Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум для СПО

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Пример 76. Решите уравнение

Решение.

lg(2x	2

−4x +12)= lg

+lg(x

lg(2x

−4x +12)= lg x +lg(x +3)

lg(2x

−4x +12)= lg x (x +3)

−4x +12 = x (x +3)

− 4x +12 = x

+ 3x

− 4x +12 − x

−3x = 0

D = b

x2 − 7x +12 = 0

−4ac =

(−7)

−4 1 12 =1

;

− b

1,2

2 1

ООФ:

2x		2	− 4x +12			0
2x			− 4x +12			0
2x		2	− 4x +12			= 0	: 2
2x			− 4x +12			= 0	: 2
x	2	− 2x + 6 = 0
D = b					−4ac = (−2)			−4 1 6 = −20
				2			2
					корней нет
						+		x
								x

x(− ;+ )

x0 x +3 0

x−3

	x
-3	0

Ответ:	x	= 4	,	x = 3	.
	1			2

Пример 77. Решите уравнение

Решение.

x (0;+ ) log7 (3x +4)=log7 (5x +8).

log	(3x +4)=log (5x +8)
7	7
	3x + 4 = 5x +8
	3x −5x = 8 − 4

−2x = 4 : 2

x= −2 −не удовл.ООФ

ООФ:

3x + 4 0	5x +8 0
3x −4	5x −8
x − 4	x − 8
3	5

−	8	−	4

5		3

− 4 + x ;3 .

Ответ: Ø.

Пример 78. Решите уравнение

Решение.

log	(2x −1) log	4
4		4

2log	4	(2x
	4

−

log		(2x −1) log				4	x = 2log				4	(2x −1)
	4					4					4
log	(2x −1) log			4	x −2log			4	(2x −1)=0
4				4				4
	log4 (2x −1)					(log4 x −2)= 0
log4 (2x −1)=0							log4 x −2 = 0
2x −1 = 4			0				log					x = 2
										4
	2x =1+1							x = 4
												2
	2x = 2 : 2						x			=16
								2
				x			=1
					1

ООФ:

2x −1 0		x 0
2x 1
x	1
	2

	1
x	2	;+
	2		.
			.

Ответ:	x	=1	x	=16	.
Ответ:	1	,	2		.

Пример 79. Решите уравнение

log

x −

Решение.

log

−log

x −20 = 0

Пусть

log x =t

t 2 −t − 20 = 0

D = b2 −4ac = (−1)2 −4 1 (−20)=81;

− b

1 9

− 4

1,2

log7 x =5

log7 x = −4

log	7	x −20 = 0	.

ООФ:

x 0

x (0;+ ).

x = 7	5	x = 7	−4

x =16807	x		=	1
		2
1				2401

Ответ: x1 =16807 , x2 = 24011 .

Пример 80. Решите уравнение

log

x + log

3 =

Решение.

log

x + log

3 =

log

x + log 3 =

ООФ:

x 0

x 1

log

x +

log

Пусть

log x =t

t +

(2t

−

= 0

+ 2 −5t

= 0

2t 2

−5t + 2

= 0

−5t + 2 = 0

D = b

−4ac = (−5)

−4 2 2 = 9

− b

5 3

1,2

2 2

log

x = 2

log

x =

x = 32

x1 =9

x2 =

Ответ:

x =9 ,

3 .

0 1

x (0;1) (1;+ )	.

5. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Система уравнений называется логарифмической, если содержит лога-

рифмическое уравнение. После упрощения система решается методом подстановки или, в частности, методом сложения или вычитания уравнений. Также стоит напомнить, при геометрическом способе решением системы являются точки пересечения графиков функций.

Пример 81. Решите систему уравнений:

(1)

Решение.

log2 x −log2 y =1

log		x	=1
	2	y


x			1
y		= 2

x		= 2
y

x= 2y

x= 2 3 = 3 2

log2	x −log2 y =1
4y2	+ x −12 = 0 .

(1)

log

x −log

y =1

+ x −12 = 0

(2)

4y2

(2)

+ x −12 = 0

+ 2y

−12 = 0

: 2

+ y

− 6 = 0 : 2

D =b −4ac =1 −4 2 (−6)= 49

;

− b

−1

1,2

2 2

−1 7

− 2

− не удовл.ООФ

ООФ:

x 0	;
y 0	.
	.

	3
В результате 3;	2	.
	2

Проверка. Подставим в систему


log	2	x −log	2	y =1
	2		2
		+ x −12 = 0
4y2		+ x −12 = 0

точку

	3
3;	2
	2

	3 −
log2

	3	2
4
	2

Ответ:

log2 32 =1

+ 3 −12 = 0

	3
3;	2	.
	2


log
		2


	9
4
	4
	4

3 3 2

=1

3 −12 = 0
	1 =1

		= 0 .
	0	= 0 .

			3 2	=1

log		2	3
		2

	+ 3 −12 = 0
9	+ 3 −12 = 0


log		2	2
		2
	= 0
0	= 0

6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенства называют логарифмическими, ся под логарифмом.

