Методические указания и контрольные задания по дисциплине Теория принятия решений

f ( z| Н 0 )

Рис. 1 Таким образом, проверка статистической гипотезы при

помощи критерия значимости разбивается на следующие этапы:

1)сформулировать проверяемую Н 0 и альтернативную Н 1 гипотезы;

2)зафиксировать (выбрать) уровень значимости ;

3)выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы Н 0 ;

4)определить выборочное распределение статистики Z при условии, что верна гипотеза Н 0 ;

5)в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы

определить критическую область одним из неравенств Z > z 1 - ,

6)получить выборку наблюдений и вычислить выборочное значение z в статистики критерия;

7)принять статистическое решение:

11

П р и м е р 1 [Л 7 ]. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход бензина уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило Х В = 9,3 л. Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним m и дисперсией 2 = 4 л 2. Используя критерий значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что изменения конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Р е ш е н и е:

По условию задачи требуется проверить гипотезу о среднем ( m ) нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку

2)выберем уровень значимости = 0,05;

3)в качестве статистики критерия будем использовать оценку математического ожидания выборочное среднее Х В ;

4)так как выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то выборочное среднее также имеет нормальное распределение с дисперсией D( X B ) = 2 / n = 4/25 .

12

При условии, что верна гипотеза Н 0 , математическое ожидание этого распределения равно 10. Нормированная статистика U

расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний критерий. Критическая область определяется неравенством

7) статистическое решение: так как выборочное значение

ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики в критическую область при условии, что верна гипотеза Н 0 , т.е. равна уровню значимости :

Р [ Z V К / Н 0 ] = Р [Н 1 / Н 0 ] = .

13

Ошибка второго рода происходит в том случае, если

равна вероятности попадания статистики критерия в допустимую область V \ V К , где гипотеза Н 0 принимается, при условии

П р и м е р 2 [Л 7 ]. В условиях примера 1 предположим, что наряду с гипотезой Н 0 : m = 10 л рассматривается альтернативная гипотеза Н 1 : m = 9 л. В качестве статистики критерия вновь возьмем выборочное среднее ХВ. Предположим, что критическая область задана следующим неравенством Х В 9,44 л. Найдем вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью.

Р е ш е н и е:

Статистика Х В критерия при условии, что верна гипотеза Н 0 :

автомобилей, имеющих расход 10 л бензина на 100 км пробега, как автомобили, имеющие меньший расход топлива.

При условии, что верна гипотеза Н 1 : m = 9 , статистика Х В имеет нормальное распределение N ( 9, 4 / 25 ). Ошибка второго рода по формуле ( 2 ) равна

14

Следовательно, в соответствии с принятым критерием 13,6 % автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируется как автомобили, имеющие расход 10 л. Вероятности ошибок первого и второго рода показаны в виде заштрихованных областей под кривыми плотностей распределения статистики критерия на рис. 2 .

Рис. 2

При заданной вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода можно уменьшить путем увеличения объема выборки n . Если при этом вероятность ошибки второго рода не должна превышать заданного значения , то минимальный объем выборки n можно найти из решения системы:

Аналитическое решение этой системы возможно только в простейших случаях.

15

2. Отношение правдоподобия

2.1 Функция правдоподобия

Исходной информацией для принятия решения являются выборочные значения (выборка) хN = х1, х2, …, хN, которые получаются в результате наблюдения случайной величины (или явления) . Число N называется размером или объемом выборки х N .

Функцией правдоподобия выборки называется условное совместное распределение выборочных значений, задаваемое выражениями

n

Р{ х = х1, х = х2, …, х = хN / s } = р (х i / s ) ,

i1

если выборочные значения х1, х2, …, хN являются независимыми величинами. Здесь величина s определяет состояние изучаемого явления.

Будем полагать в дальнейшем, что:

1)в процессе извлечения выборки х1, х2, …, хN состояние s изучаемого явления не меняется;

2)объем выборки N остается фиксированным.

16

При использовании любого заранее установленного правила выбора решения (критерия) наряду с правильными решениями неизбежны и ошибочные решения: ошибки 1 –го и 2 –го рода.

Тогда при каждом испытании возможны следующие ситуации:

1) верна гипотеза Н 0 (т.е. Z V \ V k) и выбираем гипотезу Н 0, то принимается правильное решение 0 0 ;

2)верна гипотеза Н 1 и выбираем гипотезу Н 0 (Z V k ) , то принимается ошибочное решение 0 1 ;

3)верна гипотеза Н 1 и выбираем гипотезу Н 1 , то принимается

количественной оценки последствий принятых решений вводят

функцию потерь или функцию стоимости, которая приписывает каждому из возможных принятых решений i j соответствующую плату

18

П i j , где i = 0; 1 и j = 0; 1 . Величины потерь П i j удобно представлять в виде матрицы, которую называют матрицей потерь П

По главной диагонали расположены платы за правильные решения, а по другой диагонали – платы за ошибочные решения.

Формула ( 1 ) задает правило принятия решения, основанное на критерии минимального среднего риска, которое называется байесовским решением . Его можно сформулировать следующим образом:

- принимается решение 1 (отвергнуть гипотезу Н0) , если выполняется условие ( 1 ); и

19

- принимается решение 0 (принять гипотезу Н 0 ) , если выполняется условие

и определим ее как порог при байесовском решении.

Сформулируем окончательно байесовское правило принятия решения.

Если имеет место неравенство L (хN ) с , то принимается решение1 о истинности гипотезы Н 1 .

Если имеет место неравенство противоположного знака L (хN ) с , принимается решение 0 о истинности гипотезы Н 0 (или отклонении гипотезы Н 1 ) .

Байесовское правило принятия решения минимизирует средний риск и поэтому его называют критерием минимального риска.

Если потери примут значения П 0 0 = П 1 1 = 0 и П 0 1 = П 1 0 = 1 , то байесовское решение минимизирует полную вероятность ошибки

20