Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ функции нескольких переменных. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

953 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

5.22. ( x2 + y2 )2 = 3x2 y + y3 ,					x	= y		= 1.
					0		0
5.23. x2 + y2 − 4x − 10y + 4 = 0,						x	= 6, y				= 2.
						0			0
5.24. x4 y + xy4 − ax2 y2 = a5 ,					x	= y		= a.
					0		0
5.25. x2 + y2 + ln ( x2 + y2 ) = 1, x						= 3 5, y				= − 4 5.
					0				0
5.26. x3 + y3 − 3xy = −1,			x		= 2, y		= −3.
			0			0
5.27. 5 (x2 + y2 − 2x)2 = 9 ( x2 + y						2 ),		x = 1, y = −2.
									0		0
5.28. 5x2 y2 − x4 − y4 = 1, x					= 2, y		= − 1.
			0			0
5.29. 3 arctg	x + y	− y =	3π	,	x = 3, y				= 0.
5.29. 3 arctg		− y =		,	x = 3, y			0	= 0.
3			4		0			0
3			4
5.30. 2xy − ln y + 1 = 0,			x0 = 0, y0 = e.

Задача 6. Найти частные производные первого и второго поряд- ков функции z(x, y) , заданной неявно.

6.1.x2 − 2y2 + z2 − 4x + 2z − 5 = 0.

6.2.z3 + 3xy = a3.

6.3.e3 − xyz = 0.

6.4.	x2	+	y2	+	z2	= 1.
	a2		b2		c2

6.5.x + y + x = ez .

6.6.x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0.

6.7. z = x + arctg y . z − x

6.8.x2 + y2 + x2 = 2z.

6.9.x3 + y3 + z3 − 3z = 0.

6.10. z = x2 − y2 tg	z
		.

x2 − y2

6.11.x + y + z = e−( x+ y+ z) .

6.12.z3 − xyz + y2 = 16.

6.13.arctg z = z + x + y. x

6.14.x + y + z = ln xyz, x > 0, y > 0, z > 0.

6.15.ln (xy + yz) = x2 + y2 + z2 − 2.

6.16.x + y + z = cos xyz

6.17.z4 + zx3 + zy3 = a4 .

6.18.xyz = x2 + y2 + z2 .

z	= ln (x + y + z).
6.19. x2 + y2

6.20.z (1+ x2 ) = y (1+ z4 ).

6.21.x2 − y2 + 2z2 − zy + y = 0.

6.22.x3 + 2y3 + z3 −3xyz − 2y + 3= 0.

6.23.x cos y + y cos z + z cos x = 1.

6.24.x2 + y2 − z2 − xy = 0.

6.25. x2 + y2 − z2 = a2 . a2 b2 c2

6.26.z3 − 3xyz = 4.

6.27.z4 − 2zx3 + 4zy3 = 48.

6.28.x2 + 2y2 + 3z2 = 6xyz.

6.29.ln (xy + xz) = x2 − y2 + 2z2 − 3.

6.30.x + y + z = tg xyz

Задача		7.			Найти	второй		дифференциал	в	точке
M0 (x0 , y0 ), z(M0 ) = z0 функции z = z(x, y) , заданной неявно.
7.1.	3x2 y2 + 2z2 xy − 2zx3 + 4zy3 − 4 = 0, M0 = (2,1), z0 = 2.
7.2.	x = z ln		z	,	M0 = (0, 2), z0 = 2.

			y
7.3.	x 2	+2y2 + 3z2 + xy − z = 9,					M0 = (1,−2) , z0 = 1.
7.4.	3xyz + x2 z2 = 5(x + y),					M0 = (1,−2), z0 = 1.
7.5.	x 2	+ zx + z2 + y = 34,				M0 = (4,−3) , z0 = −7.
7.6.	x3 + y3 − 3xyz − z3 + 2 = 0,						M0 = (2,−1), z0 = 3.

7.7. 2ln xyz = x2 + y2 − z2 − 4, x > 0, y > 0, z > 0; M0	= (4,	1	), z0	=	1	.

	2			2

7.8.x4 + y4 + z4 = 3xyz, M0 = (−1, −1), z0 = 1.

7.9.xz5 + y3 z − x3 = 0, M0 = (1,0), z0 = 1.

7.10.5x2 + 5y2 + 5z2 − 2xy − 2yz − 2xz − 72 = 0, M0 = (1,1), z0 = 4.

