Математический анализ для проведения консультаций. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
О. Е. РОЩЕНКО, С. В. ЛЕВЯКОВ, Г. М. ШУМСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНСУЛЬТАЦИЙ
Учебно-методическое пособие
НОВОСИБИРСК
2022
1
УДК 517.2(075.8) Р 815
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор Б. Ю. Лемешко канд. физ.-мат. наук, доцент Л. В. Павшок
Работа подготовлена на кафедре инженерной математики
иутверждена Редакционно-издательским советом университета
вкачестве учебно-методического пособия
Рощенко О. Е.
Р 815 Математический анализ для проведения консультаций: учебно-методическое пособие / О. Е. Рощенко, С. В. Левяков, Г. М. Шумский. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. – 48 с.
ISBN 978-5-7782-4737-6
Настоящая работа предназначена для использования при проведении консультаций по математическому анализу со студентами I курса университета. Ее цель – оказать методическую поддержку преподавателю при проведении консультаций. Предполагается, что эти консультации проводятся дополнительно к плановым практическим занятиям. Особенность использования пособия в том, что преподавателю рекомендуется привлекать к проведению занятий лучших студентов из группы, которые способны оказать помощь в изучении материала своим сокурсникам. Помощь отстающим студентам группы при решении задач на консультации осуществляется под руководством преподавателя одним-двумя студентами, успешно освоившими данный материал. Такойподход позволяет высвободитьвремя преподавателядля обсуждения более широкого круга вопросов и повысить эффективность консультаций.
|
УДК 517.2(075.8) |
ISBN 978-5-7782-4737-6 |
© Рощенко О. Е., Левяков С. В., |
|
Шумский Г. М., 2022 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2022 |
2
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)
1. Найдите частные производные первого порядка заданных функ-
ций [1, 3].
1.1. z xe xy .
Ответ: |
zx |
e xy (1 xy) ; |
zy x2e xy . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1.2. z ln |
|
|
|
x |
|
|
|
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
zy |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||||
2 |
|
|
x |
x |
|
y |
|
2 |
y |
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||
1.3. z |
|
x sin |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: zx |
|
|
1 |
|
|
|
sin |
|
y |
|
|
y |
x |
cos |
y |
; |
zy |
|
1 |
cos |
y |
. |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. z e |
y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
z |
e y |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
e y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. z |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 3x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x3 (3x y) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Указание: |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
z |
|
x2 (8x 3y) |
; |
z |
|
|
x3 |
. |
|||||||
x |
(3x y)4/3 |
y |
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(3x y)3 |
|
|
||
1.6. u ln(s 1) s ln(t2 4). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
u |
|
1 |
|
|
ln(t2 |
4); |
|
u |
|
2st |
. |
||||
s |
s 1 |
|
t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 4 |
|||||||
2. Для заданных функций найдите сумму частных производных. |
||||||||||||||||
2.1. z cos xcos(x y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
z |
|
z sin x cos(x y). |
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. u t arctg(s t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
u |
|
u |
arctg(s t). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
s |
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Для функции z |
|
|
покажите, что справедливо равенство |
|||||||||||||
x( y2 |
1) |
|||||||||||||||
( y2 1)zy 2xyzx 0.
4. Для функции z sin x e y2 найдите все производные второго порядка.
Ответ: |
2 z |
sin x ey2 |
z; |
2 z |
2 y cos x ey2 ; |
|
x2 |
x y |
|||||
|
|
|
|
2 z sin x ey2 (2 4y2 ).
y2
4
5. Данафункция z cos( y3 |
x) , найдите выражение |
||||||||||||||
Ответ: 3y |
2 2 z |
|
2 z |
6ysin( y |
3 |
x). |
|
|
|
||||||
|
x y |
y |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
z |
6. Дана функция |
z ln 1 |
|
, |
покажите, что |
|
||||||||||
|
x y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
||||
3y2 2 z 2 z .
x y y2
2 z 1 .
x2 x2
Указание. Упростите функцию, используя свойства логарифмов.
7. |
z |
y |
|
. Найдите все производные III порядка. |
||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: z 3 |
6 y ; |
z 2 |
|
|
2 |
; |
z 2 |
0; z 3 0 . |
||||||
y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x4 |
x |
|
x3 |
xy |
y |
|||
8. |
Найдите дифференциалы заданных функций. |
|||||||||||||
8.1. z |
|
xy |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: dz |
|
y2 |
x |
|
|
x2 |
|
y |
|
y2 |
|
dx |
|
|
x2 |
|
dy. |
|||||||||||||||
(x |
y)2 |
(x y)2 |
(x y)2 |
(x y)2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.2. z e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: dz e y |
|
dx e y |
|
|
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.3. u x cos2 z y sin3 z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: du cos2 |
|
zdx sin3 zdy (x sin 2z 3y sin2 z cos z)dz. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin y |
найдите dz(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. Для функции z |
|
|
|
|
|
|
|
и dz |
|
, |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
cos3 x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
Ответ: dz(x, y) |
3sin xsin y |
dx |
|
cos y |
dy; |
|
|
|
, |
|
6dx 2dy. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos4 |
x |
|
|
cos3 x |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5
10. Для функции z |
|
|
arctg x |
найдите dz(x, y) и dz 1,0 . |
||||||
1 |
x2 y2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
(1 x2 y2 ) 2x arctg x |
|
2 y arctg x |
|
||||||
Ответ: dz |
1 x2 |
dx |
dy; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
(1 x2 y2 )2 |
(1 x2 y2 )2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
dz (1,0) 2 8 dx.
