Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ для проведения консультаций. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

777 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

е)

2dy

3dz

3z)2

(x 2 y 3z)2

L (x 2 y 3z)2

(x 2 y

Ответ: в), г), е).

Вычислите cos 2 ydx 2xsin 2 ydy , где L – любая линия от точки

A 1,

до точки

Ответ:

1 .

Вычислите

(3,4,5)

xdx ydy zdz

x2 y2

(0,0,0)

Ответ: 5 2 .

Вычислите интегралы по границам изображенных областей при

положительном направлении обхода, используя формулу Грина.

8.1.

(x y)2 dx (x2 y2 )dy .

Ответ: 8.2.

Ответ:

3 x

dx ( 2y)dy 9 .

ex sin ydx (ex cos y 3x)dy.

1	y	9
dy 3dx 3s			(s – площадь области).
0	1	2

9. Вычислите xdy ydx , L – замкнутый контур в положительном

направлении:

L x2 y2

а) начало координат находится вне контура; б) начало координат находится внутри контура.

Ответ: а) 0; б) 2π.

10. С помощью формулы Грина получите равенство

S1 xdy ydx , 2 L

где L – контур фигуры, имеющей площадь S, обход в положительном направлении.

11. Вычислите (x y)dx 2xdy непосредственно и по формуле

Грина, гдеL – контуртреугольникасосторонами: x 0; y 0; x y a , обход в положительном направлении.

Ответ: 32 a2 .

12. Найдите u(x, y) , если

а) du	dx	dy	.
	x y	x y

Ответ: u ln x y C .

б) du ex y (1 x y)dx (1 x y)dy .

Ответ: u ex y (x y) C .

5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.Проверьте, будет ли функция y y(x) решением дифференциального уравнения:

1.1. y y2 2xy x2 , y x ; y2 2xy x2

1.2.	yy			1 2x	,	y	3	3x 3x	2	;
				y

1.3.xy y cos x , y sinx x ;

1.4.(x y)dx xdy 0 , y x 1 ln x .

1. При каком значении m функция y y(x) является решением дифференциального уравнения:


2.1.			3				x4
	y	x		(2m 5)	, y 4 ;

2.2. y x2				(m 7) ,	y x3 3 ;
			5			x6
2.3.	y	x		(3 m) ,	y 3 ?

3. Убедитесь, что данные дифференциальные уравнения допускают разделение переменных:

3.1.x( y 1) y 2 y( y 1) 0 ;

3.2.y 2 y2 ;

3.3.xe y dy yex dx 0 ;

3.4.3y 3xy x3 y 0 .

4. Найдите общее или частное решение следующих дифференциальных уравнений.

4.1. y xy2 .

Ответ: y 1 x2 C . 2

4.2. y	2 y 1	, y(1)	5 .
	2x 1
Ответ:	y 3x 2 .

4.3.(x 2) y y .

Ответ: y C(x 2).

4.4.y(x 1) dx 2xy2dx 0 .

Ответ: y2 x ln x C.

4.5. tg x sin2 ydx cos2 x ctg ydy 0 .

Ответ: ctg2 y tg2	x C .
4.6. y sin x y ln y ,			1.
4.6. y sin x y ln y ,	y		1.
		2

Ответ: y 1.

5. Убедитесь, что следующие дифференциальные уравнения являются однородными:

5.1. y y2 4 y 2 ; x2 x

5.2. xy 3y3 2yx2 ;

2y2 x2

y y2

5.3.y e x x2 ;

5.4.xy y y ln xy x ;

5.5.xy x2 y2 y ;

5.6.( y2 2xy) dx 2x2dy 0 .

6. Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.

6.1. xy y x tg xy .

Ответ: sin xy Cx .

6.2. (x y) ydx x2dy 0 .

Ответ: x Ce y .
6.3. xdy ydx	x2 y2 dx .

Ответ: y C2 x2 21C .

7. Выберите линейные дифференциальные уравнения:

а) y y 2xy2 ;

б) y (x 4)(x y 1) ;

в) y	2xy	2x2
			;
	1 x2	1 x2

г) y 2xy 2x3 ; д) x2 2x y 1 y ;

е) 2xy 3tg y x .

Ответ: б), в), г), д).

8. Решите линейные дифференциальные уравнения.

8.1. x2 y xy		1.
Ответ:	y	1 ln Cx .
		x
8.2. x( y y) ex .
Ответ:	y ex ln Cx .
8.3. y sin x ycos x sin 2x ,						2 2 .
8.3. y sin x ycos x sin 2x ,				y	4	2 2 .
					4
Ответ:	y 4 cos 2x .
		2sin x
8.4. xy		2	1 .
8.4. xy	3y x2 , y(1)		1 .

