Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Ч. 2. Логарифмическая функция. Практикум для СПО

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Решение.

log	1=
15

Свойство 4.

log

= c log

Пусть

log

)

= b

c log b

log b c

Пример 20. Вычислить

log

Решение.

log

8 = log

b	c

= 3

cloga

log2 2

b= loga

=3 1=

b	c

3	.

log		b	c
	a

= c log	a

Пример 21. Вычислить

Решение.

log5 25

log	5	25	.

= log5 52 = 2 log5 5 = 2 1= 2 .

Пример 22. Вычислить	log	3	729	.

Решение.

log3 729 = log3 36 = 6 log3 3 = 6 1= 6.

Свойство 5. logad b = d1 loga b

Пример 23. Вычислить	log	8	2

Решение.

log8 2 = log23

2 = 13 log2 2 = 13 1 = 13 .

Пример 24. Вычислить log125 25.

Решение.

log	25 = log			5	2
log	25 = log		3	5
125		5	3
		5

2	log		5 =
3	log	5	5 =
		5

2	1	=
3

2 3

Пример 25. Вычислить

Решение.

log	4	8 =
	4

log	4	8	.

log			3
log	2	2	2
		2

=3 log2 2 =

3	1	=
2

3 2

Свойство 6.

log

b +log

c =log

(b c)

Пусть

log

=c a

log b

log

=b c a

log

b +log

c =log

(b c)

Пример 26. Вычислить

log

2+log

Решение.

log

2 +log

18 = log

(2 18)= log

36 = log

= 2

Пример 27. Вычислить

log

2+log

Решение.

b+log	c
a

log	6

=b c

6 = 2 1 = 2	.

log12 2+log12 6 =log12 (2

Пример 28. Вычислить					log 4	+log 16
Пример 28. Вычислить					8		8
Решение.
log	8	4 +log	16 = log	(4 16)= log			8	64
	8	8	8				8
						b
Свойство 7. loga b −loga					c = loga		.
Свойство 7. loga b −loga					c = loga		.
						c

6)=log12 12 =1.

= log	2	= 2 log	8 =
	8
8		8

2 1=

a	log	b
a	a
	a

Пусть

=b и a

log

=c a

log

b −log

c = log

log

: a

log

b−log

Пример 29. Вычислить

log

6 −log

Решение.

log2 6 −log

2 3 = log

= log

2 2

=1.

Пример 30. Вычислить log25 10 −log25 2.

Решение.

log25 10 −log25

2 = log25

= log

25 5 = log

5 =

log5 5 =

Пример 31. Вычислить

log

54 −log

Решение.

log3 54 −log3

2 = log

= log3 27 = log3 3

= 3 log3 3 = 3 1= 3.

log

= log

Свойство 8.

a .

log

Пусть

. Прологарифмируем обе части по основанию c:

1 2

log

= log

;

loga b logc a =logc b ;

log

b =

log

= log

log

Пример 32. Вычислить log7 25 . log7 5

Решение.

				log	7		25		= log						25 = log									5		2	= 2 log						5 = 2 1 = 2		.
					7																					2
				log				5					5									5										5
													5									5										5
						7
						7
Пример 33. Вычислить												log					6	5 + log						6	3		.
Пример 33. Вычислить																											.

																log			6	225
																			6
Решение.
log 5 + log 3									=	log					(5 3)					=		log 15							= log 15					= log
		6					6		=				6							=							6		= log 15					= log
		6					6						6														6
	log 225									log 225											log 225												225			2
	log 225									log 225											log 225														15
																																			15
			6											6												6
=	1	log 15 =							1	1 =					1		.
=		log 15 =								1 =							.
	2			15					2						2
	2								2						2
Свойство 9.				log				b =			1						.
				log		a		b =		log					a
						a
												b
												b
Свойство 9 является следствием свойства 8, то есть, если
											log						b =			log			b		b		=		1			.
											log						b =										=

																a				log					a			log			a
																				log			b		a			log		b	a
																							b							b

Пример 34. Вычислить log3 2 log2 3.

Решение.

log3 2 log2 3 = log3 2	1	=	log3 2	=1.
	log3 2		log3 2

15 =

c = b , то

Свойство 10. log10 b = lg b (десятичный логарифм числа b).

Пример 35. Вычислить	lg10	.

Решение.

lg10 =1 (по свойству 1).

Пример 36. Вычислить lg1.

Решение.

lg1= 0

(по свойству 2).

Пример 37. Вычислить

lg1000

Решение.

lg1000 = lg10	3

=3 lg10

=3 1=

Пример 38. Вычислить log7 200 − log7 2 . log7 5 + log7 2

Решение.

log

200

log7

200 −log7 2

log7 100

= log

100 = lg100 = lg10

(5 2)

log

5 + log

log

= 2 lg10 = 2 1 = 2.

Свойство 11.

log

b =ln b

(«натуральный логарифм числа b»).

Пример 39. Вычислить ln e .

Решение.

ln e =1 (по свойству 1).

Пример 40. Вычислить

Решение.

ln1 = 0 (по свойству 2).

Пример 41. Вычислить

Решение.

ln e

ln e	4

4	.

