Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

цы может осуществляться с помощью весовых функций, как и в кинетических кодах. Такие коды работают довольно быстро, но имеют ограниченный динамический диапазон: минимальная длина волны равна удвоенному размеру ячейки h, а максимальная – размеру области моделирования L.

Второй метод имеет неограниченный динамический диапазон и не требует дискретизации, но работает существенно медленнее. В начале моделирования задаются и сохраняются в памяти компьютера амплитуды, направления, фазы и поляризация всех гармоник. Затем на каждом шаге для всех частиц находится магнитное поле в точках их нахождения по формуле (2.5). После этого рассчитываются ускорения, вычисляются скорость и координаты на следующем шаге. Далее цикл повторяется.

В процессе моделирования можно найти зависимость от времени среднего по ансамблю квадрата смещения частиц и определить, является ли их распространение диффузионным. Если это так, то можно определить коэффициент диффузии, например через характерное время рассеяния:

w∞

τs = dτC(τ),

0

где C(τ) = µ(t + τ)µ(t) / µ(t)2 – автокорреляционная функция направления движения; µ = cos(α); α – угол между скоростью частицы и регулярной составляющей магнитного поля.

Если регулярная составляющая поля отсутствует, то угол можно отсчитывать от произвольного направления и диффузия является изотропной. Иначе различают продольный и поперечный коэффициент диффузии. Их можно вычислить, найдя средний квадрат продольного или поперечного смещения h2 и h2 :

31

Упражнения

1.Методом Монте-Карло проинтегрировать cos x от 0 до π/2 двумя способами: с линейной и постоянной плотностью распределения случайной величины. Каждым способом взять интеграл 10 000 раз и вычислить среднеквадратичное отклонение результата от правильного. Сделать вывод, насколько использование линейной плотности распределения уменьшает погрешность при равном количестве итераций.

2.Воспользовавшись приведенным в данной главе примером кода для моделирования одномерных случайных блужданий, найти зависимость распределения частиц от длины свободного пробега a и числа шагов по времени

Nsteps.

3.В начальный момент времени N = 10 000 частиц с максвелловским распределением по скоростям находились в точке x = y = z = 0. Смоделировать их трехмерную диффузию, нормируя скорости на среднюю по модулю скорость v , а координаты – на длину свободного пробега λ. Построить функцию распределения по координате x при t = 100λ/ v и сравнить

сожидаемой.

4.В одномерной области, разделенной на N = 1000 ячеек (отрезков), задать N/2 альвеновских мод с длинами волн от 1 до N/2 ячеек, колмогоровским спектром турбулентности и случайной фазой. Вывести в текстовый файл компоненты перпендикулярного магнитного поля в зависимости от x. Сделав дискретное преобразование Фурье, проверить, что спектр флуктуаций является колмогоровским.

5.В трехмерной области размером 20×20×20 ячеек изотропно задать 100 альвеновских волн с длиной волны 10 ячеек, амплитудой 0, 01 и случайной поляризацией, фазой и направлением. Вывести зависимость всех компонент магнитного поля от x.

32

3. РАДИАЦИОННАЯ ГИДРОДИНАМИКА

3.1. Основные понятия теории излучения

Ранее мы изучали коды, моделирующие самосогласованное взаимодей-

ствие вещества с полем, гравитационным или электромагнитным. Однако

вмоделях не учитывалась динамическая роль излучения. Во многих астрофизических средах такой подход допустим, поскольку влияние излучения на систему минимально. В этом случае достаточно на стадии обработки результатов рассчитать излучение смоделированного объекта. Однако если плотность энергии излучения и его поток слишком велики, ими нельзя пренебрегать. Например, взаимодействие излучения с веществом важно учитывать

внедрах звезд и вблизи их поверхности.

Сучетом давления и энергии излучения, а также лучистого переноса энергии код существенно усложняется: излучение одной ячейки может оказывать влияние на всю область моделирования на временах порядка L/c, где L – размер области моделирования. Это значит, что код утрачивает локальность, присущую МГД, кинетическим и гибридным кодам, в которых в течение одного шага по времени на каждую ячейку влияют только ее соседи.

Одним из часто используемых типов кодов, включающих в себя излучение, являются радиационно-гидродинамические (РГД) коды, которые были разработаны на базе гидродинамических. Кинетика отдельных частиц, в том числе фотонов, в них не учитывается, вместо этого работают с усредненными величинами на дискретной сетке. Прежде чем выписать систему уравнений РГД, введем необходимые понятия теории излучения.

