Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум для СПО
.pdf
СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
__________________________________________________________________
УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Д.В. Исламгалиев, В.Б. Пяткова
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ 2 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
ПРАКТИКУМ ДЛЯ СПО
Рекомендован Учебно-методическим отделом СПО в качестве практикума для использования в учебном процессе образовательными учреждениями среднего профессионального образования по всем профессиям и специальностям
Москва Ай Пи Ар Медиа
2025
УДК 51
ББК 22.1 И87
Авторы:
Исламгалиев Д.В. — старший преподаватель кафедры математики; Пяткова В.Б. — старший преподаватель кафедры математики
Рецензенты:
Стороженко Л.А. — канд. геол.-минер. наук, доц., зав. кафедрой геологии и защиты в чрезвычайных ситуациях Уральского государственного горного университета; Стожков Д.С. — канд. техн. наук, доц., доц. кафедры электротехники
Уральского государственного горного университета
Исламгалиев, Дмитрий Владимирович.
И87 Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция : практикум для СПО / Д.В. Исламгалиев, В.Б. Пяткова ; Уральский государственный горный университет. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2025. — 49 с. — (Среднее профессиональное образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-4281-0 (ч. 2)
ISBN 978-5-4497-4278-0
Вторая часть практикума содержит краткие теоретические сведения по теме «Логарифмы»: понятие логарифма, свойства логарифма, график логарифмической функции, решение типовых уравнений, неравенств и систем, содержащих логарифмическую функцию.
Подготовлен в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования.
Практикум предназначен студентам всех профессий и специальностей среднего профессионального образования на базе основного общего образования, изучающим тему «Логарифмы» в рамках дисциплины «Математика».
Учебное электронное издание
Рассмотрено на заседании кафедры математики 17 октября 2024 г. (протокол № 2) и рекомендовано для издания в УГГУ
ISBN 978-5-4497-4281-0 (ч. 2) |
© Исламгалиев Д.В., Пяткова В.Б., 2025 |
ISBN 978-5-4497-4278-0 |
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2025 |
Учебное издание
Исламгалиев Дмитрий Владимирович Пяткова Вера Борисовна
Редактор А.В. Неверова
Технический редактор, компьютерная верстка К.А. Новикова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 01.04.2025. Объем данных 6,5 Мб
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа» 8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................. |
5 |
|
1. |
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ .................................................................................... |
6 |
2. |
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ........................................................................... |
10 |
3. |
ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ........................................ |
18 |
4. |
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ......................................................... |
25 |
5. |
СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.................................. |
34 |
6. |
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА .................................................... |
36 |
7. |
ПРИМЕРЫ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ............................................. |
43 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... |
48 |
|
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................. |
49 |
|
4
ВВЕДЕНИЕ
Практикум по дисциплине «Математика» предназначен для самостоятельной работы студентов всех профессий и специальностей среднего профессионального образования.
Необходимость обеспечения качественной реализации ФГОС требует повышения эффективности образовательного процесса и качества подготовки специалистов на основе формирования у студентов самостоятельного мышления и развития компетенций.
При изучении темы «Логарифмы» студенты сталкиваются со многими проблемами, для рассмотрения которых необходима постоянная помощь преподавателя. Однако эта задача может быть решена студентами самостоятельно, если они в своей работе воспользуются данным практикумом, в котором содержатся основные теоретические сведения, примеры решения типовых примеров и список рекомендуемой литературы.
Цель практикума состоит в том, чтобы помочь студентам в формировании практических навыков решения примеров, содержащих логарифмы, построения графиков логарифмической функции, решения типовых уравнений, неравенств и систем, содержащих логарифмическую функцию.
В результате изучения рассматриваемой темы студенты должны:
•знать:
–основные понятия теории логарифмов;
–основные свойства логарифмов;
•уметь:
–решать примеры, содержащие логарифмическую функцию;
–строить графики логарифмической функции;
–сравнивать числа, содержащие логарифмическую функцию;
–решать типовые уравнения, неравенства и системы, содержащие логарифмическую функцию.
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Ранее, в 1 части практикума, рассматривались показательные уравнения, решение одного из них приведено в примере 1.
Пример 1. Решите уравнение:
9x = 81.
Решение. Приведем к общему основанию
9 |
x |
|
Приравняем степени:
x
=
=
9 |
2 |
|
2.
.
А что делать, если задано уравнение 9x =80?! Пусть уравнение вида:
|
|
|
|
a |
x |
=b |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
a (0;1) (1;+ ) |
, |
b (0;+ ) |
имеет |
единственный корень. |
||
|
|
||||||
называется логарифмом числа по основанию и обозначается
Этот
log |
a |
b |
|
|
корень
:
x =log |
a |
|
b
.
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a (0;1) (1;+ ), называется показатель степени, в которую требуется возвести число a, чтобы получить b.
