Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО

Физико-механический институт

Высшая школа фундаментальных физических исследований

Ю. А. Кропотина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В АСТРОФИЗИКЕ

Часть 2

Рекомендовано федеральным учебно-методическим объединением в системе высшего образования по УГСН 16.00.00. Физико-технические

науки и технологии в качестве учебного пособия для реализации основных профессиональных образовательных программ высшего образования

по направлению подготовки магистратуры 16.04.01. Техническая физика

Санкт-Петербург

2023

Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation

PETER THE GREAT

ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY

J. A. Kropotina

MATHEMATICAL MODELING IN ASTROPHYSICS

Part 2

Textbook

Saint Petersburg

2023

ВВЕДЕНИЕ

В современной астрофизике широко применяются численные методы, некоторые из которых были рассмотрены в первой части данного пособия. В частности, кинетические коды представляют собой мощный инструмент для исследования мелкомасштабных нелинейных процессов в космической плазме. Однако при их использовании могут возникать численные эффекты, приводящие к некорретным результатам. Поэтому важно контролировать выполнение законов сохранения заряда, импульса, энергии и нулевой дивергенции магнитного поля в течение всего времени работы программы. Одной из причин нарушения работы кинетических кодов могут стать численные шумы. Они связаны с недостаточным количеством модельных частиц по сравнению с реальными. Численные шумы приводят к нефизичному нагреву плазмы (нарушению закону сохранения энергии) и другим столкновительным эффектам (например, искажению траекторий частиц). Корректность работы кинетических кодов обсуждается в первой главе данного пособия.

Вторая глава посвящена классу методов, применяющихся для моделирования стохастических процессов. Эти методы базируются на Центральной предельной теореме и носят обобщенное название методов Монте-Карло. С их помощью можно моделировать такие процессы, как излучение, диффузия, химические и ядерные реакции, квантовые системы и др. Также методы Монте-Карло используются в математике, экономике, логистике.

Третья глава описывает радиационно-гидродинамические коды. Они служат для моделирования систем, в динамике которых необходимо учитывать излучение. Это недра звезд, плотный звездный ветер звезд O и B классов, остатки сверхновых, аккреционные диски. В радиационно-гидродинами- ческих кодах на сетке решается система объединенная уравнений для вещества и излучения. При этом используется неявная схема для совместного решения большого числа уравнений. Основные трудности при моделирова-

6

нии заключаются в широком динамическом диапазоне (время жизни звезды составляет миллиарды лет, а быстрые события на их поверхности занимают минуты), связанности удаленных участков за счет переноса излучения, сложности корректного задания тензора Эддингтона и непрозрачности среды.

Большинство современных кодов адаптированы для счета на многопроцессорных системах. Это позволяет создавать подробные трехмерные модели астрофизических объектов с хорошим разрешением. Последняя глава данного пособия посвящена методам оптимизации счета и параллельных вычислений. Эта тема очень важна, поскольку большинство актуальных задач современной астрофизики требует ресурсоемких расчетов.

Данное учебное пособие позволяет читателю ознакомиться с некоторыми базовыми принципами и понятиями, необходимыми для создания собственных кодов или использования открытых. Однако разработка собственных программ потребует более детального изучения предложенного материала, в частности ознакомления с литературой из библиографического списка.

1. КОРРЕКТНОСТЬ РАБОТЫ КИНЕТИЧЕСКИХ КОДОВ

Для решения актуальных астрофизических задач часто применяются численные методы. В частности, широко используется несколько типов кодов для моделирования астрофизической плазмы: гидродинамические, коды типа «частица-в-ячейке» (particle-in-cell, PIC) и гибридные. Эти методы были рассмотрены в первой части данного пособия. Они связаны с пространственной дискретизацией – разделением пространства на ячейки, внутри которых макроскопические парметры считаются постоянными. Гидродинамические коды используются для моделирования структуры протяженных объектов без учета мелкомасштабных явлений. Ячейки в них существенно больше гирорадиусов частиц. Наиболее ресурсоемкие PIC-коды учитывают все кинетические эффекты, но подходят только для моделирования небольших областей на ограниченных временных масштабах. Размер ячейки в таких кодах по порядку величины близок к дебаевскому радиусу. Гибридные

7

коды сочетают свойства гидродинамических и PIC-кодов и имеют размер ячейки порядка инерционной длины иона. PIC-коды и гибридные коды называют также кинетическими, поскольку они моделируют кинетику частиц.

