Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Корреляционный анализ в системах управления. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

738 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

R (t ,t ) = De−a(t1 −t2 ) [1+a(t −t )];
x	1		2	1	2
∂		R (t ,t ) = − Da2e−a(t1 −t2 ) (t			−t );
∂t		R (t ,t ) = − Da2e−a(t1 −t2 ) (t			−t );
∂t		x	1 2	1	2
1
∂2			R (t ,t ) = Da2e−a(t1	−t2 ) [1−a(t		−t )].
∂t	∂t		R (t ,t ) = Da2e−a(t1	−t2 ) [1−a(t		−t )].
∂t	∂t		x 1 2		1	2
1	2

При t2 > t1 имеем:

Rx (t1,t2 ) = De−a(t2 −t1) [1+a(t2 −t1)];

∂∂t1 Rx (t1,t2 ) = Da2e−a(t2 −t1) (t2 −t1);

∂t∂1∂2t2 Rx (t1,t2 ) = Da2e−a(t2 −t1) [1−a(t2 −t1)].

Объединяя выражения, полученные в обоих случаях, в одно, справедливое при всех t1 и t2, находим, что

Rz (t1,t2 ) = Da2e−a|t1 −t2| [1−a(t1 −t2 )], откуда при t1 = t2 получим дисперсию Dz(t) = Da2.

Пример 2.2

Найти mz(t), Rz(t1, t2) и Dz(t) производной случайной функции X(t), если

mx (t) =a t2 , Rx (t1,t2 ) = De−a|t1 −t2|. Математическое ожидание

mz(t) = 2at.

Решение

При t1 > t2 и Rx (t1,t2 ) = De−a(t1 −t2 )

∂∂t1 Rx (t1,t2 ) = − Dae−a(t1 −t2 );

∂t∂1∂2t2 Rx (t1,t2 ) = Da2e−a(t1 −t2 ). При t2 > t1 и Rx (t1,t2 ) = De−a(t2 −t1)

∂∂t1 Rx (t1,t2 ) = Dae−a(t2 −t1); ∂t∂1∂2t2 Rx (t1,t2 ) = −Da2e−a(t2 −t1).

Объединение двух полученных выражений в одно невозможно. Следовательно, корреляционная функция Rx(t1, t2) не имеет смешанной второй производной при t1 = t2. Это означает, что случайная функция не дифференцируема.

Пример 2.3

Найти mz(t), Rz(t1, t2) и Dz(t) интеграла случайной функции

Z(t) = ∫X(u)du , если X(t) имеет те же характеристики, что и

в примере 2.1.

(t) =

a t3

Математическое

ожидание

Корреляционная

t1 t2

функция Rz(t1,t2) = D∫∫e−a|u1 −u2|du1du2.

0 0

Решение

При t2 > t1

∫e−a(u1 −u2 )du2 = ∫e−a(u1 −u2 )du2 + ∫e−a(u2−u1)du2 =

−a(u −u

)

a(u −u

)

−

−au

−a(t −u )

2−e

−

(2−e

1 −e

2 1

∫a

−au

−a(t −u )

2u1

1 −

2 1

(2at1 −1+e−at1 +e−at2 −e−a(t2 −t1) );

Rz (t1,t2 ) =

(2at1 −1+e−at1 +e−at2 −e−a(t2 −t1) ).

−a|τ| .

При t1 > t2 аналогично получаем

Rz (t1,t2 ) = aD2 (2at2 −1+e−at1 +e−at2 −e−a(t1 −t2 ) ).

Объединение выражений в обоих случаях в одно, справедливое при всех t1 и t2, дает

Rz (t1,t2 ) = aD2 (2amin(t1,t2 ) −1+e−at1 +e−at2 −e−a|t1 −t2| ). На основании этого при t1 = t2 = t находим дисперсию:

Dx = Rx (0) −(x)2.

Пример 2.4

Найти Rz(t1, t2) и Dz(t) производной центрированной стационарной случайной функции X(t), имеющей корреляционную функцию Rx (τ) = Dxe−aτ2 .

Решение

Получив

dτRx (τ) = −2aτDxe−aτ2 ; d

ddτ22 Rx (τ) = −2aτDxe−aτ2 (2aτ2 −1),

найдем

Rz (τ) = −ddτ22 Rx (τ) =2aDxe−aτ2 (1−2aτ2 );

Dz =2aDx.

