Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ функции нескольких переменных. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

953 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

№ 2357

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Т.В. Лоссиевская

Математический анализ

Функции нескольких переменных

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2014

УДК 517.5 Л79

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. П.И. Черноусов

Лоссиевская, Т.В.

Л79 Математический анализ : функции нескольких перемен- ных : учеб. пособие / Т.В. Лоссиевская. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 77 с.

ISBN 978-5-87623-791-0

Настоящее пособие содержит справочный материал по теме «Функции не- скольких переменных», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также подробный разбор методов решения типовых задач домашнего задания. Количест- во вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 231300.

УДК 517.5

ISBN 978-5-87623-791-0

♥ Т.В. Лоссиевская, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Функции нескольких переменных и их свойства..............................	4
1.1. Частные производные ...................................................................	4
1.2. Дифференцируемость ФНП в точке ............................................	5
1.3. Дифференциал ...............................................................................	7
1.4. Производная сложной функции ...................................................	7
1.5. Инвариантность формы первого дифференциала ...........................	8
1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................	9
1.7. Скалярное поле ............................................................................	11
1.8. Производная по направлению. Градиент ..................................	11
1.9. Производные и дифференциалы высших порядков ......................	12
1.10. Формула Тейлора для ФНП......................................................	15
1.11. Неявные функции ......................................................................	15
1.12. Экстремумы ФНП (безусловные) ............................................	22
1.13. Условный экстремум.................................................................	25
1.14. Задача отыскания наибольшего и наименьшего значений
функции, заданной в замкнутой ограниченной области......................	34
2. Решение типовых задач......................................................................	36
3. Задания ................................................................................................	56
Библиографический список...................................................................	76

1.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ИИХ СВОЙСТВА

Внастоящем разделе дается справочный материал, касающийся дифференциальных свойств функций нескольких переменных

(ФНП). Ради геометрической	наглядности изложение ведется
для функций двух переменных:	f (x, y) . В случае необходимости

рассматриваются функции большего числа переменных.

1.1. Частные производные

Пусть функция f (x, y) определена в некоторой окрестности точ-

ки M0 (x0 , y0 ).
Определение 1.1. Полным приращением функции f (x, y)			в точке
M0 (x0 , y0 ), соответствующим приращениям аргументов		х и	у , на-
зывается разность f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 ) и обозначается			f .
Таким образом,
f = f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 , y0 ).			(1.1)
Замечание. Точка M (x0 + x, y0 + y)	принадлежит окрестности
точки M0 (x0 , y0 ), где определена функция	f (x, y) .
Определение 1.2. Частным приращением функции		f (x, y)	по пе-

ременной х, соответствующим приращению х , называется разность

f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 ) и обозначается x f . Таким образом,

x f = f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 ).	(1.2)
Аналогично определяется частное приращение функции	f (x, y)

по переменной у.

Определение 1.3. Пусть функция f (x, y) определена в некоторой ок-

рестности точки M0 (x0 , y0 ). Если					существует конечный предел
lim	x f	, то он называется		частной производной		функции

x→0	x					∂f
f (x, y) по переменной х в точке M				(x , y ) и обозначается			(x , y ) ,
						∂x
			0	0	0		0	0

или fx′(x0 , y0 ).

Таким образом,

	∂f	(x	, y		) = lim	x f	.	(1.3)

	∂x	0		0	x→0	x

Аналогично определяется				частная		производная функции		f (x, y)

по переменной у.

∂f

Из определения 1.3 следует, что частная производная ∂x вычисляется

при фиксированном у, т.е. она вычисляется так же, как производная функции ϕ(x) ≡ f (x, y) одной переменной х, а у является параметром.

1.2. Дифференцируемость ФНП в точке

Определение 1.4. Функция f (x, y)			называется дифференцируе-
мой в точке M0 (x0 , y0 ),	если ее полное приращение в этой точке
представимо в виде
f = A x + B	y + o(ρ),	ρ =	( x)2 + ( y)2 ,	(1.4)
где величины А и В не зависят от		х и	у.

Замечание. Всякая функция, определенная в некоторой окрестно- сти точки M0 (x0 , y0 ) , имеет полное приращение, но не для всякой функции ее полное приращение представимо в виде (1.4), т.е. не вся- кая функция дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ) .

Пример 1.1. Доказать, что функция f (x, y) = 3 xy недифференци-

руема в точке (0,0).