Примеры логарифмических неравенств:

log5 x log5 4	, log1	x log1	7	, log2 (2x +3) log2 (x
	2	2

если неизвестное

+1)	,	log	2	x − 4log
			3		3

находит-

+3 0	.

Решение логарифмических неравенств:

log

f (x) log

g(x)

log

f (x) log

g(x)

log

f (x) log

g(x)

log

f (x) log

g(x)

находится возведением в степень левой и правой частей при основании a и,

пользуясь свойством	a	log	b	= b, неравенства приводится к виду:
		a

– если a 1

, то знак неравенства сохраняется:

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

;

– если

0 a

то знак неравенства меняется на противоположный:

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

при условии пересечений решений самого неравенства и области определения функции (ООФ).

Пример 82. Решите неравенство

Решение.

log	5	x log	5	4
	5		5
т.к. 5 1, то
		x 4

0 4

Ответ: x (4;+ ).

log	5	x log	5	4	.

ООФ: x 0

x 0

x (0;+ ).

Пример 83. Решите неравенство								log	5	x log	5	4		.
Пример 83. Решите неравенство									5		5			.
Решение.
log5		x log5 4												ООФ:
т.к.		5 1, то												x 0
т.к.		5 1, то
		x 4
							x						0
							x						x (0;+ )
0				4									x (0;+ )		.
0				4											.
Ответ:		x (0;4)					.
Ответ:							.
Пример 84. Решите неравенство log 1										x log		1	7 .
									2			2
Решение.
log	1	x log			1	7								ООФ:
	1				1									ООФ:
	2				2									x 0
	2				2
т.к.		1	1	, то
		2	1


		x 7

		0
	x	x (0;+ )	.
	x		.
0	7

Ответ:

Пример

x (0;7 .

85. Решите неравенство

log	1
	1
	2

x log	1
	1
	2

Решение.

log 1 x log1 7

т.к. 12 1, то x 7

ООФ:

x 0

x (0;+ ).

	x
0	7

Ответ:	x 7;+ )	.

Пример 86. Решите неравенство

Решение.

log					2	x 3
					2
log2 x 3 1
log	2		x 3log						2	2
	2								2
log				x log						3
log		2		x log			2		2
		2					2
log			2	x log				2	8
			2					2
т.к.				2 1, то

x 8

	x
0	8

Ответ:	x (8;+ )	.

Пример 87. Решите неравенство

Решение.

	log			1	x	−2
				1
				2
log			1	x −2 1
			1
			2
log		x −2 log							1
log	1	x −2 log						1	2
	1							1
	2							2
	2							2
log1		x log					1	−2
log1		x log				1
							2
	2					2	2
log 1 x log1 4

		2					2

log	2	x 3	.

ООФ: x 0

x 0

x (0;+ )	.

log1	x −2 .
2

ООФ:

x 0

x (0;+ ).

т.к.	1	1	, то
	2	1


	x 4
				x
0	4
Ответ:	x (0;4)			.
Ответ:				.
Пример 88. Решите неравенство					log	(x −2) 1
Пример 88. Решите неравенство					3	.
Решение.
log3 (x −2) 1						ООФ:
log3 (x −2) log3 3						x − 2 0
log3 (x −2) log3 3						x 2
т.к.	3 1, то					x 2
т.к.	3 1, то
x − 2 3
x 3 + 2
	x 5					2
						2
						x (2;+ )	.
							.

	x
2	5

Ответ:					x	(2;5			.
Ответ:									.
Пример 89. Решите неравенство log1 (5x + 3) 0 .

											4
Решение.
log			1	(5x + 3) 0								ООФ:
			1									ООФ:
			4									5x + 3 0
			4
log	1	(5x + 3) log 1										5x −3
										1		5x −3
										1
	4									4
					1							x −	3
	т.к.				1	1	, то
													5
					4


												x −0.6
		5x + 3						1				x −0.6
		5x + 3						1
		5x 1 − 3
				5x −2

	x −	2
	x −	5
		5
	x −0.4
		x
– 0.6	– 0.4

– 0.6

x (−0.6;+ )	.

Ответ:	x (−0.4;+ )	.

Пример 90. Решите неравенство

Решение.

log	(2x +3) log	(x +1)
2	2
	т.к. 2 1, то
	2x + 3 x +1
	2x − x 1 − 3
	x −2

– 2 – 1

log	(2x +3) log	(x +1)	.
2	2		.

ООФ:

2x + 3 0	x +1 0
2x −3	x −1

	x −	3
	x −	2
		2
	x −1.5
		x
– 1.5	– 1

x (−1;+ ).

Ответ:	x (−1;+ )							.
Ответ:								.
Пример 91. Решите неравенство log													2	x2	2 .
													2
Решение.
		log				2	x2 2
						2
	log		x		2		2 log					2
	log	2	x				2 log				2	2
		2									2
	log			x		2	log			2		2
	log		2	x			log		2	2
			2						2

log2 x2 log2 4

т.к. 2 1, то x2 4

ООФ:

x	2	0
	2

x 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]