Производная является стационарной случайной функцией.

Пример 2.5

Найти Rz(t1, t2) интеграла центрированной стационарной случайной функции X(t), имеющей корреляционную функцию

Rx (τ) = Dxe Решение

После подстановки τ = t1 – t2 видим, что эта задача аналогична задаче, которая была решена в примере 2.2, т.е. интеграл является нестационарной случайной функцией.

Пример 2.6

Требуется выяснить, дифференцируема ли случайная функ-

ция X(t), если ее корреляционная функция
		D (1−a		\| τ\|)		при \| τ\|≤	1	;
		D (1−a		\| τ\|)		при \| τ\|≤		;
			x				a
							a
Rx (τ) =							1
			0			при \| τ\|>	1		.
			0			при \| τ\|>	a		.
							a
Решение
Дифференцируем kx(τ) по τ:
	d	R	(τ) = −D a			при τ≥0;
	dτ	R	(τ) = −D a			при τ≥0;
	dτ	x		x
	d	R	(τ) = D a		при τ≤0.
	dτ	R	(τ) = D a		при τ≤0.
	dτ	x	x

Невозможность объединения двух полученных выражений производной в одно, справедливое при любых значениях τ, свидетельствует о том, что функция X(t) не дифференцируема.

Следовательно, заданная корреляционная функция может служить корреляционной функцией стационарной случайной функции.

Пример 2.7

Даны два случайных процесса:

X(t) =Ucost +V sint;

Y(t) =Ucost −V sint,

в которых случайные величины U и V независимые и имеют равные дисперсии:

D(U) = D(V) = D.

Требуется найти взаимную корреляционную функцию этих процессов.

Решение

Так как M(X) = M(U)cost +M(V)sint , то

0 0 0

X(t) =Ucost +V sint −M(U)cost −M(V)sint =Ucost +V sint.

Аналогично,

	0	0		0
	Y(t) =Ucost −V sint.
Тогда
			0	0
RXY (t1,t2 ) = M[X(t1)Y(t2 )] =
0	0		0		0
= M[(Ucost1 +V sint1)(Ucost2					−V sint2 )]		=
		0			0	0
=cost cost M(U2 ) +sint cost M(V U) −
1	2			1	2
		0	0			0
−cost sint M(UV) −sint sint M(V2 ).
1	2			1	2
Величины U и V независимы, а значит, и не коррелированы.
	0	0	=0 .
Поэтому cov(U,V) = M(UV)			=0 .
	0					0
С учетом того, что	M(U2 ) = D(U) = D,				а M(V2 ) = D(V) = D, по-

лучаем

RXY (t1,t2 ) = D(cost1 cost2 −sint 1 sint2 ) = Dcos(t1 +t2).

Ответ: RXY (t1,t2 ) = Dcos(t1 +t2).

3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

3.1. Задания к разделу «Методы обработки экспериментальных данных, полученных

при исследовании элементов систем управления»

3.1.1. Первичная обработка экспериментальных данных

Задание 3.1. Интенсивность нагрузки, поступающей на АТС с 10 до 11 часов, измеренная в течение n = 50 рабочих дней приведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Интенсивность поступающей на АТС нагрузки (по вариантам)

Вариант 1

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10
ni	347	367	338	355		360	337	378	376	341	361
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20
ni	356	372	369	351		383	342	380	352	344	359
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30
ni	350	378	368	355		361	373	343	367	342	350
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40
ni	373	381	358	363		346	343	329	381	353	349
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50
ni	329	368	369	368		351	348	380	366	357	302
					Вариант 2
i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10
ni	330	221	270	296		288	344	247	302	232	339
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20
ni	324	360	347	333		272	307	324	305	348	345
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30
ni	261	300	323	278		283	264	229	291	300	287
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40
ni	315	322	350	226		401	341	297	282	312	234
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50
ni	330	300	267	280		254	280	347	294	337	336

Продолжение табл. 3.1

Вариант 3

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	442	382	378	368		390	376	400	412	418	413
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20
ni	411	394	407	406		358	368	391	352	402	383
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30

ni	436	378	418	435		401	411	392	403	410	404
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	406	381	397	385		420	380	392	400	423	388
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	439	416	459	430		387	408	377	387	424	413
					Вариант 4

