Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум для СПО
.pdf
Сравним числа:
5 |
|
6
.
Так как
a
=
4
, знак сохраняем:
log |
4 |
5 |
|
|
|
|
log |
4 |
|
6
.
Ответ:
Пример
log |
4 |
5 |
|
log |
4 |
|
|
|
|
57. Сравнить
6 |
. |
|
числа
log |
1 |
5 |
|
|
|
|
4 |
|
и
log |
1 |
|
|
|
4 |
6
.
Решение.
log |
1 |
5 |
|
log |
1 |
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
4 |
6
.
Сравним числа:
5 6 .
Так как a = 14 , знак меняем:
log |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Ответ: log |
1 |
5 |
|
log |
1 |
6 . |
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
log 1 4
6
.
|
|
|
Пример 58. Найти, между какими целыми числами располагается число |
log |
4 |
7 |
. |
|
|
Решение. Известно, что
log4 4 =1, log4 16 = log4 42 = 2 log4 4 = 2 1= 2. Так как 7 (4;16) log4 7 (1;2).
Ответ: log4 7 располагается между 1 и 2.
21
Пример 59. Между какими целыми числами располагается число log1
3 Решение. Известно, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= −1. Так как 2 (1;3) |
||
log1 |
1 = 0 |
, log |
1 |
|
3 = log1 |
|
|
|
|
= −1 log1 |
|
|
|
= −1 1 |
||||||||
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log1 2 (−1;0). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: log1 |
2 |
располагается между –1 и 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
:
Пример 60. Найдите область определения функции y =log3 x.
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
x 0
x 0
Ответ: |
x |
|
Пример 61.
x (0;+ ) |
. |
|
(0;+ ).
Найдите область определения функции y = log1 (x −1).
3
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
x −1 0
x 1
x
1
x
(1;+ )
.
Ответ: x (1;+ ).
22
Пример 62. Найдите область определения функции |
y =lg(6− x |
|
|
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком |
|
всегда больше нуля: |
|
6 − x 0 |
|
− x −6 |
|
x 6 |
|
).
логарифма
x 6
|
|
x (− ;6) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x (− ;6) |
. |
|
|
|
Пример 63. Найдите область определения функции |
y = log1 |
(x |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком всегда больше нуля:
− 4)
.
логарифма
x |
2 |
− 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
|
– |
|
|
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
– 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x (− ;−2) |
(2;+ ) |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x (− ;−2) (2;+ ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = log |
4 − x |
|
|
Пример 64. Найдите область определения функции |
|
|
|
|||||||||
5 |
x +1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма всегда больше нуля:
4 − x 0 . x +1
23
Решим данное неравенство методом интервалов:
4 − x = 0
−x = −4 x = 4
x+1 0
x−1
– |
+ |
– |
x |
–1 |
|
4 |
|
x (−1;4) |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x (−1;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 65. Найдите область определения функции |
y = ln(5 |
x |
−25) |
. |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|||||||
Решение. По определению выражение, стоящее под знаком логарифма |
|||||||||
всегда больше нуля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x |
− 25 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
x |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
так как 5 1, x 2
2
то
x
x (2;+ ).
Ответ:
x
(2;+ )
.
24
4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения называют логарифмическими, внутри логарифма, т.е.
log |
a |
x =b |
или |
log |
x |
a = |
|
|
|
|
Примеры логарифмических уравнений:
если неизвестное x находится
b.
log |
5 |
x = 2 |
, |
log |
4 |
x =log |
4 |
|
|
|
|
log22 x +log2 x −20 = 0, log4 x +
Решение логарифмического уравнения
6 |
. |
|
|
|
|
|
1 |
= 2 . |
|
||
logx 4 |
||
log |
a |
x =b. |
|
|
будем находить путем возведения обеих частей уравнения в степень с основанием a:
a |
log |
x |
= a |
b |
|
a |
|
|
|
;
x = ab
при условии, что x 0 (по ОДЗ или определению функции). Решение логарифмического уравнения
log |
a |
f (x)=log |
a |
g(x) |
|
|
|
будем находить путем возведения обеих частей уравнения в степень с основанием a:
aloga f (x) = aloga g(x)
при условии, что f (x) 0 и g(x) 0 (по ОДЗ или определению функции).
25
Пример 66. Решите уравнение
log |
5 |
|
x
=
2
.
Решение. Рассмотрим разные способы решения элементарного логарифмического уравнения.
1 способ
Ответ: 2 способ
x
log |
5 |
x = 2 |
|
|
|
log |
x =2 1 |
|
5 |
|
|
log5 x = 2 log5 5 log5 x = log5 52
log |
x =log 25 |
5 |
5 |
|
x = 25 |
= 25.
log |
5 |
x = 2 |
|
|
x= 52
x= 25
ООФ:
x 0
x
0 x (0;+ ).
