Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ для проведения консультаций. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

777 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

3xe ,

e x cos 2x,

20.2.y y 2 y

(x2 1)x,

e2x (x3 4x).x

21. Найдите общие решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, определяя частное решение методом неопределенных коэффициентов.

21.1. y 2 y

y x 2ex .

Ответ:

y (C

ln x C

x) ex .

21.2. y y x 2ex .

Ответ:

y C cos x C

sin x x ex .

21.3. y 5 y 6 y e x

e 2 x .

Ответ:

y 1 e x xe 2x C e 2x C e 3x .

21.4. y 4 y 2sin 2x 3cos 2x 1.

Ответ:

y C cos 2x C

sin 2x

(3sin 2x 2cos 2x) 1 .

21.5. y 2 y 3y x(1 e3x ) .

Ответ:

y C e3x C e x 1 (2 3x)

(2x2 x)e3x .

21.6. y 4 y 4 y xe2 x .

Ответ:

y C

e2 x .

22. Примените метод неопределенных коэффициентов для нахождения общего решения уравнения y 2 y 2xex (cos x sin x) .

Запишите вид общего решения, не определяя коэффициенты частного решения.

Ответ: y C1e 2x C2e 2x ( Ax B)ex sin x (Cx D)ex cos x.

6.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.Укажитеряды, в которыхневыполненнеобходимыйпризнаксходимости:

( 1)n

n 1

а)

;

г)

;

ж)

n 3

n 1

n 2 ln n2

n 2

n 1

15;

б) n

д) 2n 1e n ;

n 1

n5 6

n 1

ln n

2n 1

в)

;

е)

;

n 1 n 1

n 1 3n

Ответ: а), г), ж).

2. Для каждого ряда укажите рациональный признак исследования на сходимость:

1 sin n

2.1.

;

2.4. n tg

;

n 1

2.2.

;

2.5. n!sin

;

n 1

2.3.

;

2.6.

n 1 3n 1

n 1 nln3 n

3. Следующиезнакоположительныерядыисследуйтенасходимость,

применяя признаки сравнения (с использованием неравенств или эквивалентности), Даламбера, Коши (радикальный и интегральный).

	n 1
3.1.	n 1	. Ответ. Расходится.
3.1.	n4 n 1	. Ответ. Расходится.
n 1	n4 n 1
		33

			n2 1
3.2.										.
3.2.		3n6 n3								.
n 1		3n6 n3					1
			arctg n
3.3.			arctg n					.
3.3.								.
n 1		n(2 n2 )
sin2 (n						n)			.
3.4.			n n						.
n 1			n n
			72n
3.5.					.
3.5.	(2n 1)!				.
n 1	(2n 1)!
	2n 1(n3			1)					.
3.6.			(n 1)!						.
n 1			(n 1)!
	1			5
3.7.			arctg	n		.
3.7.			arctg			.
n 1 n!

3.8. n sin n . n 1 n(n 2)

Ответ. Сходится.

Ответ. Расходится.

		n!					1
3.9.					tg			.			Ответ. Сходится.
3.9.	(2n)!				tg	5n		.			Ответ. Сходится.
n 1	(2n)!					5n
3.10. 3			3 5 ...							3 5...(2n 1)		...	Ответ. Сходится.
1			1 4							1 4...(3n 2)
					1		n2	1
3.11.					1			1					Ответ: Сходится.
		1									.
		1			n				4n		.
n 1					n				4n
		5n 1 n2
3.12.										.			Ответ. Расходится.
3.12.				4n						.			Ответ. Расходится.
n 1				4n	3

		1
3.13.		1			.	Ответ. Сходится.
3.13.	(2n				.	Ответ. Сходится.
n 1	(2n	3) ln2 (2n 3)
		2n		n
3.14. n4		2n				Ответ. Сходится.
			.
		3n 5	.
n 1		3n 5

4. Следующие знакопеременные ряды исследуйте на сходимость. Для сходящихся рядов установите вид сходимости.

	sin	n

4.1.	4		.	Ответ. Сходится абсолютно.

n 1	n3

	( 1)n n 3 .
4.2.	( 1)n n 3 .
n 1		n 5
	( 1)n	n 1
4.3.		n 1			.
4.3.		(n 1)	n 1 1		.
n 1		(n 1)	n 1 1
	( 1)n	.
4.4.		.
n 1 n 4
	( 1)n		1
4.5.			1	.
4.5.		n ln n(ln ln n)3		.
n 1		n ln n(ln ln n)3

Ответ. Расходится.

Ответ. Сходится условно.

Ответ. Сходится абсолютно.