Удельная интенсивность в момент времени t в точке с координатами r

представляет собой количество лучистой энергии ε в спектральном интервале dν вблизи частоты ν в элементе телесного угла dΩ вблизи направления n, протекающей за время dt через площадку dS, нормаль к которой составляет угол θ с n:

Если излучение распространяется из начала координат (r = 0) сферически симметрично (приближение, часто используемое в моделях звезд),

33

то удельная интенсивность зависит только от r, t, µ и ν, где µ ≡ cos θ = n · r/r. Это верно и в случае, когда поток излучения можно считать плоским и направленным вдоль одной оси (допустим, оси z). Тогда Iν зависит от z, t, µ, ν, а угол θ отсчитывается от оси z.

Удельную интенсивность можно выразить через плотность числа фотонов с данной энергией, летящих в данном направлении:

ψν(r, t, n, ν) = dN [см−3Гц−1ср−1]; dV dν dΩ

Iν(r, t, n, ν) = chνψν(r, t, n, ν).

Проинтегрировав удельную интенсивность по телесному углу, получим среднюю интенсивность

1 z

Jν(r, t, ν) = 4π Iν(r, t, n, ν)dΩ.

Поскольку dΩ = sin θdθdφ, а в случаях сферической или плоской сим- r

метрии удельная интенсивность от φ не зависит, в этих случаях Jν = 12 Iνdµ,

т. е. предcтавляет собой нулевой угловой момент удельной интенсивности.

Плотность энергии излучения с данной частотой пропорциональна сред-

Проинтегрировав по спектру частот, получим полную плотность излу-

r∞

чения E = Eνdν = 4cπJ.

0

Поток излучения Fν(r, t, ν)[эрг см−2с−1Гц−1] представляет собой такой вектор, что его скалярное произведение на вектор площадки dS дает полный поток энергии в данном спектральном интервале через эту площадку в единицу времени. Число фотонов с данной энергией, пересекающих данную площадку в единицу времени, можно найти, проинтегрировав по углу плотность числа фотонов:

z

dN = ψν(r, t, n, ν)cn dΩ · dS.

34

Умножив на энергию одного фотона, получим

z

dε = hνdN = I(r, t, n, ν)ndΩ · dS.

Поскольку dε = Fν · dS, поток равен z

Fν = I(r, t, n, ν)n dΩ.

r∞

Интегрируя по частотам, получим полный поток энергии F = Fνdν.

0

В сферически или плоскопараллельно симметричном случае поток имеет только одну ненулевую компоненту (радиальную или продольную). Например, в случае плоскопараллельной симметрии

w1

Fν = F (z, t, ν) = 2π Iν(z, t, µ, ν)µ dµ ≡ 4πHν,

−1

где Hν – первый угловой момент удельной интенсивности. Введем понятие тензора напряжений (давления) излучения:

Тензор напряжений имеет смысл удельного потока i-й компоненты импульса через единичную площадку, ортогональную j-й координатной оси.

Интегрируя по частоте, получим полный тензор давления излучения Pij = r∞

Pijν dν [дин см−2]. Из определения следует, что Pij = Pji, т. е. тензор давле-

0

ний имеет шесть независимых компонент.

В симметричном случае можно выбрать систему координат таким образом, что nx = sin θ cos φ, ny = sin θ sin φ, nz = cos θ ≡ µ. Тогда

35

где Pν – скалярное давление излучения

Pν ≡ 2cπ w1 Iνµ2dµ ≡ 4cπKν,

−1

а Kν – второй угловой момент удельной интенсивности излучения

Kν = 12 w1 Iνµ2dµ.

−1

Аналогичным образом можно получить другие диагональные компоненты тензора давления и показать, что недиагональные компоненты равны нулю. Окончательно имеем

В случае полностью изотропного излучения (Iν(µ) = const) выполняется равенство Pν = 13Eν. Тогда все диагональные компоненты тензора давлений равны Pν. В случае когда излучение представляет собой плоскую волну вдоль оси z (Iν(µ) = Iνδ(µ−1)), остается только одна ненулевая компонента тензора давлений Pzzν = Eν.

Мерой изотропии излучения является тензор Эддингтона

Fν = Pν ,

Eν

в симметричном случае вырождающийся в фактор Эддингтона:

Вкачестве примера приведем значения вышеперечисленных величин

вслучае термодинамически равновесного излучения (излучения черного тела). Удельная интенсивность в этом случае не зависит от направления

36

а интегральная плотность энергии фотонов удовлетворяет закону Стефана–

Больцмана:

w∞

E (T ) = Eνdν = aRT 4.

