Корреляционный анализ в системах управления. Учебное пособие

№ 3902 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизации

Г.Г. Шапкарина

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

УДК 519.2(075) Ш23

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. И.В. Баранникова

Шапкарина Г.Г.

Ш23 Корреляционный анализ в системах управления : учеб. пособие / Г.Г. Шапкарина. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2020. – 72 с.

В учебном пособии представлены методы корреляционного анализа, используемые при исследовании и построении систем управления для решения задач обработки экспериментальных данных, полученных при исследовании элементов систем управления, и определения статистических характеристик случайных процессов, действующих в исследуемой системе управления. Рассматриваются вопросы обработки экспериментальных данных и методы описания случайных процессов.

Предназначено для обучающихся в магистратуре по направлениям подготовки 15.04.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» и 27.04.04 «Управление в технических системах».

УДК 519.2(075)

Г.Г. Шапкарина, 2020

НИТУ «МИСиС», 2020

3

ВВЕДЕНИЕ

Источником опытной и научной деятельности является наблюдение, которое в широком смысле слова можно разделить на два основных типа. Первый тип – это сведения о поведении какой-либо совокупности большого числа однородных объектов, а второй – информация о свойстве отдельного объекта в течение продолжительного промежутка времени.

Проблема, связанная с любым наблюдением и экспериментом, заключается в том, что значение какой-либо характеристики исследуемого явления технического процесса абсолютно точно определить невозможно. В результате многократных измерений характеристик процесса экспериментатор получает множество значений.

Изучение всех значений характеристик исследуемого процесса, полученных в ходе эксперимента, тесно связано с использованием различных наук, в особенности математики и статистики. Это обусловлено тем, что статистически-математические методы представляют собой обширный комплекс различных методов и приемов, позволяющих проводить детальный и всесторонний анализ первичной информации об исследуемом объекте, конечной целью которого является получение математического описания исследуемого процесса.

При исследовании технических процессов и создании их математического описания не представляется возможным проследить все связи между исследуемыми параметрами, поэтому ограничиваются изучением влияния лишь основных факторов, определяющих изучаемое явление. В основе выявления основных характеристик исследуемого процесса лежит наблюдение, при этом для обнаружения общих закономерностей, которым подчиняется исследуемое явление, необходимо проводить многократное наблюдение, осуществляемое в одинаковых условиях.

Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, можно сделать на основании результатов исследований, базирующихся на законах теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.

4

1. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ, ПОЛУЧЕННЫХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Основы первичной обработки экспериментальных данных

Экспериментальные данные – это результаты измерения некоторых признаков объектов, выбранных из большой совокупности объектов.

Выборочное наблюдение – это вид статистического наблюдения, при котором обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных в строго определенном порядке на основе научно разработанных принципов, обеспечивающих получение достаточного количества достоверных данных, для того чтобы охарактеризовать всю совокупность в целом.

Генеральная совокупность – совокупность всех возможных социальных объектов, которые подлежат изучению в пределах объекта исследования.

Выборочная совокупность – часть генеральной совокупности, отобранная с помощью специальных приемов для получения информации обо всей совокупности исследуемого объекта.

Репрезентативностью называется свойство выборки отражать характеристики генеральной совокупности. Репрезентативность выборки означает, что средние и относительные показатели, полученные на основе выборочных данных, должны достаточно полно воспроизводить соответствующие показатели совокупности в целом.

Сплошными исследованиями называются исследования, в которых участвуют все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность. Можно использовать выборочный метод, суть которого заключается в том, что для обследования берется часть генеральной совокупности (выборка), но по результатам этого обследования судят о свойствах всей генеральной совокупности.

5

Если выборка правильно отражает соотношения между элементами в генеральной совокупности, то ее называют репрезентативной (представительной). Например, результаты социологического опроса населения будут зависеть от того, в каком месте он проводится, среди каких групп населения.

В табл. 1.1 представлены характеристики генеральной и выборочной совокупности.

Таблица 1.1

Основные характеристики генеральной и выборочной совокупности

Вариационный ряд, полигон частот и гистограмма, эмпирическая функция распределения

Выборку преобразуют в вариационный ряд, располагая результаты наблюдений в порядке возрастания их значений. Каждый член вариационного ряда называется вариантой.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример 1.1

Для ранжированного ряда 23 23 24 24 25 25 25 27 28 в табл. 1.2 в первой строке приведены все значения величины (варианты), во второй – соответствующие им частоты (безынтервальный вариационный ряд), в третьей – накопленные частоты, в четвертой – относительные частоты. Построить полигон и кумуляту.

6

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (Xi,N i) (рис. 1.1).

Отметим, что сумма частот статистического ряда равна объему выборки. Часто статистический ряд составляют, используя относительные частоты вариант:

hi = nni , i =1, 2, ..., m, где m – количество различных вариант.

Сумма относительных частот равна единице.

Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (Xi, N i) .

Рис. 1.1. Полигон частот (а), кумулятивная кривая (б)

Эмпирическим аналогом графика интегральной функции распределения является кумулятивная кривая (кумулята). Для ее построения на оси ОХ откладывают значения вариант, на оси ОY – накопленные частоты или относительные частоты. Полученная плавная кривая и представляет собой кумуляту.

7

В том случае, если выборка представлена большим количеством различных значений непрерывной случайной величины, группировку данных проводят в виде интервального вариационного ряда (ИВР). Для этого диапазон варьирования признака разбивают на несколько (5–10) равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый интервал.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда

1. Исходя из объема выборки (N) определить количество интервалов (K) (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Рекомендуемое соотношение «объем выборки – число интервалов»

2.Вычислить размах ряда R = Xmax −Xmin .

3.Определить ширину интервала h = kR−1 .

4.Найти начало первого интервала X(t) = Xmin − h2 .

5.Составить интервальный вариационный ряд. Графическим изображением интервального вариационного

ряда является гистограмма. Для ее построения на оси ОХ откладывают интервалы шириной h, на каждом интервале строят пря-

моугольник высотой M . Величина M называется плотностью частоты. h h

Гистограмма является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения.

Пример 1.2

В результате измерений получены значения параметра от 60 до 90 единиц. Построить интервальный вариационный ряд (табл. 1.4) и гистограмму (рис. 1.2).

8

Рис. 1.2. Гистограмма

Эмпирическая функция распределения (отношение накопленных частот к объему выборки) определяется по следующей формуле:

9

Статистическое оценивание. Оценка параметров генеральной совокупности. Точечная оценка и ее свойства

Числовые характеристики генеральной совокупности называются параметрами генеральной совокупности.

Оценка параметра – соответствующая числовая характеристика, рассчитанная по выборке. Если оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой.

Например, среднее арифметическое выборочных значений служит оценкой математического ожидания. Выборочные значения случайны, поэтому оценки можно рассматривать как случайные величины.

«Желаемые» свойства оценки:

––несмещенность;

––состоятельность;

––эффективность.

Пример 1.3

1. Вычислить среднее значение варианты (фактора), приведенного в табл. 1.2:

X = 24 +22+23+28 +24 +23+25+27 +25 +25 =24,6 . 10

2. Если выборочное среднее вычисляется по вариационному ряду, то находят сумму произведений вариант на соответствующие частоты и делят на количество элементов в выборке:

10