Ответ: y		2x 1		.

	y	x3
8.5. y			1 x 0 , y(0)		0 .
	1 x2
		1			1 x
Ответ: y		2 x 1 x2 arcsin x					.
						1 x
9. Убедитесь, чтоследующеедифференциальноеуравнениелинейно
относительно функции x(y) и найдите его общее решение:
			(1 y2 )dx		1 y2 sin y xy dy .

Ответ: x 1 y2 cos y C .

10. Найдите общее решение уравнения Бернулли. 10.1. dydx xy xy2 .

Ответ: y(x2 Cx) 1 . 10.2. (x 1)( y y2 ) y .

Ответ:	1
	y
		(x 1) ln C(x 1)
11. Найдите общее решение уравнения Бернулли и решите задачу
Коши:.
11.1. y 2 y ex y2 ,			y(0) 1.
Ответ:	y e x .

4	y 0 , y(1) 1 .
11.2. y x y x
Указание. ПрирешенииметодомБернулли, y uv , лучше записать
сначала y u v	и определить произвольную постоянную, только

потом возвести в квадрат; иначе, получив y, для однозначного определения значения произвольной постоянной С можно сравнить при за-

данном начальном условии значения y , найденные: а) из уравнения

и б) при дифференцировании ответа. Иначе решать сведением уравнения к линейному.

Ответ: y	x4	(ln x C)2 ;	y	x4	(ln x 2)2 .

4			4

12. Убедитесь, что следующее дифференциальное уравнение являетсяуравнениемвполныхдифференциалах, найдитеегообщеерешение или решение задачи Коши.

12.1. 2xydx (x2 y2 ) dy 0 .

Ответ: x2 y y3 C . 3

12.2.	y	dx ( y3		ln x) dy 0 .

	x
Ответ: y ln			x	y4	C .

				4

y(0) 2 .

12.3.

x e y dx e y 1

Ответ:

ye y

C ;

ye y 2 .

13. Укажите вид подстановки, понижающей порядок. Выполните подстановку.

13.1. y	5		3	0 .
	2 y
		( y )

13.2.y 2 tg x y cos2 x .

13.3.y 5xsin x 0 .

13.4.4 yy 3( y )2 4 y2 .

14. Найдите общие решения уравнений, допускающих понижение порядка.

14.1. y x23 .

Ответ: y ln x C1x2 C2 x C3 . 14.2. x3 y x2 y 1 .

Ответ: y 1x C1 ln x C2 .

		.
14.3. y x ln x y		.
Ответ:	y C1x(ln x 1) C2 .
14.4. y 2 y( y )3 0 .
Ответ:	y3 C y C		2	3x;	y C.
	1		2
14.5. y		2	.
14.5. y	tg y 2( y )		.

Ответ: ctg y C1x C2 .

15. Решите задачу Коши для дифференциального уравнения второго

порядка: y

ln 2

, y

cos2 x

Ответ:

y ln cos x .

16. Решите линейное однородное уравнение.

16.1. y 3y 2 y 0 .

Ответ:

y C e 2 x C

e x .

16.2. y 8 y 16 y 0 .

Ответ:

y C e4 x

xe4 x .

16.3. y 25y 0 .

Ответ:

y C1 cos5x C2 sin 5x .

16.4. y 2 y y 0 .

Ответ:

y C e x

xe x

16.5. yIV 4 y 5 y 0 .

Ответ:

y C C

x C

e2 x cos x C

e2 x sin x .

17. Известнообщеерешениелинейногодифференциальногоуравне-

ния. Выберите его частные решения.

17.1. y C cos2 x C

sin2 x :

а) 1;

в) sin 2x ;

б)

cos 2x ;

г) sin x ;

д) 1 cos2 x .

Ответ: а), б), д).

17.2. y C e2 x C

e3x

а) e2 x 3 ;

в) e5x ;

б) e2 x (1 ex 1 ) ;

г) e3x (2 e x 1 ) ;

д) e(ex e2 x ) .

Ответ: а), б), г).

18. Найдите общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, определяя частное решение методом Лагранжа.

18.1. y

y sin3 x .

Ответ:

y C1 cos x C2 sin x

sin x

e7 x

18.2. y

14 y

49 y x 2 .

Ответ: y C1

C2 x (x 2)ln | x 2 | e7 x .

18.3. y

4 y sin 2x .

Ответ: y C

cos 2x

1 ln | sin 2x |

sin 2x .

19. Выберите уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью и решите их:

а) (x 1) y 2 y 3x ; б) y x3 y 5x2 9 ;

в) y 3y 2 y xsin x ; x2 4

г) y y e2 x .

20. Для каждой правой части укажите вид частного решения следующего дифференциального уравнения:

		x2 3x 5,
		e3x (2x 1),
20.1.		e3x (2x 1),
20.1.	y 9 y	(2x2 7x)sin 3x,
		(2x2 7x)sin 3x,

	2cos3x (4x 2)sin 3x;

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]