

–1

1

2

0

4

0 0 − 310 − 2 − 230 − 40000 = 0

–3 –1 –2 –1

0

0

В столбце переменной 2

единственный положительный элемент 4. Его выберем

генеральным элементом МЖИ:

Своб.

1

Баз.

1

3

4

5

4 2

1

2

1

–1

5

0

9

6

9

–1

21

4

–11 –6 –3 –1 5

↑

Своб.

1

Своб.

0

1

Баз.

1

3

4

5

Баз.

3

4

5

4 2

1

2

1

–1

5

МЖИ

36 2

–1

12

0

–8

24

← 0

9

6

9

–1 21

9 1

1

6

9 –1 21

4

–11

–6

–3

–1

5

36

11

12

72

–20

276

Своб.

1

Своб.

1

Баз.

3

4

5

Баз.

3

4

5

36 2

12 0 –8 24

9 2

3

0 –2 6

9 1

6

9 –1 21

9 1

6

9 –1 21

36 12 72 –20 276

9

3 18 –5 69

ное решение = 21

= 7

,

= 6

= 2

,

= 0,

= 0, = 0 и значение функции цели

1

9

3

2

9

3

3

4

5

= 69

= 7

2

на нем. В строке оценок есть положительные числа 3 и 18, поэтому значение

9

3

↑

Своб.

1

Своб.

9

1

Баз.

3

4

5

Баз.

3

1

5

9 2

3

0

–2

6

МЖИ

81 2

27

0

–18

54

← 9 1

6

9

–1 21

9 4

6

1

–1 21

9

3

18

–5

69

81

–81

–18

–27

243

Своб.

9

1

Баз.

3

1

5

9 2

3

0

–2

6

9 4

6

1

–1

21

9

–9

–2

–3

27

стве решена. Ее оптимальное решение (точка минимума)

= 0,

= 6

= 2

, = 0,

1

2

9

3

3

= 21

= 7

,

= 0, а минимальное значение функции цели

= 27

= 3.

Если исклю-

4

9

3

5

9

1 + 2 − 3

= 0

1 + 2 + 3

≤ 2

2.

( ) = 1

+ 2 2

+ 3 → max

при { 1 + 2 − 3

= 0

, ≥ 0.

2 1 + 2 2 + 3 ≥ 2

( ) = 2

при { 1 + 3 2 ≥ 4 , ≥

3.

+

+ 3 → min

0.

1

2

2 1 + 2 ≥ 3

( ) =

при { 1 + 2 2 + 3 3 ≤ 6

4.

+ 3

− → max

, ≥ 0.

1

2

3

2 1 + 3 = 3

1 − 2 + 3 = 0

( ) = 2

→ min при { 1 + 4 2 ≥ 6

6.

+ 5

,

≥ 0.

1

2

1 + 2 2 ≥ 4

( ) = 2

при { 1 + 2

+ 3 ≤ 2

7.

+ 3

+ → max

, ≥ 0.

1

2

3

2 1 + 2 2 + 3 ≥ 2

( ) = 2

+ → max при { 1 + 2 + 3 ≤ 4

8.

,

≥ 0.

1

3

2 1 + 2 − 2 3 ≥ 3

( ) = 3

при { 1 + 2 ≥ 2

9.

+ 4

− 1 → min

,

≥ 0.

1

2

2 1 + 3 2 ≥ 5

( ) = + + 2 → max

при { 1 + 2 + 3

= 3

10.

, ≥ 0.

1

2

3

2 1 − 2 + 2 3 ≤ 3