		( 1)n		n
4.6.				n		.			Ответ. Расходится.
4.6.			5n 2			.			Ответ. Расходится.
	n 1		5n 2
		( 1)n 1 tg			1
4.7.					1			.	Ответ. Сходится абсолютно.
4.7.					n n			.	Ответ. Сходится абсолютно.
	n 1				n n
		( 1)n	2n 1					n
4.8.			2n 1						Ответ. Сходится абсолютно.
							.
					2		.
	n 1		3n		2

7.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1.Найдите область сходимости ряда:

	(x 1)n							.
1.1.	3n		2					.
n 1	3n		2
	1
1.2.	1									.
1.2.										.
n 1 n!(x 3)n
	(x 4)2n 1										.
1.3.	(2n			3)4n							.
n 1	(2n			3)4n
	arctg		1		(x 3)n.
	arctg			n
1.4.				n
1.4.	2n
n 1	2n
				x
1.5. xn tg				x			.
1.5. xn tg							.
n 1		2n
	( 1)n			x		2n
1.6.				x					.
1.6.									.
n 1					n

1.7. (ln x)n .
n 2
										x 1.
1.8. ( 1)n e n										x 1.

n 1

Ответ: [ 2; 0).

Ответ: x 3 .

Ответ: 6 x 2 .

Ответ: 5 x 1 .

Ответ: 2 x 2 .

Ответ: 1 x 1 .

Ответ: 1e x e .

Ответ: x 1 .

	( 1)n 3 n		(x 4)n .	Ответ: 5 x 3 .
1.9.	n3	n 1
n 1

2. Выпишите номера степенных рядов из задачи 1.

Ответ: 1.1, 1.3, 1.4, 1.6, 1.9.

3. Укажите вид степенного ряда, интервалом сходимости которого может быть интервал (–2; 6):


а) an xn ;	в) an (x 2)n ;
n 0	n 0

б) an (x 2)n ;

n 0

г) an (x 6)n .

n 0

Ответ: в).

4. Известно, что степенной ряд an (x 1)n сходится в точке

n 0

x 3. Укажите точки, о которых можно утверждать, что они также принадлежат области сходимости ряда:

а) – 2; б) – 1; в) 0; г) 1; д) 3. Ответ: а), б), в).

8.РЯДЫ ТЕЙЛОРА

1.Разложите f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

1.1. f (x) 2x , x

0 .

Ответ:

lnn 2

xn ,

x R .

n 0

1.2. f (x) ex , x

3 .

Ответ: e3 (x

, x R .

n 0

1.3. f (x)

2 .

x 7

(x 2)n

Ответ:

, x ( 3; 7) .

5 n 0

1.4. f (x)

x0 2 .

3 4x

2)2n , 3 x 1 .

Ответ:

n 0

1.5. f (x) ln(10 x), x0

0 .

( 1)n 1

Ответ:

ln10

, 10 x 10 .

10n n

n 1

1.6.

f (x) ln x, x0

4 .

(x 4)

Ответ: ln 4 ( 1)n 1

, х (0; 8].

n 1

n4n

1.7.

f (x) ln

x0 1.

2x x2

( 1)n

(x 1)2n

, 2 x 0 .

Ответ:

n 1

1.8.

f (x) sin x , x 4 .

2n 1

(x 4)2n 1

, x R .

Ответ: ( 1)n 1

(2n 1)!

n 0

1.9.

f (x)

4 x2 , x

0 .

Ответ: 1

...

1 3...(2n 3)

..., 2 x 2 .

2!42

2n 1 n!4n

(Используемый ряд Маклорена для функции (1 x)

при > 0 схо-

дится в граничных точках интервала сходимости.)

2. Разложите в ряд Маклорена функцию.

2.1. y ln(1 5x) .

(5x)n

Ответ: y ( 1)n 1

n 1

2.2. y e3x2 .

Ответ:		n		2n	,		x R .
Ответ:	y	3	x		,		x R .
	n 1	n!
2.3. y x2 (e x		1) .
		( 1)n			x	n 2
Ответ:	y				x			,	x R .
Ответ:	y					n!		,	x R .
	n 1					n!

2.4. y ln 3

x 8 .

n 2

Ответ:

y ln 2 ( 1)n 1

8 .

n 8n

n 1

3. Найдите приближенное решение задачи Коши в виде ряда Макло-

рена до слагаемого с х4 включительно.

3.1. y

1) y

y(0)

y (0)

Ответ:

1 2x

2 x

3.2. y

y 0,

y(0) 1,

y (0) 1 .

Ответ:

3x2

3x4

1 x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]