11. Найдитепроизводную y функцииy(x), неявнозаданнойуравнением xe2 y ye2 x 0 .
Ответ: yx 2xe2 y e2x .
12. Найдитепроизводную y функцииy(x), неявнозаданнойуравне-
нием xy ln y ln x 0.
Ответ: yx |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
13. Найдите частные производные функции z(x, y), неявно заданной |
|||||
уравнением cos(ax by cz) k(ax by cz) . |
|||||
Ответ: zx a |
; zy b . |
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
|
14. Для функции z(x, y), неявно заданной уравнением 2sin(x 2y |
|||||
3z) x 2y 3z , проверьте равенство |
z |
z 1 . |
|||
|
|
|
|
x |
y |
15. Найдите dz(x, y) и dz (1, 1) |
для функции z(x, y), неявно задан- |
||||
ной уравнением |
x cos2 z y sin3 z |
2 |
2 |
и удовлетворяющей усло- |
|
|
|
|
4 |
|
|
вию z (1, 1) 4 .
6
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 z |
|
|
|
|
|
sin3 z |
|
dz(x, y) |
|
dx |
|
dy; |
||||
xsin 2z 3y sin2 z cos z |
xsin 2z 3y sin2 z cos z |
|||||||
|
dz (1, 1) 4 3 |
2 dx |
|
2 |
4 3 |
2 dy. |
||
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.Найдите угловой коэффициент касательной к кривой x2 y2
10y в точках ее пересечения с прямой x 3 .
Ответ: 34 .
17. Найдите экстремумы заданных функций. 17.1. z x2 xy y2 9x 6 y 20 .
Ответ: zmin 1 в точке (–4; 1). 17.2. z x2 y2 y(x 6). Ответ: zmax 12 в точке (–2; 4). 17.3. z y x y2 x 6 y . Ответ: zmax 12 в точке (4; 4). 17.4. z x3 y3 9xy.
Ответ: zmin 27 в точке (3; 3).
18. Для функции z 1x 1y найдите условный экстремум при условии x y 2 .
Ответ: zmin 2 в точке (1; 1).
19. Для функции z 4 5y x найдите условный экстремум при условии y x2 1.
Ответ: zmax 9,05 в точке (0,1; 0,99).
7
20. Для функции z x2 y найдите условные экстремумы при усло-
вии x y 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: zmin |
32 |
|
4 |
; |
2 |
|
; |
zmax 0 в т. (0; 2). |
27 |
в точке |
3 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z xy |
||||||||
в области D: x 0 , |
y 1; y x . |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: M
22. Найдите
z ( y 2x 2)2 8
Ответ: M
z(1,1) 1; m 0 на осях Ox и Оy.
наибольшее и |
наименьшее значения функции |
в области D: | x | 4, | y | 2. |
|
z( 4,2) 18 ; m 0 |
в точках прямой y 2x 2. |
23.Найтинаибольшееинаименьшеезначенияфункции z x2 2xy
y2 4x 1 в области D: (x y) 1; y 0; x 3 .
Ответ: M z( 3,2) 6 ; m z( 2,0) 3.
24.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y2
вкруге x2 y2 9 .
Ответ: M z( 3,0) z(3,0) 9 ; m z(0, 3) z(0,3) 9 .
8
2.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
1.Преобразуйте двойной интеграл f (x, y)dxdy по изображенной
D
области в повторный. 1.1.
1 3x
Ответ: dx f (x, y)dy .
0 x
1.2.
3 |
3 y |
Ответ: dy |
f (x, y)dx . |
0 |
y |
2. Укажите |
порядок интегрирования, при котором интеграл |
f (x, y)dxdy |
по изображенной области можно преобразовать в по- |
D
вторный, не разбивая область на части.
9
2.1. |
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
а) dx |
f (x, y)dy ; |
||
|
|
|
|
a |
y1( x) |
|
|
|
|
|
|
d |
x2 |
( y) |
|
|
|
|
|
б) dy |
f (x, y)dx. |
||
Ответ: а). |
|
c |
x1( y) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
2.2. |
|
|
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
|
|
|
|
а) dx f (x, y)dy ; |
||
|
|
|
|
|
|
a |
y1( x) |
|
|
|
|
|
|
d |
x2 ( y) |
|
|
|
|
|
б) dy |
f (x, y)dx. |
|
Ответ: б). |
|
|
|
c |
x1( y) |
||
|
|
|
|
|
|||
3. Измените порядок интегрирования. |
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
а) dy |
f (x, y)dx . |
|
|
|
|||
2 |
|
y2 4 |
|
|
|
|
|
Ответ: |
0 |
0 |
f (x, y)dy . |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
x 4 |
|
|
|
|
1 |
|
1 y |
f (x, y)dx . |
|
|
|
|
б) dy |
|
|
|
|
|||
0 |
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
0 |
1 x2 |
|
1 1 x |
|
||
dx |
|
f (x, y)dy |
dx f (x, y)dy . |
||||
|
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
4. Вычислите повторные интегралы: |
|
||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
а) dx |
|
6xydy . |
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10