Математический анализ функции нескольких переменных. Учебное пособие

Решение. Функция F (x, y, z) ≡ ez + xy + z − 1 удовлетворяет всем ус-

ловиям теоремы 1.10. Дифференцируя уравнение (1.42) по переменной х, при этом у – независимая переменная, а z = z(x, y) , получаем

Далее из (1.43) и (1.44) дифференцированием получаем

21

Аналогично определяются неявные функции любого числа пере- менных и находятся их частные производные.

1.12. Экстремумы ФНП (безусловные)

Определение 1.18. Пусть функция f (x, y) определена в некото-

рой окрестности точки М0 (х0 , у0 ). Точка М0 (х0 , у0 ) называется точ-

кой локального минимума функции f (x, y) , если существует такая

окрестность точки М0 , в которой выполняется неравенство

Аналогично определяется точка локального максимума функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстре-

минимума функции f (x, y) , если существует такая проколотая окре-

стность точки М0 (х0 , у0 ), в которой выполняется неравенство

f (x, y) . В точках строгого минимума f > 0 ((x, y) ≠ (x0 , y0 )), а в точках строгого максимума f < 0 ((x, y) ≠ (x0 , y0 )).

Теорема 1.11 (необходимое условие экстремума). Если точка М0 (х0 , у0 ) является точкой экстремума функции f (x, y) и сущест-

22

Замечание 2. Всякая точка экстремума дифференцируемой функ- ции является стационарной точкой (см. теорему 1.11), но не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример 1.7. Пусть f (x, y) = x2 y . Покажем, что точка (0,0) – стацио- нарная точка, но не является точкой экстремума этой функции. Действи-

Далее рассмотрим достаточные условия существования экстре- мума ФНП.

Пусть f (x) ≡ f (x1, x2 ,…, xn ), n N. Подчеркнем, что здесь n (количе-

ство переменных) не обязательно равно двум. Если функция f (x) в не-

которой окрестности точки М0 (х10 , х20 ,…, хn0 ) имеет непрерывные про- изводные второго порядка, то ее второй дифференциал имеет вид

23

Отсюда следует, что второй дифференциал d 2 f (M0 ) является квадратичной формой переменных dxi , i = 1, 2,…, n.

Для рассмотрения достаточных условий существования экстре- мума нам понадобятся некоторые сведения о квадратичных формах.

Определение 1.21. Квадратичная форма

Теорема 1.12 (критерий Сильвестра положительной определенно- сти квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма F(ξ)

(см. (1.51)) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положи- тельны, т.е.

Замечание 3. Квадратичная форма F(ξ) отрицательно определена тогда и только тогда, когда квадратичная форма −F(ξ) положитель-

но определена.

Теорема 1.13 (достаточное условие экстремума). Пусть функ-

24

Если n = 2, то формулировка достаточного условия существова- ния экстремума функции упрощается.

Теорема 1.14 (достаточное условие существования экстремума, n = 2).

Пусть функция f (x, y) в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 )

имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю- чительно, и, кроме того, М0 − стационарная точка. Обозначим

Замечание 4. Если = 0 , то вопрос о существовании экстремума остается открытым. Например,

а) f (x, y) = x4 + y4 . Очевидно, что точка (0,0) является точкой строгого минимума;

б) f (x, y) = x3 + y3. Точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки существуют точки, где f (x, y) > f (0,0) и точки, где f (x, y) < f (0,0) .

Для обеих функций (см. пп. а) и б)) точка (0,0) стационарная и = 0.

1.13. Условный экстремум

Пусть в некоторой области G Rn определены функции

f (x) ≡ f (x1, x2 ,…, xn ), ϕ1 (x) ≡ ϕ1 (x1, x2 ,…, xn ), ϕ2 (x) ≡ ϕ2 (x1, x2 ,…, xn ), …,ϕm (x) ≡ ϕm (x1, x2 ,…xn ), m < n.

25

Обозначим через E G множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

ϕ1 (х1, х2 ,…, хn ) = 0,

ϕ2 (x1, x2 ,…, xn ) = 0, (1.52)

ϕm (x1, x2 ,…, xn ) = 0.

