Математический анализ функции нескольких переменных. Учебное пособие

= z′′

z′′

− (z′′)2

=

2

> 0.

Mi

xx

Mi

yy

Mi

xy

Mi (3z

+ 2y)2

Следовательно, каждая точка Mi

(i = 1, 2)

является точкой стро-

гого экстремума заданной неявной функции.

Далее, так как z′′

< 0,

то точка M

1

(1, −7,6) – точка строгого мак-

xx

M1

симума: z

max

= z(1,−7) = 6;

так как z′′

> 0,

то точка M

2

(1,1,−2) –

xx

M2

точка строгого минимума: zmin

= z(1,1) = − 2.

Ответ: zmin = z(1,1) = − 2,

zmax = z(1,−7) = 6.

x + y = 1.

(2.70)

y = 1− x.

(2.71)

v′(x) = 1

− 2x = 0, x =

1

, v′′(x) = v′′(x ) = − 2 < 0.

0

2

0

Отсюда следует,

что точка

x =

1

является точкой максимума

0

2

функции v(x) : vmax

= v

1

=

1

. Тогда точка

M0

1

,

1

есть точка

2

4

2

2

условного максимума функции u(x, y) :

uусл.max

= u

1

,

1

=

1

.

2

2

4

Ответ: uусл.max = u

1

,

1

=

1

.

2

2

4

б) u(x, y) = xy, если

x2 + y2 = 1.

(2.72)

Решение. Параметризуем условие связи (2.72):

x = cost, y = sin t, t [0,2π].

(2.73)

Подставляя (2.73) в функцию u(x, y) , получаем

u(cost,sin t) = cost sin t =

1

sin 2t ≡ v(t), t [0,2π].

2

Таким образом, задача на условный экстремум функции

u(x, y)

свелась к задаче на безусловный экстремум функции v(t),

опреде-

2

видно, что vmin = v

3π

= v

7π

= −

1

, vmax

= v π

= v

5π

=

1

.

4

4

2

4

4

2

Тогда

2

2

2

2

1

u

усл.min

= u

−

,

= u

,−

= −

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

u

усл.max

= u

,

= u

−

,−

=

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

Ответ: u

= u −

,

= u

,−

= −

,

усл.min

2

2

2

2

2

2

2

−

2

−

2

=

1

u

= u

,

= u

,

.

усл.max

2

2

2

2

2

в) u(x, y) = xy,

если

x3 + y3 − 4xy = 0.

(2.74)

L(x, y,λ) = xy + λ(x3 + y3 − 4xy)

(2.75)

Далее,

∂L

= y + 3λx2 − 4λy = 0,

(2.76)

∂ x

∂L = x + 3λy2 − 4λx = 0,

(2.77)

∂y

∂L

= x3 + y3 − 4xy = 0.

(2.78)

∂λ

Решениями системы

(2.76) – (2.78) являются

λ),

λ R

M (0,0,

и 4-й четвертях. Но

в

1-й четверти на кривой

(2.74) u(x, y) > 0,

т.е. u(x, y) > u(0,0);

во

2-й и 4-й четвертях

на кривой (2.74)

Теперь рассмотрим точку M0 2,2,−

1

. Имеем

2

d 2 L

M0

=

∂2 L

dx2 + 2

∂2 L

dx dy +

∂2 L

dy2 =

∂x2

∂x ∂y

∂y2

M0

M0

M0

ласть G, в которой исследуется заданная функция

f (x, y) . Обозна-

чим Γ = {(x, y) R2

: ρ = 5, 0 ≤ ϕ ≤

3π

}. Здесь (ρ,ϕ)

– полярные ко-

1

2

y = x − 5, 0 ≤ x ≤ 5}. Таким образом,

∂G = Γ1 Γ 2 ;

∂G – граница об-

ласти G.

1. Ищем стационарные точки функции f (x, y). Имеем

∂f

≡ 2x − 12 = 0,

∂f

≡ 2y + 16 = 0.

(2.79)

∂y

∂x

G

0

x

B(5, 0)

Γ1

Γ2

A(0, –5)

Так как граница ∂G состоит из двух частей Γ1 и Γ2 , по-разному вы-

ражающихся аналитически, то исследуем функцию

f (x, y) на каждой из

этих частей отдельно. Предварительно

вычислим

значения функции

f (x, y) в точках стыка частей границы Γ1

и Γ2 (А(0,–5), В(5,0), рис. 2.1):

f (0,−5) = − 55, f (5,0) = − 35.