= 4 ln e

= 4 1=

Для вычисления отличного от десятичного или натурального логарифмов на инженерном калькуляторе используется свойство 8, то есть

					log			b =		lg b	или log							b =			ln b	.
					log		a	b =	lg a		или log						a	b =			ln a	.
							a										a

В математических программах, например, Excel, Mathcad, Photomath и
других loga b можно найти без преобразований.
Пример 42. Вычислить								log	5	a +log					b	, если ab = 625.
Пример 42. Вычислить									5				5			, если ab = 625.
Решение.
log		a + log		b = log		(a b)			= log				625 = log								4					5 = 4 1= 4
log	5	a + log	5	b = log		(a b)			= log			5	625 = log							5	5 = 4 log				5	5 = 4 1= 4	.
	5		5	5								5								5					5		.
Пример 43. Вычислить log1 a + log1															b , если					ab =		1	.
Пример 43. Вычислить log1 a + log1															b , если					ab =		8	.

									2					2
									2					2
Решение.
log1 a + log1 b = log1 (a b)										= log1			1		= log				1		3	3 log1		1		= 3 1 = 3 .
																		1			=
																		1			=
													8						2					2
		2		2		2						2	8					2	2				2	2

Пример 44. Вычислить

Решение.

lg a

lg b

, если

=1000000

lg a + lg b = lg(a b)= lg1000000 = lg10	6

= 6 lg10

6 1=

Пример 45. Вычислить

Решение.

log	2

a −log	2

, если

a b

	=	1
	=	16
		16

log2

a −log2 b = log2

= log2

= log

−4

= −4

log2

2 = −4 1 = −4.

Пример 46. Вычислить log1	a − log1
5	5
Решение.

log1	a −log1	b = log1	a	= log1	1


			b		25
5	5	5		5

	b, если	a
	b, если	b
		b

= log1	1	2

	5

5

=251 .

=2 log1 15 = 2 1 = 2 .5

Пример 47. Вычислить

Решение.

lg a −lg

a −lg b =

b, если

a		=
lg
b

	a	=1.
	b	=1.
	b

lg1 =

Пример 48. Вычислить

Решение.

log	3	b
	3
log	3	a
	3

log	3

log	3

, если	log	a

b	= log		b =
a	= log	a	b =
		a

Пример 49. Вычислить

Решение.

log	9	b
	9
log	9	a
	9

log	9

log	9

, если

	b	= log
	a	= log
	a

log	a

a	b =

	b =	1
	b =	18
		18

	1	.
	18	.
	18

log

log b = 2

log

с =−4

Пример 50. Вычислить

, если

Решение.

log

= log

+ log

с = 2 log

+3 log

b + log

с =

= 2 1+3 2 + (− 4)= 2 + 6 − 4 = 4.

Пример 51. Вычислить

log

, если loga b

= −4

и loga с =3.

Решение.

log

= log

+ log

b −log

= log

+ log

−log

с2

= 4loga a + 12 loga b − 2loga с = 4 1+ 12 (− 4)− 2 3 = 4 − 2 −6 = −4.

Если на рис. 1.

3. ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

y =log	a	x,	a 1	, то график функции имеет вид, изображенный
	a			, то график функции имеет вид, изображенный

y = log	a	x ,	a 1
	a
			x

Рис. 1. График функции	y =log	a	x, a 1
Рис. 1. График функции

Анализ графика функции:

1. Область определения функции (область допустимых значений):

x (0;+ )

или

D(x) (0;+ )

Множество значений функции

y R

или

E(x) (− ;+ )

Функция возрастает при

x (0;+ )

Функция общего вида.

5. Ограниченность функции слева x = 0 .

При

y 0 x (1;+ ), при

y 0

x (0;1)

, при y = 0 x =1.

Наибольшее и наименьшее значения функции не существуют.

Если

y =log

x, a (0;1)

, то график функции имеет вид,

изображенный

на рис. 2.

1 x

y = log	a	x ,	a (0;1)
	a

Рис. 2. График функции y =loga x, a (0;1)

Анализ графика функции:

1. Область определения функции (область допустимых значений):

	x (0;+ )		или	D(x) (0;+ )	.

2. Множество значений функции y R или E(x) (− ;+ ).
3.	Функция убывает при	x (0;+ )		.

4.	Функция общего вида.
5.	Ограниченность функции слева			x = 0 .
6.	При y 0 x (0;1), при y 0		x (1;+ ), при y = 0 x =1.
7.	Наибольшее и наименьшее значения функции не существуют.

Пример 52. Построить график функции	y =log	2	x	.

Решение. Построим таблицу значений:

	x	1			2	4	8	1	1
	x	1			2	4	8	2	4
								2	4
	y	0			1	2	3	–1	–2
График функции	y =log		2	x	на рис. 3.
График функции			2		на рис. 3.
	y
								y (x ) = log		2	x
										2
	3
	2
	1								x
									x
	0
	–1
	–2
	Рис. 3. График функции y =log2 x

Пример 53. Построить график функции y = log1 x .

Решение. Построим таблицу значений:

1 2

2 4 8

–1 –2 –3

График функции

y = log	1	x
	1
	2

на рис. 3.

2
1
–1	x
–1
–2	= log
	= log
–3

Рис. 3. График функции y = log1 x

1	x
1
2

Пример 54. Определить возрастает или убывает график функции

y =log4.8 x .

Решение.

Пример

= 4.8

55.

1 график функции	y

Определить возрастает

=log

или

4.8	x	возрастает.

убывает график функции

log	0.7	x	.

Решение.

a = 0.7 (0;1)					=log0.7 x убывает.
график функции y
Пример 56. Сравнить числа	log 5		и	log 6	.
	4			4
Решение.
log4 5		log4 6.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]