7.11.2x2 + 2y2 + z2 + 8xz − z + 8 = 0, M0 = (−2,0), z0 = 1.

7.12.2x2 + 2y2 + z2 + 4xz − z − 8 = 0, M0 = (0,2), z0 = 1.

7.13.x2 − 2y2 + z2 − 4x + 2z − 10 = 0, M0 = (1, −1), z0 = 3.

7.14.z3 + 3xyz + 207 = 0, M0 = (5,4), z0 = −3.

7.15.ez − xyz = 1 M0 = (−1,7), z0 = 0.

7.16.x + y + z = 2ez , M0 (2, −1), z0 = 0.

7.17. z = arctg	y	+ x + 1, M	0 = (−2,0), z0 = −1.

	z − x

7.18.x2 + y2 + z2 = 3z , M0 = (1, −1), z0 =1.

7.19.x3 + y3 + z3 − 3z = 0, M0 = (−1, −1), z0 = 2.

7.20. z = 2			x2 − y2 tg		z		,	M	0 = (2,1), z0 = 0.

					x2 − y2
7.21. z3 − xyz + y2 = 3,					M0 = (1,2), z0 = 1.
7.22. arctg		z	= 2z + x + y ,			M0 = (1,−1), z0 = 0.

		x
7.23. ln (xy + yz) = x2 + y2 + z2 − 2,									M0 = (0,1), z0 = 1.
7.24. x + y + z = cos xyz ,					M0 = (0,0), z0 = 1.
7.25. z4 + zx3 + zy3 = 1,					M0 = (1, −1), z0 = 1.
7.26. x2 + y2 + z2 = xyz + 8,						M0 = (1,2), z0 = 3.
7.27.	z			= ln (x + y + z), M0 = (−1,2), z0 = 0.

	x2 + y2

7.28. z (1+ x2 ) = y (1+ z4 ),						M0 = (13,0), z0 = 0.
7.29. x2 − y2 + 2z2 − zy + y = 67,								M0 = (−7,4), z0 = 5.
7.30. x3 + 2y3 + z3 − 3xyz − 2y = 47,									M0 = (−4,2), z0 = 3.

Задача 8. Приняв y за новую независимую переменную, а x за функцию от y, преобразовать следующие уравнения:

8.1.y′y′′′ − 3( y′′)2 − ( y′)5 y = 0.

8.2.y′′ + (ey − x)( y′)3 = 0.

8.3.(y′)2 y(4) − 10y′y′′y′′′ + 15(y′)3 = 0.

8.4.y′′ − x(y′)3 + ey (y′)3 = 0.

8.5.y′′ + ( y′)3 y = 0.

8.6.( y′′′ + yy′)( y′)2 − ( y′′)2 (3y′ + x2 ) = 0.

Введя новые переменные, преобразовать следующие обыкновен- ные уравнения:

8.7.

y2 + (x2 − xy) y′ = 0,

y = tx,

y = y(t).

8.8.

x4 y′′ + 2x3 y′ + y = 0,

x =

y = y(t).

8.9.

x3 y′′ + xyy′ − y2 = 0,

x = et ,

y = u et , u = u(t).

8.10. x2 y′′ + 3xy′ + y = 0,

x = et ,

y = y(t).

8.11. (1+ x2 )2 y′′ + 2x (1+ x2 ) y′ + y = 0, x = tgt ,

y = y(t).

8.12. y′ + 2xy = 2x3 y3 , u =

, u = u(x).

8.13. y′′′ − x3 y′′ + xy′ − y = 0,

x =

y =

, u = u(t).

8.14. x2 y′′ − 4xy′ + y = 0,

x = et ,

y = y(t).

8.15. y′′′ =

, t = ln

y = y(t).

8.16. y′ = xy + x2 y3 ,

u =

u = u(x).

8.17. xyy′′ − x( y′)2 + yy′ = 0,

t = y ,

u = ln

u = u(t).

8.18. x3 y′′′ + 2x2 y′′ − xy′ + y = 0,

t = ln x, y = y(t).

8.19. x4 y′′ − c2 y = 0,

y =

x =

u = u(t).

