Математический анализ функции нескольких переменных. Учебное пособие

12.4.u = x3 y2 (a − x − y).

12.5.u = x2 + xy + y2 − 3ax − 3by.

12.6.u = x4 + y4 − (x + y)2 .

12.7.u = x + 1 + y.

yx

12.8.u = xy ln (x2 + y2 ).

12.10.u = x4 + y4 − 2(x − y)2 .

12.11.u = x2 + xy + y2 + 1 + 1 .

xy

12.12.u = ex+ 2 y (x2 − y2 ).

12.13.u = x3 + y3 − 15xy.

12.14.u = x2 + 3xy − 8ln x − 6ln y .

12.15.u = e2x (x + y2 + 2y).

12.16.u = x3 − 2y3 − 3x + 6y.

12.17.u = x2 − xy + y2 + 3x − 2y + 1.

12.18.u = e2x+3 y (8x2 − 6xy + 3y2 ).

12.19.u = x3 − 2x2 y2 + y4 .

12.20.u = (x − 2y)e−( x2 + y2 ) .

12.21.u = x2 + xy + y2 − 4ln x − 10ln y.

12.22.u = (a cos x + bcos y)2 + (asin x + bsin y)2 .

12.23.u = x2 − 2xy + 2y2 + 2x.

12.24.u = x2 − 2xy2 + y4 − y5.

12.25.u = x4 + y4 − 36xy.

12.26.u = (x2 − 2xy + 2y2 )ex− y .

71

12.27. u = x − 2y + ln x2 + y2 + 3arctg y . x

12.28.u = (x2 + 2y2 )e− ( x2 + y) .

12.29.u = x + y + 4sin x sin y.

12.30. u = 3x2 − 2x y + y − 8x + 8.

Задача 13. Найти локальные экстремумы функции двух переменных, заданной неявно (z = z(x, y)) .

13.1.2x2 + 2y2 + z2 + 8yz − z + 8 = 0.

13.2.(x2 + y2 + z2 )2 = 25(x2 + y2 − z2 ).

13.3.x4 + y4 + z4 = 98(x2 + y2 + z2 ).

13.4.z3 − xyz + y2 − 16 = 0.

13.5.(x2 + y2 − z2 )2 = 36(x2 + y2 + z2 ).

13.6.2x2 + 6y2 + 2z2 + 8xz − 4x − 8y + 3 = 0.

13.7.(x2 + y2 + z2 )2 = 9(x2 + y2 − z2 ).

13.8.5z2 + 4zy + y2 + 3x2 − 6x − 2y + 4 = 0.

13.9.x4 + y4 + z4 = 2(x2 + y2 + z2 ).

13.10.z2 + xyz − xy2 − x3 = 0.

13.11.(x2 + y2 − z2 )2 = 4(x2 + y2 + z2 ).

13.12.6(x2 + y2 + z2 )+ 4x – 8y – 8z + 5 = 0 .

13.13.x4 + y4 + z4 = 18(x2 + y2 + z2 ).

13.14.z3 − xyz + y2 + 4x2 − 16 = 0.

13.15.(x2 + y2 + z2 )2 = x2 + y2 − z2 .

13.16.x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0.

13.17.(x2 + y2 − z2 )2 = 9(x2 + y2 + z2 ).

13.18.2x2 + 2y2 + z2 + 8xz − z + 8 = 0.

13.19.(x2 + y2 + z2 )2 = 49(x2 + y2 − z2 ).

13.20.5(x2 + y2 + z2 ) − 2xy − 2xz − 2yz − 72 = 0.

13.21.x4 + y4 + z4 = 8(x2 + y2 + z2 ).

72

13.22.x3 y − 3xy2 + 6x + y2 + 7 y + z2 − 3z − 14 = 0.

13.23.(x2 + y2 + z2 )2 = 16(x2 + y2 − z2 ).

13.24.x2 + y2 + z2 − xz − yz + 2x + 2y + 2z − 2 = 0.

13.25.(x2 + y2 − z2 )2 = x2 + y2 + z2 .

13.26.(x2 + y2 + z2 )2 = 4(x2 + y2 − z2 ).

13.27.x4 + y4 + z4 = 72(x2 + y2 + z2 ).

13.28.(x2 + y2 + z2 )2 = 36(x2 + y2 − z2 ).

13.29.(x2 + y2 − z2 )2 = 25(x2 + y2 + z2 ).

13.30.x4 + y4 + z4 = 50(x2 + y2 + z2 ).

Задача 14. Найти точки условного экстремума заданной функции.

73

Задача 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.

74

15.9.f = xy; x2 + y2 ≤ 1.

15.10.f = 1− x2 − y2 ; (x − 1)2 + ( y − 1)2 ≤ 1.

75

Библиографический список

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Физматлит, 2005.

Бобкова Л.П., Дружининская И.М., Федорова В.И. Высшая мате-

матика: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 1996.

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и уп-

ражнения по математическому анализу. – М.: Дрофа, 2001.

Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математи- ке: Учеб. пособие. – СПб.: Лань, 2003.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2006.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Физматлит, 2007.

Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. пособие / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. – М.: Физматлит, 2001.

76

Учебное издание

Лоссиевская Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Функции нескольких переменных

Учебное пособие

Редактор И.Е. Оратовская

Компьютерная верстка З.М. Уланова

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

77