Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

Рассмотрим движение одной частицы с зарядом q. Пусть ее форма описывается нтерполяционной функцией W (r). Запишем три проекции плотно-

сти тока, создаваемого этой частицей, в виде

Коэффициенты Ψx,y,z выражаются через восемь интерполяционных функций: W (x, y, z), W (x + ∆x, y, z), W (x, y + ∆y, z), W (x, y, z + ∆z),

W (x + ∆x, y + ∆y, z), W (x, y + ∆y, z + ∆z), W (x + ∆x, y, z + ∆z),

W (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z).

Дополнительно накладываются следующие условия. 1. Следствие уравнения неразрывности:

Ψx + Ψy + Ψz = W (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − W (x, y, z).

2. Отсутствие движения в каком-либо направлении соответствует отсутствию тока. Если ∆x = 0, то Ψx = 0; если ∆y = 0, то Ψy = 0; если

∆z = 0, то Ψz = 0.

3.Симметрия относительно перестановок: если W (x, y, z) = W (y, x, z)

и∆x = ∆y, то Ψx = Ψy.

В [10] доказана единственность такого разложения и найдены его коэффициенты в предположении, что частицы движутся прямолинейно в течение шага по времени:

Ψx = 13W (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − 13W (x, y + ∆y, z + ∆z)+

+16W (x + ∆x, y, z + ∆z) − 16W (x, y, z + ∆z) + 16W (x + ∆x, y + ∆y, z)−

−16W (x, y + ∆y, z) + 13W (x + ∆x, y, z) − 13W (x, y, z);

Ψy = 13W (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − 13W (x + ∆x, y, z + ∆z)+

+16W (x, y + ∆y, z + ∆z) − 16W (x, y, z + ∆z) + 16W (x + ∆x, y + ∆y, z)−

11

Ns Np,s y

XX

=Fs(r, vsl)S(r − rsl)d3r,

s=1 l=1

где Ns – число сортов частиц.

Второе слагаемое описывает поток через границу, а правая часть представляет собой суммарную силу, действующую на частицы. Подставив вместо Fs силу Лоренца, получим в правой части

P

где Np ≡ s Np,s – полное число частиц всех сортов.

Считая, что электромагнитные поля во всех точках рассчитываются как интерполяция полей в ячейках с теми же весовыми функциями, которые

описывали форму частиц, приведем выражение (1.12) к виду

где Nc – число ячеек; Ej и Bj – поля в j-й ячейке.t

В данном случае мы используем нормировку S(r)d3r = 1.

12

Закон сохранения энергии может быть получен при интегрировании уравнения Власова с весом 0,5msv2:

Для PIC-кодов выполнение законов сохранения легко проверить, суммируя по всем частицам. В гибридных кодах электроны должны учитываться другим способом. В формулу (1.11) можно подставить выражение для электрического поля

Тогда, учитывая, что

Np

X

(nee)j = qlW (rj − rl);

l=1

Np

X

jj = qlvlW (rj − rl),

l=1

получим

Np N

Xql X

+W (rj − rl)(vl × B − Ui × B)j,

c c

l=1 j=1

13

где

Поменяв порядок суммирования, нетрудно убедиться, что вторая сумма равна нулю. Для этого необходимо, чтобы при интерполяции сил и токов использовалась одна и та же весовая функция. Таким образом, мы количественно обосновали, что различие весовых функций нарушит закон сохранения импульса, т. е. будет аналогично действию дополнительных сил.

Докажем, что в периодической области равно нулю и слагаемое с давлением электронов:

При численном дифференцировании это выражение преобразуется в сумму вида

pe,12 − pe,32 + pe,32 − pe,52 + . . . − pe,Nc+12 ,

где сокращаются все слагаемые, кроме первого и последнего. В периодической области первое и последнее слагаемые также сократятся. Для других типов граничных условий разница этих давлений может быть отличной от нуля, однако обычно она очень мала по сравнению с изменением полного импульса системы. С точки зрения физики это означает, что внешний градиент давления электронов не может существенно ускорить систему как целое.

Обозначив полный импульс системы

Np

X

Ps ≡ mpvl, l=1

а поток импульса через границу j-й ячейки (Knˆ)j, получим

14

где Nc′ – число граничных ячеек; nˆ – единичный вектор, нормальный к границе. В правой части осталось только холловское слагаемое, которое и определяет изменение полного импульса в гибридном коде. Обе части выражения (1.14) можно рассчитать, сохраняя на каждом шаге полный импульс системы и сумму холловских сил. Таким образом определяется погрешность выполнения закона сохранения импульса в гибридных кодах.

Аналогично можно вывести закон сохранения энергии, полагая массу электрона нулевой:

где Gj = Gej + Gij; Gij – поток энергии ионов через границу (вычисляется непосредственно суммированием по всем ионам, пересекающим границу);

Gej = 52(peUe)j + 4cπ(E×B)j – поток энергии электронов и вектора Пойнтинга через границу.

Все эти величины можно вычислить в процессе моделирования, поэтому выполнение закона сохранения энергии на каждом шаге также легко проверить.

Покажем теперь, как закон сохранения энегии может быть нарушен из-за численных шумов. Для примера рассмотрим чисто электростатический код, где магнитное поле не учитывается. Выберем размер ячейки, равный дебаевскому радиусу. Обычно в кинетических кодах ячейка содержит от 10 до 10 000 макрочастиц, в то время как число реальных частиц в объеме λ3 равно ND = nλ3D = n(Te/4πnee2)32 1011 − 1012, т. е. на много порядков больше. Такое отличие приводит к столкновительным эффектам, в частности численным шумам и численному нагреву.

