Корреляционный анализ в системах управления. Учебное пособие

X = 1 ∑m n x .

ni=1 i i

3.В том случае, когда статистические данные представлены

ввиде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего в качестве значений вариант принимают середины интервалов.

Часто при решении практических задач необходимо определить характеристики, которыми являются мода и медиана.

В математической статистике мода Мо определяется по выборке, как варианта с наибольшей частотой.

Медианой называется варианта, расположенная в центре ранжированного ряда. Если ряд состоит из четного числа вариант, то медианой считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжированного ряда.

Пример 1.4

Найти моду и медиану выборочной совокупности по данным, приведенным в примере 1.1.

Ответ: Мо = 24; Ме = 24.

Перечень основных числовых характеристик выборочной совокупности, используемых при экспериментальном исследовании данных

1.Размах вариационного ряда R = Xmax −Xmin . Этот показатель является наиболее простой характеристикой рассеяния и показывает диапазон варьирования величины. Этой характеристикой пользуются при работе с малыми выборками.

2.Выборочное среднее находится как взвешенное среднее арифметическое

которое характеризует среднее значение признака X в пределах рассматриваемой выборки.

3. Выборочная дисперсия определяется по формуле

11

и является мерой рассеяния возможных значений показателя X вокруг своего среднего значения; ее размерность совпадает с квадратом размерности варианты.

4. Выборочное среднее квадратическое отклонение

sB (X) =D B описывает абсолютный разброс значений показателя X. Его размерность совпадает с размерностью варианты.

5. «Исправленная» дисперсия (вычисляемая при малых N,

относительную изменчивость показателя X, т.е. относительный разброс вокруг его среднего значения xB . Коэффициент вариации является безразмерной величиной, поэтому он пригоден для сравнения рассеяния вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

Пример 1.5

Измерены два признака для одного элемента (например, длина и масса исследуемого образца). Получены следующие показатели: Х = 130 ед. дл., SХ = 5 ед, дл.; Y = 32 ед.. масс.; SY = 4 ед. масс. Какой показатель имеет большую вариативность?

Решение

Так как оба признака измеряются в разных единицах, то вариативность нельзя сравнить с помощью среднеквадратического отклонения (СКО). Необходимо вычислить относительный показатель вариации для каждого признака:

Таким образом, признак Y имеет большую вариативность, чем признак X.

12

Оценка параметров с помощью интервалов Оценка параметров с помощью интервалов заключает-

ся в определении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными доверительными вероятностями находятся истинные значения оцениваемых параметров. Интервальная оценка определяется двумя числами – концами интервала.

Доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

Пример 1.6

Путем измерений получены несколько блоков данных (N = 80), приведенных ниже:

Требуется выполнить следующие задания.

1.Получить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки.

2.Построить полигон частот.

3.Составить ряд распределения относительных частот.

4.Составить эмпирическую функцию распределения.

5.Построить график эмпирической функции распределения.

6.Найти основные числовые характеристики вариационного ряда (по возможности использовать упрощающие формулы):

а) выборочное среднее xB ;

б) выборочную дисперсию D(X);

в) выборочное среднее квадратическое отклонение s(X); г) коэффициент вариации V.

Решение

1.Для составления дискретного вариационного ряда отсортируем данные измерений по величине и расположим их в порядке возрастания:

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7.

13

Статистическое распределение выборки представлено в табл. 1.5, в которой первая строка – варианты (наблюдаемые значение), вторая строка – частоты появления этих вариант.

2. Для построения полигона частот найдем относительные ча-

n

стоты wi = ni

ка X ( m ≤n ), и в данном примере M = 8), которые будем вычислять с одинаковой точностью.

Часто на практике для приближения теоретической функции распределения используют график накопленных частот и эмпирическую функцию распределения.

Графиком накопленных частот называется фигура, строящаяся аналогично гистограмме с той разницей, что для расчета высот прямоугольников берутся не простые, а накопленные от-

nн

носительные частоты, т.е. ni =wiн. Эти величины не убывают, и

таким образом график накопленных частот имеет вид ступенчатой «лестницы» (от 0 до 1).

Полигон частот – ломаная линия, соединяющая точки с координатами (xi,wi ) , представленная на рис. 1.3. Расчеты запишем в табл. 1.6.

14

Рис. 1.3. Полигон частот вариационного ряда

3. Запишем ряд распределения (табл. 1.6) относительных частот в виде табл. 1.7, в которой первая строка – варианты (изучаемый признак), вторая строка – относительные частоты (частости).

Таблица 1.7

Распределение относительных частот появления признака

15

4. Эмпирическую функцию распределения найдем, используя накопленные частоты (табл. 1.7):

5. Построим график эмпирической функции распределения (рис. 1.4), используя значения, полученные в п. 4).

Рис. 1.4. График эмпирической функции распределения

6. Для вычисления выборочного среднего xB и выборочной дисперсии DB с использованием приведенных выше формул целесообразно составить табл. 1.8.

Используя суммы, представленные в табл. 1.8, определяем искомые величины:

а) выборочную среднюю

16

б) выборочную дисперсию

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

––величина xВ ≈2,86 характеризует среднее значение признака X;

––среднее квадратическое отклонение sB (X) описывает абсолютный разброс значений показателя X относительно среднего значения и в данном случае составляет sB (X) ≈1,55 ;

––коэффициент вариации V характеризует относительную изменчивость показателя X, т.е. относительный разброс вокруг его среднего значения x B , и в данном случае составляет V ≈54,2 %.

Ответ: x B ≈2,86 ; DB ≈2,39 ; sB (X) ≈1,55 ; V ≈54,2 %.

17

Пример 1.7

Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения по результатам наблюдений (табл. 1.9).

Решение

Построим вариационный ряд, упорядочив по возрастанию значения варианты, приведенные в табл. 1.10.

Строим график эмпирической функции (рис. 1.5).

Рис. 1.5. График эмпирической функции распределения

18

Пример 1.8

Имеются результаты регистрации значений затухания сигнала xi на частоте 1000 Гц коммутируемого канала телефонной сети. Эти значения, измеренные в децибелах (дБ), в виде вариационного ряда представлены в табл. 1.11. Необходимо построить статистический ряд.

Таблица 1.11

Результаты наблюдений для примера 1.8

Решение

Количество разрядов статистического ряда q следует выбрать минимальным, чтобы обеспечить достаточное количество попаданий в каждый из них; возьмем q = 6. Определим размер разряда:

19

На основе статистического ряда построим гистограмму (рис. 1.6), и график эмпирической функции распределения (рис. 1.7).

Рис. 1.6. Гистограмма, полученная по экспериментальным данным

Рис. 1.7. График эмпирической функции распределения полученный по экспериментальным данным

Рассмотренные примеры представления экспериментальных данных являются исходными для последующей обработки и вычисления различных параметров.

20