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	348	344	329	367		357	302	349	357	388	356
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	344	337	338	324		419	334	332	293	336	359
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30

ni	308	358	423	370		359	390	435	380	372	370
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	353	337	393	347		377	393	341	362	348	369
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	348	344	329	367		388	357	302	349	357	356
					Вариант 5

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	361	380	401	368		402	408	374	385	419	405
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	316	303	353	345		330	370	380	329	325	306
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30

ni	326	303	318	357		388	318	368	385	382	397
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	368	336	372	359		318	382	353	356	365	343
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	397	347	327	393		356	326	373	315	325	321

Продолжение табл. 3.1

Вариант 6

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	419	429	431	418		472	448	453	432	437	389
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	412	423	384	431		450	437	421	451	450	451
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30

ni	381	444	407	403		433	410	410	405	411	435
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40
ni	425	409	445	408		421	438	395	412	444	437
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	409	434	470	426		415	422	435	426	480	405
					Вариант 7

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	479	452	398	427		477	440	437	485	512	456
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	456	445	492	448		421	456	426	514	409	461
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30
ni	481	456	479	512		435	448	457	435	407	503
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	478	444	454	469		441	463	449	445	487	459
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	468	429	514	446		437	453	504	436	430	462
					Вариант 8

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	348	324	347	343		297	320	328	362	317	377
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	360	340	310	366		325	323	325	306	313	349
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30
ni	305	308	318	307		373	364	351	340	324	339
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	315	287	260	307		290	295	317	305	295	306
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	300	277	320	316		311	267	258	267	260	316

Окончание табл. 3.1

Вариант 9

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	315	287	260	307		290	295	317	305	295	306
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	306	294	304	295		317	251	272	295	256	282
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30

ni	292	273	309	279		307	265	252	253	287	275
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40
ni	281	286	304	284		268	251	310	306	261	270
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	300	277	320	316		311	267	258	267	260	316
					Вариант 10

i	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10

ni	428	463	460	405		459	427	459	434	452	444
i	11	12	13	14		15	16	17	18	19	20

ni	446	437	453	449		447	432	440	433	432	422
i	21	22	23	24		25	26	27	28	29	30
ni	427	405	443	466		434	470	473	444	428	423
i	31	32	33	34		35	36	37	38	39	40

ni	425	405	460	474		425	438	452	481	428	440
i	41	42	43	44		45	46	47	48	49	50

ni	426	422	473	454		445	448	457	446	405	439

Для варианта, который указан преподавателем, найти выборочные значения математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, построить сгруппированный статистический ряд и гистограмму. Количество интервалов для статистического ряда определить по формуле Стерджеса.

Задание 3.2. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения по следующим исходным данным:

i	1	2	3	4	5	6

xi	51	43	56	60	64	56

Оценить вероятность того, что исследуемый параметр не превышает значения 58.

Задание 3.3. Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения для данных, полученных в результате эксперимента:

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

Оценить по эмпирической функции распределения медиану.

Задание 3.4. Через каждый час измерялось напряжение в электросети. При этом были получены следующие значения (в вольтах):

227, 219, 215, 230, 232, 223, 220, 222, 218, 219, 222, 221, 227, 226, 226, 209, 211, 215, 218, 220, 216, 220, 221, 225, 224, 212, 217, 219, 220.

Построить гистограмму, полигон частот, эмпирическую функцию распределения; оценить вероятность того, что напряжение не превосходит 220 В.

3.1.2. Обработка экспериментальных данных методами регрессионного анализа

Задание 3.5. В каждом варианте исходных данных, приведенных в табл. 3.2, необходимых для расчета уравнения регрессии, приведены результаты серии независимых равноточных экспериментов по изучению зависимости одной величины (Y) от другой (Х). Для каждого значения аргумента х i значение функции Yij определено по результатам испытаний нескольких ni образцов. Разброс значений функции при одном и том же значении аргумента объясняется наличием случайных ошибок измерения или влиянием посторонних факторов, не учитываемых в данном исследовании.

С использованием приведенных исходных данных требуется выполнить следующие действия:

1)построить линейную и квадратичную регрессионные модели;

2)проверить адекватность регрессионных моделей в предположении о нормальном

3)распределении результатов эксперимента;

4)принять решение о выборе модели регрессии или о продолжении исследований;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]