Пример 2. Найдите |
x = log |
2 |
8 |
. |
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
x =log2 8 2x =8, |
2x = 23 , x = 3 log2 8 = 3. |
||||
6
Пример 3. Найдите |
x |
|
|
Решение. |
|
x = log |
81 |
9 |
|
Пример 4. Найдите |
x |
|
= log |
81 |
|
9 . |
9x =81 |
, |
9x = |
||
|
|
|
|
|
= log |
10000 |
. |
||
10 |
|
|
|
|
Решение.
92
,
x = 2
log |
9 |
81= |
|
|
2
.
x =log |
10000 |
10 |
|
10 |
x |
|
=10000
,
10 |
x |
|
=10 |
4 |
|
,
x = 4
log |
10000 |
10 |
|
=
4
.
Пример 5. Найдите
Решение.
x
=
log |
64 |
128 |
|
|
.
x =log |
64 |
|
Пример 6.
Решение.
Пример 7.
Решение.
128 64 |
x |
=128 |
, |
2 |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
Найдите |
x = log |
5 |
5 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =log5 5 |
5x |
=5, |
|||||||
Найдите |
x = log |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
6 . |
|
||||
x =log 1 6 |
x |
=1 |
, |
6 |
|||||
|
|||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2 |
, 6x = 7 |
7 |
|
5x =51 , |
x = |
x |
=6 |
|
0 |
, x = |
|
|
|
,
1
0
x = |
7 |
log64 128 = |
|
6 |
|||
|
|
|
log |
5 =1 |
5 |
. |
|
log |
1= 0 |
. |
6 |
|
7 6
.
Определение логарифма можно сформулировать следующим образом:
Если в уравнении |
a |
x |
|
||
|
|
шим уравнение, используя
|
a |
log |
b |
=b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=b |
число b нельзя представить в виде |
b |
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
log |
b |
=b |
|
|
определение логарифма |
|
a |
|
|
, тогда: |
||||||
|
|
|
|
||||||||
ax =b;
ax = aloga b ;
x =loga b .
=
a |
y |
|
, то ре-
7
Также уравнение
a |
x |
=b |
|
|
можно решить, прологарифмировав обе части по основанию a
log |
|
a |
x |
= log |
|
b |
a |
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
x = log |
a |
b |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 8. Решите уравнение |
9x |
=81 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Решим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x =81 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
=9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
log |
81 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = log |
9 |
81 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В результате (как мы знаем): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 . |
|
|
|
|
||||
Ответ: x = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Решите уравнение |
9 |
x |
=80 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Решим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
x |
=80 |
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
9x =9log9 80 .
Следовательно
;
x =log9 80.
Ответ: x =log9 80.
8
Решим это же уравнение другим способом:
|
|
9 |
x |
=80 |
|
|
|
|
|
|
|
||
log |
|
9 |
x |
= log |
|
80 |
9 |
|
9 |
||||
|
|
|
|
|
x =log9 80.
Ответ: x =log9 80.
Пример 10. Решите уравнение 4x =5.
Решение.
4 |
x |
=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x = 4log4 5 |
|
||||
x = log |
4 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x = log |
4 |
|||
|
|
|
|
||
Пример 11. Решите уравнение 4x |
=5. |
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
5
.
|
|
4 |
x |
=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
4 |
x |
= log |
|
5 |
4 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
x
= log |
4 |
|
5
.
Ответ:
x
= log |
4 |
|
5
.
|
|
7 |
log |
6 |
|
|
Пример 12. Упростите выражение |
|
7 |
|
. |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
7 |
log 6 |
=6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13. Упростите выражение 34log3 5 .
Решение.
34log3 5 = (3log3 5 )4 = 54 = 625.
9
|
|
|
|
2. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ |
|||||||
|
a |
log |
b |
=b |
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 1. |
|
a |
|
|
(основное логарифмическое тождество). |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
= a log |
|
a =1 |
||
Свойство 2. Из свойства |
a |
a |
|||||||||
|
|
|
|
. |
|||||||
Пример 14. Найти значение |
log 3 |
. |
|
|
|||||||
3 |
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
3 =1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
Пример 15. Найти значение log5 5.
Решение.
log |
5 |
5 =1 |
|
. |
Пример 16. Найти значение
Решение.
log 12 |
. |
12 |
log 12 |
= |
12 |
|
1
.
Свойство 3. Из свойства |
a |
0 |
||
|
|
|||
|
|
|
||
Пример 17. Вычислить |
log |
2 |
||
|
|
|
||
Решение.
Пример 18. Вычислить |
log |
6 |
|
Решение.
=1 log |
1= |
a |
|
1 |
|
. |
|
log |
1= 0 |
. |
2 |
|
1.
log6 1= 0.
0
.
Пример 19. Вычислить log15 1.
10