(2.80)

а) На части Γ1

функция

f (x, y) ≡ f (ρ cosϕ, ρ sin ϕ) = 25 − 60 cosϕ +

+ 80 sin ϕ ≡ u(ϕ),

0 ≤ ϕ ≤

3π

. На отрезке 0,

3π

найдем стационарные

2

2

точки функции u(ϕ) : u′(ϕ) ≡ 60 sin ϕ + 80 cos ϕ = 0. Отсюда на отрезке

0,

3π

получаем единственную стационарную точку ϕ0 = π − arctg

4

.

2

3

Тогда

u(ϕ0 ) = f (−3,4) = 125.

(2.81)

б) На части Γ2

функция

f (x, y) = f (x, x − 5) = 2x2 − 6x − 55 ≡ v(x),

x [0,5].

На отрезке [0,5] найдем стационарные

точки

функции v(x) :

v′(x) ≡ 4x − 6 = 0. Отсюда стационарная точка

x

3

[0,5].Тогда

0

2

v

3

= f

3

,−

7

= −

119

.

(2.82)

2

2

2

2

в) Из найденных значений (2.80) – (2.82) функции

f (x, y) получим

min

f (x, y) = −

119

,

max

f (x, y) = 125.

( x, y)∂G

2

( x, y)∂G

3. Учитывая результаты пп. 1и 2, окончательно получаем

min

f (x, y) = −

119

,

max

f (x, y) = 125.

( x, y) G ∂G

2

( x, y) G ∂G

Ответ: min

f (x, y) = −

119

,

max

f (x, y) = 125.

( x, y) G ∂G

2

( x, y) G ∂G

3.1.

u = ϕ (t),

t = x2 − y2 .

3.2.

u = ϕ (ξ , η, ς), ξ = xy, η = x − y, ς = x + y.

3.3.

u = ϕ (t),

t = xyz.

3.11. u = ϕ (t),

t = xy +

x

.

y

3.12. u = ϕ (ξ , η),

ξ = xy ,

η = yz.

3.13. u = ϕ (t),

t = x y +

y

.

3 x

3.14. u = ϕ (ξ , η),

ξ =

x2

, η =

y

.

y

x2

3.15. u = ϕ (ξ , η),

ξ = x,

η =

x

.

y

3.16. u = ϕ (t ),

t = x + y.

3.17. u = ϕ (ξ , η),

ξ = 2x,

η = − 3y.

3.18. u = ϕ (t),

t =

x2 + y2 .

3.19. u = ϕ (ξ , η),

ξ = x + y , η = x − y.

3.20. u = ϕ (t),

t =

y

.

x

y

z

3.24. u = ϕ (ξ , η, ς),

ξ =

x, η = x2 , ς = x3.

3.25. u = ϕ (ξ , η, ς),

ξ =

2x, η = 3y , ς = 4z.

3.26. u = ϕ (ξ , η, ς),

ξ =

x2 + y2 , η = x2 − y2 , ς = 2xy.

3.27. u = ϕ (ξ , η),

ξ =

x + y , η = z2 .

3.28. u = ϕ (ξ , η),

ξ =

xy , η = x2 + y2 .

3.29. u = ϕ (ξ , η),

ξ = tg (x + y), η = cos xy.

3.30. u = ϕ (ξ , η),

ξ = ln2 (x + ey ), η = x arcsin y.

Задача 5. Найти

y′(x0 ), y′′(x0 ), y′′′(x0 )

для неявной функции y(x),

удовлетворяющей условию y(x0 ) = y0 .

5.1.

x2 + xy + y2 = 3,

x

= y

0

= 1.

0

5.2.

y sin x + x2 + y3 = 1,

x

= 0, y

0

= 1.

0

5.3.

2y + sin y − 2x = 0,

x

=

5π + 1

, y

=

5π

.

0

2

0

2

5.4.

x2 − xy + 2y2 + x − y = 1,

x

= 0,

y = 1.

0

0

5.5.

xy + ln xy = 1,

x = 2, y

=

1

.

0

0

2

5.6.

ex+ y + y − x = 0,

x

=

1

, y

= −

1

.

0

2

0

2

5.7.

y = x + arctg y ,

x

=

4 − π

,

y

= 1.

0

4

0

= π ,

5.8.

x − y + arctg

x