8.20.	x2	y′ + y = 1, y = u + 1,			ln x	=	ln t	, u = u(t).
	− ln x				x		t
1
8.21. (1− x2 ) y′′ − xy′ + ay = 0,					x = sin t ,			y = y(t).
8.22. y′′ + (x + y)(1+ y′)3 = 0,				x = u + t ,				y = u − t , u = u(t).
8.23. xy′′ + 2y′ − xy = ex , y =			u	, u = u(x).
			x

8.24. y′′ + 2 th 2x y′ +	m2 y	= 0,	x =

	ch2 2x
8.25. (1+ x2 )2 y′′ = − y ,	x = th t ,		y =

1 ln tg 2t , y = y(t). 2

u , u = u(t). ch t

8.26. xy′′ − y′ + xy = 0,

t =

y = y(t).

8.27. (x − x3 ) y′′ + (1− 3x2 ) y′ − xy = 0,

x =

1− t2 .

8.28. (1+ x2 )2 y′′ = y ,

x = tgt ,

y =

u = u(t).

cost

8.29. y′′ =

, u =

, t = ln

x − 1

, u = u(t).

(x − 1)2 (x − 2)2

x − 2

8.30. (1 − x2 )2 y′′ − 2x (1 − x2 ) y′ +

2xy

= 0,

x = th t , y = y(t).

1 − x

Задача 9. Приняв u и v за новые независимые переменные, преобра- зовать следующие уравнения:

9.1.	zxx + zyy + m2 z = 0,	x =	1	(u2 − v2 ),	y = uv.

		2
9.2.	x2 zxx − 2xsin y zxy	+ sin2 y zyy = 0,			u = x tg	y	,	v = x.

					2
9.3.	2zxx + zxy − zyy + zx	+ zy = 0, u = x + 2y + 2, v = x − y − 1.
9.4.	zxx + 2xy2 zx + 2( y − y3 ) zy + x2 y2 z = 0, x = uv,							y =	1	.

									v
9.5.	(1+ x2 ) zxx + (1+ y2 ) zyy + xzx + yzy = 0, u = ln (x +							1+ x2 ),
	v = ln ( y + 1+ y2 ).

9.6.

zxx − yzyy = 0, y > 0,

x =

(u + v),

y =

(u − v)2 .

9.7.

ax2 zxx + 2bxyzxy + cy2 zyy

= 0,

u = ln x,

v = ln y.

9.8.

y2 zxx + 2yzxy

+ zyy = 0,

x =

(u + v2 ),

y = v.

9.9.

zxx + zyy

= 0,

u =

v =

+ y2

+ y

9.10. xzxx − 2

xy zxy + yzyy +

= 0,

u =

x + y, v = x.

9.11. tg2 x zxx − 2y tg x zxy + y2 zyy + tg3 x zx = 0,u = y sin x, v = y.

9.12. zxx + zyy + m2 z = 0,

x = eu cosv,

y = eu sin v.

9.13. zxx − yzyy −

zy = 0, y > 0,

u = x − 2

y , v = x + 2

y .

9.14. x2 zxx

+ 2 xyzxy + y2 zyy = 0, u =

, v = y.

9.15. xy z

− (x2 + y2) z

+ xy z

+ y z

+ x z

= 0,u =

(x2

+ y2), v = xy.

Приняв u и v функцию от u и уравнения:

за новые независимые переменные, а w за новую v, преобразовать к новым переменным следующие

9.16. zxx + 2zxy

+ zyy

= 0,

u = x,

v = x − y ,

w = x − y + z.

9.17. yzyy + 2zy

u =

, v = x,

w = xz − y.

9.18. zxx + 2zxy

+ zyy

= 0

u = x + y ,

v = x − y ,

w = xy − z.

9.19. zxx

− 2zxy

+ zyy

= 0,

u = x + y ,

v =

w =

9.20. zxx

− 2zxy

+ 1+

zyy

= 0,

u = x,

v = x + y ,

w = x + y + z.

9.21. zxx + zxy + zx = z ,

u =

(x + y),

v =

(x − y),

w = z ey .

9.22. x2 zxx − 2xy zxy

+ y2 zyy

= 0,

u = xy ,

v = y ,

w = z − y.

9.23. x zxx + 2x zxy − x zyy + zx + zy

= 4,

u = x + y ,

v = x − y ,

w = zx.

9.24. (1− x2 ) zxx + (1− y2 ) zyy − xzx − yzy = 0,

x = sinu,

y = sinv,

z = ew.

9.25. zxx

+ zxy

+ zyy

− z = 1 − xy ,

u =

− x,

v =

− y,

w = xy − z.

