Математический анализ для проведения консультаций. Учебно-методическое пособие
.pdf
9.РЯДЫ ФУРЬЕ
1.Укажите вид ряда Фурье для 2π-периодической функции, часть графика которой показана на рисунке.
Варианты ответов:
|
a0 |
|
ak 0, bm 0; |
1) |
an cos nx bn sin nx, |
||
|
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
2) |
bn sin nx ; |
|
|
n 1
3)a20
4)a20
1.1.
an cos nx ;
n 1
bn sin nx, a0 0 .
n 1
Ответ: 3). 1.2.
Ответ: 1).
41
1.3.
Ответ: 4). 1.4.
Ответ: 2).
2. Укажите вид ряда Фурье для заданной функции на отрезке [–π, π]. Варианты ответов:
|
a0 |
|
ak 0, bm 0 ; |
1) |
an cos nx bn sin nx, |
||
|
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
2) |
bn sin nx ; |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
a0 |
|
|
3) |
an cos nx ; |
|
|
|
2 |
n 1 |
|
4)a0 bn sin nx, a0 0 . 2 n 1
2.1. f (x) xcos x .
Ответ: 2).
2.2. f (x) 1 cos3 3x .
Ответ: 3).
2.3. f (x) | x | sin x .
Ответ: 1).
42
2.4. f (x) 1 sin3 3x
Ответ: 4).
3. Укажите вид ряда
3.1.
Варианты ответов:
1) bn sin nx ;
n 1
2) bn sin n x ;
n 1
Ответ: 3). 3.2.
Варианты ответов:
1) bn sin nx ;
n 1
2) bn sin n x ;
n 1
.
Фурье для заданной периодической функции.
3) bn sin n2 x ;
n 1
4) bn sin n3 x .
n 1
3) bn sin n2 x ;
n 1
4) bn sin n3 x .
n 1
Ответ: 2)
4. Запишите формулы для разложения следующих функций в ряд Фурье на заданных интервалах. Сделайте чертеж.
4.1.y 2x , x .
4.2.y x 3, 1 x 1
43
4.3.y 3x2 , 2 x 2 .
4.4.y x3 2 , x
4.5.y 2x3 , 2,5 x 2,5 .
4.6.y 4 x2 , x
5. Разложите заданные функции в ряды Фурье в действительной форме на заданных интервалах. Сделайте чертеж.
|
|
2, 2 x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.1. f (x) |
x, 0 x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
1 ( 1) |
n 1 |
|
n x |
( 1)n 1 sin n x , |
|
||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
cos |
x ( 2;2). |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n n 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
Замечание. В точках x 2 сумма ряда Фурье равна |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ( 2 0) f (2 0) |
2 0 |
1. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
5.2. f (x) x3 , 3 x 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
, x ( 3;3). |
|||||
f (x) 243 |
(6 n2 2 )sin n x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
n 1 |
|
n3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||
Замечание. В точках x 3 сумма ряда Фурье равна |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ( 3 0) f (3 0) |
27 27 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
5.3. f (x) x 1, 0 x 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
f (x) 3 |
|
|
|
|
sin |
2 |
, x (0;4). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. В точках x 0, x 4 сумма ряда Фурье равна
f ( 0) f (4 0) 1 5 3. 2 2
44
5.4. f (x) x2 1, x
|
|
2 |
|
4 |
|
( 1)n |
|
Ответ: |
f (x) |
3 |
1 |
|
|
n2 |
cos nx, x . |
|
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|||
6. Разложите заданную функцию в ряд Фурье в комплексной форме на заданном отрезке:
|
|
f (x) e x , |
x . |
|
sh |
( 1)n |
|
Ответ: f (x) |
|
1 in einx , |
x ( ; ). |
Замечание. В точках x сумма ряда Фурье равна
f ( 0) f ( 0) |
|
e e |
ch . |
|
2 |
2 |
|||
|
|
45
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.БерманГ.Н. Сборникзадачпокурсуматематическогоанализа/ Г.Н. Бер-
ман. – М.: Наука, 1975.
2.НедогибченкоГ.В. Математическийанализ/ Г.В. Недогибченко, Г.М. Шумский. – Новосибирск: Изд-воНГТУ, 2017.
3.Письменный Д.Т. конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – Ч. 1, 2. – М.: Айрис пресс, 2004.
46
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (ФНП) |
...3 |
2. |
Двойной интеграл................................................................................................ |
9 |
3. |
Тройной интеграл с примерами решения практических задач...................... |
16 |
4. Криволинейные интегралы. Формула Грина................................................... |
19 |
|
5. |
Дифференциальные уравнения......................................................................... |
23 |
6. |
Числовые ряды................................................................................................... |
33 |
7. |
Функциональные ряды...................................................................................... |
36 |
8. |
Ряды Тейлора...................................................................................................... |
38 |
9. |
Ряды Фурье......................................................................................................... |
41 |
Библиографический список.................................................................................. |
46 |
|
47
Рощенко Ольга Евгеньевна Левяков Станислав Вячеславович Шумский Геннадий Михайлович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНСУЛЬТАЦИЙ
Учебно-методическое пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова Корректор Л.Н. Киншт
Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
__________________________________________________________________________
Подписано в печать 02.09.2022. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 80 экз. Уч.-изд. л. 2,79. Печ. л. 3,0. Изд. № 122. Заказ № 237. Цена договорная
__________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
48