ООФ:
x 0
x 0
Ответ: |
x = 25. |
3 способ |
|
log5 x = 2
5 |
|
=5 |
|
log x |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
x = 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
x = 25 |
||
Ответ: x = 25.
x (0;+ ).
ООФ:
x 0
x
0 x (0;+ ).
26
Пример 67.
Решение.
Решите уравнение
log |
(x +4)= log |
3 |
3 |
|
5
.
log |
(x +4)= log |
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
x + 4 = 5 |
|
|
|
x = 5 − 4 |
|
|
|
x =1 |
|
|
Ответ: x =1.
Пример 68. Решите уравнение
Решение. 1 способ
log3 (x + 2)= 4.
ООФ:
x + 4 0
x −4
x -4
x (−4;+ ).
log |
(x + 2)= 4 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
log3 (x +2)= 4 1 |
|
|||||||
log |
(x +2)= 4 log |
3 |
3 |
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
(x + 2)= log |
|
|
|
4 |
||
3 |
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
log |
|
(x +2)=log |
|
81 |
||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
x + 2 = 81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 81− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 79 |
|
|
|
|
Ответ: x = 79 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
3 |
(x + 2)= 4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 =34 |
|
|
|
|
||||
x + 2 = 81 x = 81− 2 x = 79
ООФ:
x + 2 0
x −2
x
− 2 x (−2;+ ).
ООФ:
x + 2 0 x −2
27
x − 2
x (−
2;+ )
.
Ответ: x =
Пример 69.
Решение.
79 .
Решите уравнение
log |
(x −4)= |
7 |
|
2
.
log |
(x −4) |
= 2 |
7 |
|
|
x −4 =7 |
2 |
|
|
|
|
x − 4 = 49 |
||
x = 49 + 4 |
||
|
x = 53 |
|
Ответ: x = 53.
Пример 70. Решите уравнение
Решение.
log |
(2 − |
3 |
|
x)=
0
.
ООФ:
x − 4 0 x 4
x 4
x (4;+ ).
log3 (2 − x)= 0
2 − x = 30 2 − x =1 − x =1− 2 − x = −1 x =1
Ответ: x =1.
28
ООФ:
2 − x 0
− x −2
x 2
x
2
x (− ;2) |
. |
|
Если в уравнении |
a |
x |
=b |
число b нельзя представить в виде |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b = a |
log |
b |
|
|||
уравнение решим с помощью свойства |
|
|
|
|
a |
|
, тогда: |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
x |
=b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
= a |
log |
b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
x =log b |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение можно решить и другим способом:
a |
x |
=b. |
|
Прологарифмируем обе части по основанию a:
b
=
a |
y |
|
, то
log |
|
a |
x |
= log |
|
b |
a |
|
a |
||||
|
|
|
|
|
Пример 72.
Решение. 1 способ
Ответ: |
x = |
|
2 способ
x = log |
a |
b |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решите уравнение |
3 |
x |
=80 |
. |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||
3 |
=3 |
|
x |
log 80 |
|
|
|
3 |
x = log3 80.
log |
3 |
80 |
. |
|
|
3x =80
log3 3x = log3 80
x
=
log |
3 |
|
80
.
Ответ: x = log3 80.
Пример 73. Решите уравнение 4x =5.
29
Решение.
4 |
|
= 4 |
|
|
|
x |
log |
5 |
|
|
|
|
4 |
|
Ответ: |
x = |
|
Пример 74.
Решение.
x = log4 5.
log |
4 |
5 |
. |
|
|
Решите уравнение |
4 |
x |
=5 |
. |
|
|
|||
|
|
|
4 |
x |
=5 |
|
|
log |
|
4 |
x |
= log |
|
5 |
4 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
x
Ответ: |
x = log |
4 |
5 |
. |
|
|
Пример 75. Решите уравнение
Решение.
= log 5 |
. |
|
4 |
||
|
log2 (1− x)=3−log2 (3− x).
|
|
log |
(1− x)=3−log |
(3− x) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
log |
(1− x)+log |
(3− x)= 3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
(1− x) (3− x) =3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−x) (3−x)=2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3−x −3x + x |
2 |
=8 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−4x +3−8 =0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = b |
|
|
|
|
x2 −4x −5 =0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−4ac = |
(−4) −4 1 (−5)= 36 |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
− b |
|
D |
|
|
4 36 |
|
|
4 6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
5 |
− не уд. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||
Ответ: x = −1.
ООФ:
1 − x 0 |
3 − x 0 |
−x −1 − x −3
x1 x 3
13
x(− ;1).
x
30