Доказательство. Предположим противное: существуют величины

А и В, независящие от	x	и y, такие, что имеет место равенство
f ≡ f ( x,	y) − f (0,0) = A				x + B y + o(ρ) ,			см. (1.4).
Так как f(0,0) = 0, то отсюда получаем, что
3 х		у = А х + В			у + о(ρ)		.	(1.5)

В (1.5) положим	у =		х . Тогда
		1			о( х)
(	х)−			= (А + В) +		.		(1.6)
			3

В (1.6) переходим к пределу при	х → 0 . Получим
∞ = (А + В) + 0, что невозможно.

Теорема 1.1 (необходимое условие дифференцируемости функ- ции в точке). Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 1.2 (необходимое условие дифференцируемости функ- ции в точке). Если функция f (x, y) дифференцируема в точке

M0 (x0 , y0 ) , то в этой точке существуют обе частные производные

∂f		∂f	и имеет место равенство
	и
∂x		∂y
	f	=	∂f	(x , y )		x +	∂f	(x , y ) y + o(ρ), ρ = ( x)2 + ( y)2 . (1.7)
			∂x				∂y
				0	0			0	0

Замечание. Существование обеих частных производных в точке не яв- ляется достаточным условием дифференцируемости функции f (x, y)

в этой точке. Например, функция		f (x, y)	= 3 ху недифференцируема
в точке (0,0) (см. пример 1.1), но	∂f	(0,0) =	∂f	(0,0) = 0 (доказать).
	∂x
			∂y

Теорема 1.3 (достаточное условие дифференцируемости функции

в точке). Если обе частные производные	∂f	и	∂f	определены в не-
	∂x
			∂y

которой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) и непрерывны в самой точке

M0 , то функция f (x, y) дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ) .

Замечание. Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.

Пример 1.2. Доказать, что функция

		1
(x2	+ y2 ) sin		, (x, y) ≠ (0,0),

f (x, y) =		x2 + y2
	0,		(x, y) = (0,0)

дифференцируема в точке (0,0), а ее частные производные

∂f	(x, y) и	∂f	(x, y) не являются непрерывными в этой точке.
∂x		∂y

Доказательство. 1. Так как

f ≡ f ( x, y) − f (0,0) ≤ ( x)2 + ( y)2 = ρ2 = o(ρ) , то функция

f(x, y) дифференцируема в точке (0,0).

2.Имеем

∂f

−

, (х, у) ≠ (0,0).

(x, y) = 2x sin

− x (x

+ y

) 2 cos

∂x

x2 + y2

Отсюда следует, что lim

∂f

(x, y)

не существует.

x→0

∂x

y→0

Следовательно, производная

∂f

(x, y)

не является непрерывной

в точке (0,0).

∂x

1.3. Дифференциал

Определение 1.5. Пусть функция f (x, y) дифференцируема в точке
M0 (x0 , y0 ). Дифференциалом функции f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 )	(обо-
значается df (x0 , y0 ) ) называется линейная относительно х и	у
часть полного приращения функции f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ).

Если х и у независимые переменные, то положим по определению

x = x − x0 = dx,

y = y − y0 = dy.

Тогда из (1.7) и определения 1.5

следует

df (x , y ) =

∂f

(x , y ) dx +

∂f

(x , y ) dy ,

(1.8)

∂x

∂y

или

df =

∂f

dx +

∂f

dy.

(1.8*)

∂x

∂y

1.4. Производная сложной функции

Теорема 1.4. Пусть функции u(x, y)		и v(x, y) дифференцируемы
в точке М0 (х0 , у0 ), а функция	f (u,v)	дифференцируема в точке
	= v(x0 , y0 ). Тогда сложная функция
M (u0 ,v0 ), где u0 = u(x0 , y0 ), v0	= v(x0 , y0 ). Тогда сложная функция

f (u(x, y),v(x, y)) дифференцируема в точке

сто формулы

∂f =	∂f ∂u +	∂f ∂v ,
∂x	∂u ∂x	∂v ∂x
∂f =	∂f ∂u +	∂f ∂v .
∂y	∂u ∂y	∂v ∂y

М0 (х0 , у0 ) и имеют ме-

(1.9)

(1.10)

Замечание 1. Теорема верна для любого количества переменных x, y, z, … и переменных u,v, w, …, причем количество переменных

x, y, z, … не обязательно совпадает с количеством переменных u,v, w, …. Формулы для вычисления частных производных функции f естественным образом обобщаются на эти случаи.