0

Интенсивность излучения, проинтегрироваванная по всем частотам,

равна

J ≡ B(T ) = σπR T 4 = a4RπcT 4,

где σR = aRc/4 – постоянная Стефана–Больцмана. Поток излучения с поверхности черного тела

w1

FBB = 2π B(T )µdµ = πB(T ) = σRT 4.

0

В данном выражении учтена изотропия интенсивности излучения. Давление излучения черного тела

P = 13aRT 4.

Для описания взаимодействия излучения с веществом необходимо ввести еще два понятия: коэффициент экстинкции (поглощения) и излучательная способность.

Непрозрачность (коэффициент экстинкции) χν(r, t, n, ν) связывает удельную интенсивность излучения с количеством поглощенной энергии на единицу пробега, площади, угла, частоты и времени:

δεν = χν(r, t, n, ν)Iν(r, t, n, ν) dx dS dΩ dν dt.

37

Коэффициент экстинкции имеет размерность обратной длины и может

Длина свободного пробега фотона с частотой ν имеет вид λν = χ−ν 1. Коэффициент экстинкции часто бывает изотропным в системе покоя среды, однако в системе покоя наблюдателя возникает эффект Доплера, нарушающий изотропию. Удельный коэффициент экстинкции κ = χ/ρ.

Излучательная способность ην [эрг см−3с−1Гц−1ср−1] предcтавляет собой количество энергии, излучаемое веществом на единицу пробега, площади, угла, частоты и времени:

δεν = ην(r, t, n, ν) dx dS dΩ dν dt.

Излучение в среде может поглощаться и приводить к ее нагреву или рассеиваться и переизлучаться, в том числе на другой частоте. Поэтому удобно записать коэффициент экстинкции в системе покоя вещества как сумму поглощения и рассеяния, а излучательную способность – как сумму теплового излучения и рассеяния (или вынужденного излучения):

χν(r, t, ν0) = κν(r, t, ν) + σν(r, t), ην(r, t, ν) = ηtν(r, t, ν0) + ηsν(r, t, ν),

где κν относится к поглощению, ηtν – тепловому излучению, σν и ηsν – рассеянию. Если рассеяние консервативно, когерентно и изотропно, т. е. свет перерассеивается с той же интенсивностью, на той же частоте и равноверо-

ятно по всем направлениям, то ηsν(r, t, ν) = σν(r, t)Jν(r, t, ν) и z

δεν = σν(r, t)Iν(r, t, n, ν)dΩ = 4πσν(r, t)Jν = 4πηsν(r, t, ν).

Поскольку излучение может приходить от источников в любой точке, локальная излучательная способность зависит от удаленных участков, что существенно усложняет моделирование. Однако в приближении локального теплового равновесия можно воспользоваться законом Кирхгофа:

ηtν(r, t, ν) = κν(r, t, ν)B T (r, t), ν .

Таким образом, излучательная способность зависит от коэффициента поглощения и температуры в данной точке.

38

3.2. Система уравнений радиационной гидродинамики

Выпишем систему уравнений, определяющую динамику излучения. Она основана на уравнении переноса излучения:

где s – координата вдоль направления распространения луча. Например, в декартовых координатах

Если излучательная способность включает в себя рассеяние, то в правой

части возникает член, пропорциональный средней интенсивности. Посколь- r

ку Jν = Iν(µ)dµ, уравнение переноса становится интегро-дифференциаль- ным.

Удобно ввести понятия оптической толщи

39

Тогда в стационарном случае (∂Iν/∂t = 0) уравнение переноса упростится:

µ∂Iµν = Sµν − Iµν,

∂τµν

где µ – угол распространения; ν – частота.

В случае равновесного излучения черного тела функция источника

Sν = Bν(T ). Если помимо теплового излучения и поглощения в системе происходит изотропное когерентное рассеяние, то

χν = κν + σν;

ην = κνBν(T ) + σνJν;

Sν = κνBν(T ) + σνJν .

κν + σν

Нулевой и первый угловые моменты уравнения переноса (3.2) дают законы сохранения энергии и импульса излучения. Они совместно с уравнением состояния вещества и уравнениями гидродинамики, в которые включены давление и поток энергии излучения, составляют систему уравнений РГД. Без учета релятивизма и диссипативных эффектов эта система имеет вид

40