9.26. (1 − x2 )zxx

− zyy

− 2xzx

−

z = 0,

< 1,

u =

( y + arccos x),

v =

( y − arccos x),

w = z 4 1 − x2 .

9.27. (1 − x)zxx − zyy

− zx

= 0,

u =

y +

1 − x ,

v =

y − 1 − x , w = 2 z 4 1 − x .

9.28. (x

− y

)(zxx + zyy ) − 2x zx + 2y zy + 3

x2 + y2

z = 0,

x2 − y2

u = x + y ,

v = x − y ,

w =

x2 − y2

9.29. zyy + 2zxy

+ zxx

= 0, u = y + x, v = y − x, w = xy − z.

9.30. zy (1+ zy )zxx − (1+ zx + zy

+ 2zx zy )zxy

+ zx (1+ zx )zyy

= 0,

u = x + z ,

v = y + z ,

w = x + y + z.

Задача

10.

Найти

угол

между градиентами

скалярных

полей

u(x, y, z) и v(x, y, z) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ).

10.1.

u =

v =

− 6y3 + 3

6 z3 ,

2 ,

yz2

10.2.

u = xyz ,

v = x2 + 9y2 + 6z2 ,

M0 1,

10.3.

u =

v = 6

6 x3 − 6

6 у3 + 2z3 ,

xz2

10.4.

u =

v =

−

2 ,

10.5.	u =		x3			−					y3					−		8z3									v =						x2																																3
																								,															,				M							2 ,							2 ,												.
																								,										2			3		,				M							2 ,							2 ,												.
				2					2										3													y		2		z	3									0																	2
				2					2										3													y				z																											2
10.6.	u = −					6		+								6		−			2					,	v =								x			,				M0								1				,			1						1							.
10.6.	u = −							+										−								,	v =						yz2					,				M0												,																.
					2x							2y 3z																					yz2															2 2 3
10.7.	u = 6				6 x3 − 6													6 y3 + 2z3 ,																			v =					xz 2						,					M								1				,			1					,1 .
10.7.	u = 6				6 x3 − 6													6 y3 + 2z3 ,																			v =											,					M		0										,								,1 .
																																												y																	6							6
10.8.	u = 3				2 x2 −									1						y2 + 3 2 z2 ,																				v =							z2																1										2
																																																			,				M										, 2,												.
																																																	2		,				M										, 2,												.
														2																																xy			2											0			3										3
														2																																xy																	3										3
10.9.	u =			1							−		2 2								−			3 3									v =						y2 z3																		1																3
																													,															,					M													,			2 ,											.
																													,															,					M													,			2 ,											.
					2 x												y									2z														x													0							2													2
10.10. u = 9					2x3 −											y3					−				4z3							v =							z3															1											3
																												,															,					M								, 2,													.
																												,													2		,					M								, 2,													.
														2				2									3											xy			2									0				3											2
														2				2									3											xy																3											2
10.11. u =				y		,				v = 6									6x3 − 6													6 y3 + 2z3														,				M0											1			,	1							,		1				.
10.11. u =			xz2			,				v = 6									6x3 − 6													6 y3 + 2z3														,				M0											6			,				6				,						.
			xz2																																																										6							6							6
10.12. u = 9					2				x3 −									y3						−			4z3								v =					xy2																1												3
																															,														,				M				0						, 2,												.
																															,											3			,				M										, 2,												.
														2					2								3													z		3														3												2
														2					2								3													z																3												2
10.13. u =				6		−			6						+			2									v =				yz2																	1						1							1
																							,													,				M			0									,						,								.
																							,									x				,				M			0									,						,								.
			2x 2y 3z																													x												2 2 3
10.14. u =				2 x2 −											3					y2 − 6										2 z2 ,									v = xy2 z ,																M0 1,												2			,			1			.
10.14. u =				2 x2 −										2						y2 − 6										2 z2 ,									v = xy2 z ,																M0 1,															,						.
														2																																																			3									6
10.15. u =		3		+			4			−				1								,					v =						z				,				M0					1, 2,										1					.
10.15. u =				+						−						6						,					v =				x3 y2						,				M0					1, 2,															.
			x y													6			z												x3 y2																										6

Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке M0 (x0 , y0 , z0 )

по направлению вектора l .