Столкновительные эффекты в численных кодах проявляются следующим образом. Предположим, имеется периодическая область, заполненная однородной бесстолкновительной плазмой. С точки зрения физики частицы в ней должны двигаться баллистически, т. е. равномерно и прямолинейно,

15

β

b

θ

u

α

Рис. 1.1. Рассеяние частицы сорта α на частице сорта β с прицельным параметром b

а электрическое поле – отсутствовать. Однако малое количество заряженных макрочастиц приводит к флуктуациям электрического поля, на которых эти макрочастицы начинают рассеиваться. Следовательно, их траектории напоминают броуновское движение в столкновительной плазме и через некоторое время существенно отклоняются от первоначального направления. Кроме того, меняется скорость частиц.

Интуитивно кажется, что чем меньше частиц, тем меньше вероятность столкновений. Докажем, что это не так, оценив кулоновскую частоту столкновений. Пусть частица сорта α рассеивается на неподвижной мишени сорта β с прицельным параметром b (рис. 1.1). В приближении неподвижной мишени можно рассматривать, например, рассеяние электрона на протоне, который значительно тяжелее. Если массы частицы и мишени сравнимы, следует перейти в систему покоя центра масс, где задача может быть решена аналогично. При этом массу рассеивающейся частицы необходимо заменить на приведенную массу, равную mαmβ/(mα + mβ).

За счет кулоновского притяжения частица α отклонится на угол θ (для отталкивающихся частиц решение также верно, но они отклонятся в противоположную сторону). Из законов сохранения энергии и импульса следует, что

tan θ = ZαZβe2 ≡ b , 2 mu2b b

16

где

Вследствие дебаевского экранирования при b > λD рассеяние не происходит. Следовательно, минимальный угол отклонения θmin соответствует bmax = λD. Максимальным будем считать угол π, хотя его точное значение неважно из-за малой вероятности рассеяния на большие углы.

При рассеянии импульс частицы α изменится на δp = mαδu, а энергия на δε ≈ mαu·δu. Среднее изменение энергии частицы α при движении через скопление мишеней с концентрацией nβ рассчитывается по формуле

где у концентрации мишеней мы опустили индекс сорта. Обозначив

где τε – характерное время изменения энергии, получим, что частота столкновений ν ≡ τ−ε 1 nb2 ln(λD/b ).

17

Концентрация частиц равна n = ND/λ3D, где ND – число частиц в дебаевском объеме. Посмотрим, изменится ли частота столкновений, если мы введем вместо ND реальных частиц в ячейке ppc макрочастиц. Тогда

вие бесстолкновительности выполняется при ν˜/ωpe 1, т. е. при ppc 1

(плазменная частота электронов ωpe одинакова для частиц и макрочастиц). Убедимся, что наличие флуктуаций электрического поля приводит к линейному росту со временем средней энергии частицы. Ограничимся для простоты двумерной областью, в которой введем случайное поле E(x, y, t)

такое, что E = 0, E2 ̸= 0. Помимо амплитуды E2 случайное поле

−T

Оценим изменение средней кинетической энергии ансамбля частиц. Обозначим среднее по ансамблю . . . a, а среднее по времени – . . . t. Заметим, что R(τ) = E(t)E(t + τ) t. Тогда

18

Далее сделаем предположение об эргодичности . . . a = . . . t и получим выражение

Делая замену переменных y = t′′ −t′ и считая, что в эргодичной системе время можно отсчитывать с любого момента, получаем окончательно для t τc:

В данном случае мы воспользовались определением времени корреляции (1.17). Таким образом, доказано, что в стохастическом электрическом поле энергия системы растет линейно.

Помимо численного нагрева в системе возникают и другие численные эффекты: отклонение частиц от исходного направления движения, уменьшение скорости вдоль начального направления (v ) и появление скорости в направлении, поперечном начальному (v ).

Можно ввести следующие характерные времена накопления численных эффектов.

1.Время нагрева τH: H(τH) a = kT2 , где H(t) = m2 (v2(t) − v2(0)).

2.Время отклонения τφ: p φ2(τφ) a = π2 , где φ – угол между началь-

Эти значения ограничивают промежуток времени, на котором относи-

тельная погрешность моделирования остается достаточно малой. Они могут быть найдены при помощи численного эксперимента, в котором моделируется максвелловская плазма с нулевым средним полем.

В начальный момент времени сохраняется в памяти начальная скорость каждой частицы (направление и абсолютная величина), а затем на каждом

19

Рис. 1.2. График p φ2(t) a из [12]

шаге фиксируются H, φ2, v2 , v . Далее эти величины усредняются по ансамблю частиц, выводятся в файл, и по графику их зависимости от времени оцениваются характерные времена.

Это было проделано в [12] для электростатического кода. Для примера приведем полученный график, на котором показана зависимость от времени среднеквадратичного угла отклонения частицы от начального направления (рис. 1.2). Стрелкой отмечено значение τφ, полученное из моделирования.

Упражнение

Написать электростатический код, где на двумерной периодической сетке размером 8×8 ячеек находятся 1024 электрона. Выбрать размер ячейки, равный дебаевскому радиусу λD, шаг по времени – 0,5ω−pe1. Длины нормировать на размер ячейки, времена – на шаг по времени, заряды и массы –

20