Замечание 2.

а) Если

f = f (x, y) , a x = x(t) ,

y = y(t) ,

то в результате имеем

функцию одной переменной

f (x(t), y(t)) . Тогда

∂f

+ ∂f

∂x dt

∂y dt

В частности,

б) если

f = f (x, y) , y = y(x) , то

= ∂f +

∂f

(1.11)

∂x

∂y dx

Производная df , стоящая в левой части (1.11), называется пол-

dx	f (x, y) по переменной х. Отметим, что
ной производной функции	f (x, y) по переменной х. Отметим, что
∂f – частная производная функции		f (x, y) по переменной х; вооб-
∂x
ще говоря, они не совпадают.
1.5. Инвариантность формы первого дифференциала
Инвариантность формы	первого	дифференциала заключается
в том, что формула (1.8*)

df = ∂f dx + ∂f dy

∂x ∂y

имеет место и тогда, когда х и у являются независимыми перемен- ными, и тогда, когда х и у – некоторые функции; но в первом случае dx = x, dy = y, а во втором – dx и dy – дифференциалы соответст-

вующих функций.

1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть S – поверхность, заданная уравнением

F(x, y, z)= 0.

(1.12)

Определение 1.6. Прямая называется касательной к поверхности

в точке если она является касательной к какой либо

S M0 (x0 , y0 , z0 ), -

кривой, лежащей на поверхности S и проходящей через точку М0 .


Определение 1.7. Точка M (x, y, z) S называется особой точкой
поверхности S, если в этой точке			∂F =	∂F =	∂F = 0 (см. (1.12)) или
			∂x	∂y	∂z
хотя бы одна из этих производных не существует.
Определение 1.8. Точка
Определение 1.8. Точка		М(x, y, z) S называется обыкновенной
точкой поверхности S, если в точке
точкой поверхности S, если в точке			М существуют и непрерывны ча-
стные производные ∂F ,	∂F ,	∂F и хотя бы одна из этих производных
∂x	∂y	∂z

отлична от нуля.

Теорема 1.5. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкно- венной точке лежат в одной плоскости.

Определение 1.9. Плоскость, в которой расположены все каса- тельные прямые к линиям на поверхности S, проходящим через дан-

	(x0 , y0 , z0 ) S,		называется касательной плоскостью
ную точку M0
		(x0	, y0 , z0 ).
к поверхности S в точке M0

Замечание. В особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. Например, вершина конуса является особой точкой и не имеет касательной плоскости.

Определение 1.10. Нормалью к поверхности в некоторой точке этой поверхности называется прямая, проходящая через указанную точку перпендикулярно касательной плоскости.

а) Поверхность задана неявно: F(x, y, z) = 0. (см. (1.12)).

, y0 , z0 )

поверхности F(x0 , y0 , z0 ) = 0

не является

Точка M0 (x0

особой, т.е.

∂F

(M0 )

∂F

0 )

∂F`

0 )

> 0.

Нормальный

∂y

∂x

∂z

вектор касательной

плоскости

, y0 , z0 )

имеет вид

в точке M0 (x0

∂F

N =

0 ),

0 ) .

∂x

∂y

∂z

Уравнение касательной плоскости

∂F

(M0 ) (x − x0 ) +

∂y

(M0 ) ( y − y0 ) +

∂z

(M0 ) (z

∂x

Канонические уравнения нормали

x − x0

y − y0

z − z0

∂F

(M0 )

∂x

∂y

∂z

Напомним, что

∂F

F(x0, y0

, z0 ) = 0,

(M0 )

0 )

∂x

∂y

∂z

б) Поверхность задана явно:

z = f (x, y),

(x, y)

− z0 ) = 0. (1.13)

(1.14)

	2
(M	0 )	> 0.

G R2 .

Нормальный вектор касательной плоскости в точке

M (x , y , f (x , y )) S			имеет вид N =	∂f	(M		), ∂f (M			), − 1 . Сле-

	0 0 0	0 0		∂x		0		∂y	0
	0 0 0	0 0				0			0

довательно,

уравнение касательной плоскости

z − f (M ) =

∂f (M ) (x − x ) +

∂f

(M ) ( y − y );

(1.15)

∂x

∂y

канонические уравнения нормали

x − x0

y − y0

z − f (M0 )

(1.16)

∂f

(M0 )

−1

∂x

∂y

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]