Математический анализ для проведения консультаций. Учебно-методическое пособие

1

y

2xex2 y dx.

б) dy

0

0

а) xydxdy ,

D : x y 2;

x2 y2

2 y ; x 0 .

D

Ответ:

1 .

4

б)

xdxdy

,

D : y x tg x; y x .

2 2

D x

y

Ответ:

2

.

32

7. Укажите полярные координаты ( , ) точки, заданной в декарто-

вых координатах.

а) M 3

3; 3 .

Ответ:

5

;

6

6

.

б) M(0; 2).

Ответ:

3

;

2

2

.

Ответ: 0

,

1 2cos .

3

8.2.

3

4

Ответ: 2

d f ( cos , sin ) d .

2

2

9.2.

5

2

Ответ:

4

d f ( cos , sin ) d .

0

0

10. Перейдите к полярным координатам в интеграле f (x, y)dxdy

D

по области, заданной неравенствами или уравнениями границ.

10.1. D : x2 y2

2x, y 0.

Ответ:

0

2 cos

d

f ( cos , sin ) d .

0

2

0

sin

Ответ:

d

f ( cos , sin ) d .

0

2

arctg

a

bsin

b d

f ( cos , sin ) d

0

0

a cos

2

d

f ( cos , sin ) d .

arctg

a

0

b

xdxdy

,

D : x2

ay;

x2 y2

2a2 ;

y 0 (x 0, a 0) .

2 2

D x y

Ответ:

a (2 ln 2) .

2

Ответ:

a

2

4

3

3

.

x2 y2 z,

x2 y2 z2 ,

x 0,

y 0, 35yz .

1

1

2

2

2

2d

z

d d 35 sin z dz 35 sin d

0

0

2

0

5

0

7

2

2

35

( cos )0 /2

1

35

(1)

35

7 5

1.

2

2 ( 2 3 )d

2

5

35

9

7

2

x2 y2 z2 1,

x2 y2 z2 ,

x 0,

y 0,

z 0 .

1

32 4

1

2

4

4

d

d

d d 2 sin 32cos

2

4

sin cos

0

0

0

0

0

1 1

4

16

04

(cos

cos0)

.

4 2

sin 2 d cos 2

2

0

x2 y2 4z, x2 y2 4,

x 0,

y 0,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

d

5 sin dz 5 sin d

2d

0

0

0

0

0

4

0

5 ( cos )

2

4d

5

5

2

32

2

8.

4

0

0

4 5

0

4

усом R c центром в начале координат, т. е. (xc , yc , zc ) . Этот полушар

ограничен поверхностью zc

R2 x2 y2 и плоскостью z 0 .

В силу симметрии полушара xc 0, yc 0 , а координата zc опреде-

ляется следующим образом:

zdxdydz

zdxdydz

z

c

V

V

.

dxdydz

2

R

3

V

3

2

/2

R

R4 1

d

sin cos d 3d

2

3 R.

zc

0

0

0

4

2

2

R3

2

R3

8

3

3

2.3. (x z)dl ,

L – дуга кривой x t , y 3t2 ; z t3 ; 0 t 1.

L

1

2

Ответ:

56

.

54

7 1

3. Вычислите криволинейные интегралы второго рода.

A(0, a) до

3.1. xdy ,

где L – правая полуокружность от точки

L

точки B(0, a) .

Ответ:

1 a2 .

2

x2

3.2. (x y)dx , L: y

от точки O(0, 0) до точки A(2, 2) .

L

2

Ответ:

10 .

3

L

3

Ответ:

a

2

.

2

4.

{х, у, х у 2} при перемещении

Вычислите работу силы F

точки вдоль отрезка прямой из точки А(0, 0, 0) в точку B(1, 2, –1).

Ответ: –1.

5.

Выберите интегралы, не зависящие от пути интегрирования на

плоскости (x, y) или в пространстве (x, y, z) :

а)

ydx xdy zdz ;

L

б)

(3x2

1) ydx (x3 x)dy ;

L

в) ( y z)dx (x z)dy (x y)dz ;

L

г)

cos ydx xsin ydy ;

L

1

x

д)

dx

dy ;

L

y

y2