10.16. u = x2 − xy + y2	+ 2z ,
10.16. u = x2 − xy + y2	+ 2z ,	M0 (1,2,3),	l (1,1,1).
10.17. u = xy2 z3 , M0
10.17. u = xy2 z3 , M0	(3,2,1),	l (2,2,1).
10.18. u = x3 + 2xy2 + 3yz2 ,
10.18. u = x3 + 2xy2 + 3yz2 ,		M0 (3,3,1),	l (2,2,1).
10.19. u = ln (1+ x2 ) − arctg z ,				−3,	−2).
10.19. u = ln (1+ x2 ) − arctg z ,		M0 (0,1,1),	l (2,	−3,	−2).

10.20. u = arcsin

M0 (1,1,1),

l (2,1,2).

x2 + y2

10.21. u = − x

y − (z + y)

x ,

M0 (1,1,−2),

l (1,−1,

−2).

10.22. u = ln (x2 + y2 + z2 ),

M0 (1,2,1),

l (2,2,2).

10.23. u = 4 ln (3 + x2 ) − 8xyz ,

M0 (1,1,1), l (1,−1,1).

10.24. u =

, M0 (6,−7,1),

l (2,1,−2).

9 − z2 ,

10.25. u = xy −

M0 (1,1,0), l (−2,2,−1).

10.26. u = x3 +

y2 + z2 ,

M0 (1,−3,4),

l (0,1,−1).

10.27. u = xy −

, M0 (−4,3,−1),

−1).

l (5,1,

10.28. u = x2 y −

xy + z2 ,

M0 (1,5,−2),

l (0,1,−1).

10.29. u = x (ln y − arctg z),

M0 (−2,1,−1),

l (2,1,2).

10.30. u = y ln(x2 + 1) − arctg z,

M0 (0,1,1),

l (2,−3,−2).

Задача 11. Найти касательную плоскость и нормаль к поверхно- сти в точке M0 (x0 , y0 , z0 ).

11.1.	2x2 − y2 + z2 − 4z − 9 = 0,								M0 ( 5,1,0).
11.2.	z = x2 − 2xy + y2 − x + 2y ,								M0 (1,1,1).
11.3.	z = x2 + y2 ,			M0 (1,2,5).
11.4.	xy2 + z3 = 12,				M0 (1,2,2).
11.5.	x2 + y2 + z2 = 169,							M0 (3,4,12).
11.6.	z = xy , M0 (5,1,5).
11.7.	x2 y3 − xy2 = z +					3	,	M0 2,	1	,−	3	.

					8				2 8
11.8.	z = arctg	y	,	M0 1,1, π .

		x						4
11.9.	z = x + y2 ,			M0 (0,1,1).
11.10. z = 1+ x2 + y2 ,						M0 (1,1,3).

11.11. x2 + 2y2 + 2z2 = 2x,

M0 (2,0,0).

11.12. x2 + y2 + 3z2 + 4y + 3z = 0,

M0 ( 3,−1,0).

11.13. x2 + y2 − z2 = − 1,

M0 (2,2,3).

11.14. z = y + ln

M0 (1,1,1).

11.15. x8 + y13 + 5z = 7,

M0 (1,1,1).

11.16. x3 + y3 − 3xz = 3,

M0 (1,4,2).

11.17. 2z

+ 2

= 8,

M0 (2,2,1).

11.18. z = ln (x2 + y2 ),

M0 (1,0,0).

11.19. z = x3 + y3 ,

M0 (1,−1,0).

11.20. x +

y +

z = 1,

M0 (1,0,0).

11.21. x2 + y2 − z2 − 2x = 0,

M0 (0,1,1).

11.22. z = sin (xy),

11.23. z = sin x cos y , M0 π , π ,

11.24. xy + xz + yz = x3 + y3 + z3 ,

M0 (1,1,1).

11.25. x3 + y3 + z3 = − xyz , M0 (1,−1,−1).

11.26. z = ex+ y , M0 (1,−1,1).

11.27.

+ y2 +

= 1,

0,−

,1 .

11.28. x2 + 2y2 + 3z2 = 21,

M0 (4,1,1).

11.29. x2 + y2 + z2 = 169,

M0 (0,13,0).

11.30. 2x2 − y2 + z2 − 4z − 10 = 0, M0 (

5,1,0).

Задача 12. Найти локальные экстремумы функций.

12.1.u = 3x2 y + y3 − 18x − 30y.

12.2.u = xy2 (1− x − y).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]