Уравнения системы (1.52) называются условиями связей. Определение 1.22. Точка M0 (x10 , x20 ,…, xn0 ) E называется точ-

кой условного минимума функции f (x1, x2 ,…, xn ) при условиях свя-

зей (1.52), если найдется такая окрестность U (M0 ) точки М0 , что для всех точек (x1, x2 ,…, xn ) E ∩ U (M0 ) выполняется неравенство

Аналогично определяется точка условного максимума функции. Определение 1.23. Точка M0 (x10 , x20 ,…, xn0 ) называется точкой

строгого условного минимума функции f (x1, x2 ,…, xn ) при условиях

Аналогично определяется точка строгого условного максимума.

Геометрическая интерпретация

Пусть n = 2 , f = f (x, y). Тогда условие связи может быть только од-

Геометрически равенство (1.55) является уравнением некоторой кривой на плоскости. Точка М0 (х0 , у0 ) условного минимума должна принадлежать этой кривой, т.е.

26

Тогда согласно Определению 1.22 неравенство (1.53) ( f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )) обязательно выполняется на части кривой (1.55),

лежащей в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 ). Что касается ос-

тальных точек указанной окрестности, то в них это неравенство мо- жет выполняться, а может и не выполняться.

вращения z = x2 + y2 . Геометрически условие связи является плоско- стью х + у =1, параллельной оси 0Z, пересекающейся с графиком функ- ции по параболе. Из соображений симметрии ясно, что наинизшая точка

Это геометрическое решение задачи. Очень редко удается геометри- чески решить задачу отыскания условного экстремума. Поэтому рас- смотрим наиболее распространенные методы решения таких задач.

А. Прямой метод отыскания точек условного экстремума

Если из системы (1.52) удается явным образом выразить m пере- менных через остальные, то, подставляя в функцию f (x1, x2 ,…, xn )

вместо соответствующих переменные их выражения через остальные (n – m) переменные, получим функцию F(n − m) переменных.

В этом случае задача отыскания условного экстремума функции f, зависящей от n переменных, сводится к задаче отыскания безуслов- ного экстремума функции F, зависящей от (n − m) переменных.

27

результат совпадает с предыдущим (см. пример 1.8).

Замечание 1. Прямой метод редко удается применить, так как из условий связей (1.52) далеко не всегда удается получить явные выражения для каких-либо m переменных через остальные или эти выражения настолько громоздки, что решение задачи отыскания без- условного экстремума функции F становится очень трудоемким.

Поэтому рассмотрим следующий метод.

Б. Найти условный экстремум функции f(x), если φ(x, y).

Решение: ϕ(х, у) = 0 – уравнение кривой на плоскости. Если удается параметризовать эту кривую (x = x(t), y = y(t)) , то, подставляя эти вы-

ражения в функцию f (x, y) , получаем функцию одной переменной

F (t) ≡ f (x(t), y(t)) . Далее задача сводится к исследованию функции

– точки условного минимума функции f (x, y)

и

28

– точки условного максимума функции f (x, y) .

При этом fусл.min = 125 − 50 2 , fусл.max = 125 + 50 2 .

Методы А и Б – частные методы решения задачи отыскания ус- ловного экстремума.

Рассмотрим общий метод.

В. Метод множителей Лагранжа

L(x1, x2 ,…, xn ,λ1,λ2 ,…,λm ) = f (x1, x2 ,…, xn ) + λ1 ϕ1(x1, x2 ,…, xn ) +

+λ2 ϕ2 (x1, x2 ,…, xn ) + …+ λm ϕ m (x1, x2 ,…, xn ).

2.Находим стационарные точки функции Лагранжа из условий

Пусть M ( j) (x1( j) , x2( j) , …, xn( j) , λ1( j) , λ(2j) , …, λ(mj) ), j = 1, 2, …, p –

связей (1.52)).

29

ется точкой строгого условного максимума функции f (x1, x2 ,…, xn ). На этом решение задачи заканчивается.

Это – линейная система относительно dx1, dx2 , ..., dxn .

Пусть ранг матрицы системы (1.59) равен m. Не ограничивая общности будем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы. Тогда дифференциалы dx1, dx2 , …, dxm од-

ная квадратичная форма, то точка M ( j) является точкой строгого ус-

30