Оценить сходимость численных методов может быть достаточно сложно. После создания кода обязательно проводится проверка его работы на задачах с известным решением. Однако прохождение этих тестов не гарантирует правильность решения других задач. Например, разностная схема без метода уменьшения полной вариации (total variation diminishing, TVD) может корректно работать в случае гладких решений, но вызывать осцилляции вблизи разрывов. Поэтому для контроля сходимости отслеживают выполнение законов сохранения числа частиц, массы, заряда, импульса, энергии и нулевой дивергенции магнитного поля. Выполнение законов сохранения является необходимым, но не достаточным условием правильности работы кода. Окончательно убедиться, что сложный код работает корректно, практически невозможно. Это можно сделать только для задач, для которых известно аналитическое решение или есть надежные наблюдательные данные.

Кинетические коды описывают физические явления в плазме точнее гидродинамических, однако они подвержены численным шумам, способным существенно снизить точность расчетов. Причиной этого эффекта является ограниченное число частиц в ячейках пространственной сетки. Обычно оперативная память позволяет использовать от 10 до 10 000 частиц в ячейке, в то время как в соответствующем объеме моделируемой плазмы может содержаться, например, 1011 частиц. Такое отличие приводит к появлению численных шумов с амплитудой, существенно превышающей реальную. Иногда

этот эффект приводит к неустойчивости метода.

Покажем, как можно проверить выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии в кинетических кодах. Действие электромагнитных

где fs – функция распределения частиц s-го сорта в пространстве координат и скоростей; qs – заряд частиц s-го сорта; ms – масса частиц s-го сорта;

8

Fs = qs (E + v × B/c) – действующая на частицы сила Лоренца; E – электрическое поле; B – магнитное поле; c – скорость света.

Законы сохранения массы, импульса и энергии получаются при интегрировании уравнения Власова (1.1) по всей области моделирования и по всем скоростям с весами ms, msv и 0,5msv2. При этом функцию распределения представляют как ансамбль макрочастиц, имеющих конечную протяженность в пространстве координат и представляющих собой дельта-функцию в пространстве скоростей:

где Np,s – количество частиц s-го сорта; S – весовая функция.

Весовые функции используются для сглаживания численных шумов. При этом вклад от частицы, находящейся в точке rl, в плотность в ячейке Cj

с центром rj будет пропорционален интерполяционной функции y

W (rj − rl) = S(r − rl)d3r.

Cj

Умножая уравнение Власова (1.1) на ms и интегрируя по скоростям и координатам с учетом выражения (1.2), получим закон сохранения массы для каждого сорта:

где второе слагаемое представляет собой интеграл по поверхности. В случае периодических граничных условий он обращается в ноль, а в случае открытой границы учитывает приток и отток частиц. Поскольку частицы в кинетических кодах являются структурами данных или элементами массива, они не могут спонтанно появляться и исчезать, если нет явных ошибок в программе. Тем не менее на стадии отладки кода важно контролировать сохранение числа частиц.

Аналогичным образом получается закон сохранения заряда

9

являющийся дискретным аналогом уравнения неразрывности

∂ρc + · j = 0, (1.5)

∂t

где ρc – плотность заряда; j – плотность тока.

Локально, на масштабах ячейки, законы (1.3) и (1.4) могут не выполняться. Их нарушение приводит к накоплению ошибки при решении уравнений Максвелла. Эта проблема касается только PIC-кодов, поскольку в гибридных кодах подразумевается квазинейтральность плазмы в каждой ячейке. Благодаря этому электрическое поле на каждом шаге находится алгебраически и закон сохранения заряда выполняется точно.

В PIC-кодах приращения электрического и магнитного поля на каждом шаге могут быть найдены методом перешагивания из двух уравнений Максвелла:

где j – плотность тока.

Вычисляя дивергенцию обеих частей уравнений (1.6) и (1.7) и учитывая (1.5), легко убедиться, что два других уравнения Максвелла ·E = 4πρ

и ·B = 0 должны выполняться автоматически. Однако в численных кодах это соответствие может нарушаться. Если закон сохранения заряда выполнен неточно, в значениях электрического поля будет накапливаться ошибка, приводящая к тому, что · E ̸= 4πρ.

В первой части пособия были рассмотрены схемы со сдвинутой сеткой, использующиеся для точного сохранения нулевой дивергенции магнитного поля. Для выполнения закона сохранения заряда могут применяться схожие методы. Один из таких алгоритмов, метод разложения плотности (Density Decomposition), предложен в [10]. Идея метода заключается в задании плотностей в центрах ячеек сетки, а проекций плотности тока – в центрах граней. При этом плотность тока при движении частицы ищется как линейная комбинация изменений интерполяционной функции на протяжении шага по времени.

10