Корреляционный анализ в системах управления. Учебное пособие

данию соответствующего сечения случайного процесса X(tk) и представляет собой операцию вероятностного усреднения случайной величины X(tk), при котором каждое возможное значение случайной величины х принимается с весом, равным элементу вероятности w1(x,tk )dx . Математическое ожидание называют

средним значением случайного процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим средним), поскольку оно представляет собой вероятностно усредненное значение бесконечного множества реализаций случайного процесса.

Средним значением квадрата случайного процесса называют величину

∞

x2 (t) = M[{X(t)}2 ] = ∫ x2w1(x,t)dx.

−∞

Иногда рассматривают так называемый центрированный слу-

0

чайный процесс X(t) , под которым понимают отклонение случайного процесса X(t) от его среднего значения mx(t), или

0

X(t) = X(t) −mx (t).

В этом случае случайный процесс X(t) можно рассматривать как сумму двух составляющих – регулярной составляющей, рав-

ной математическому ожиданию mx (t) , и центрированной слу-

0

чайной составляющей X(t) :

0

X(t) =mx (t) +X(t).

Очевидно, что математическое ожидание центрированного случайного процесса равно нулю.

Для того чтобы каким-либо образом учесть степень разбросанности реализации случайного процесса относительно его среднего значения, вводят понятие дисперсии случайного процесса, которая равна математическому ожиданию квадрата центрированного случайного процесса:

41

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (регулярной) функцией времени Dx(t), значение которой в каждый момент времени tk равно дисперсии соответствующего сечения Х(tk) случайного процесса.

В теории случайных процессов показано, что математическое ожидание mx (t) , дисперсия Dx (t) и среднее значение квадрата x2 (t) случайного процесса, имеющие размерность квадрата случайной величины, связаны соотношением

x2 (t) = Dx (t) +mx2 (t).

Из этого выражения следует, что среднее значение квадрата случайного процесса x2 (t) в определенной мере учитывает и среднее значение случайного процесса, и степень рассеяния его реализации относительно этого среднего значения, поэтому оно широко используется в качестве оценки точности систем автоматического управления.

На практике часто бывает удобно пользоваться статистическими характеристиками случайного процесса, имеющими ту же размерность, что и сама случайная величина. К ним относят следующие характеристики:

––среднее квадратическое значение случайного процесса

из среднего значения квадрата случайного процесса;

––среднее квадратическое отклонение случайного процесса sx (t) =Dx (t),

равное арифметическому значению квадратного корня из дисперсии случайного процесса.

Из этих выражений следует, что среднее квадратическое значение и среднее квадратическое отклонение случайного процесса в общем случае не совпадают.

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хорошо видно на рис. 2.2, где показаны реализации двух случайных процес-

42

сов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих одинаковые значения математического ожидания и дисперсии. Штриховыми линиями показаны значения математического ожидания для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 2.2, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс, представленный на рис. 2.2, б, обладает значительной изменчивостью от сечения к сечению, поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого установить нельзя.

Рис 2.2. Определение математического ожидания по реализациям случайного процесса

43

Чтобы в какой-либо мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т.е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rx (t1 ,t2 ) , которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t1 и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X(t1) X(t2) соответствующих сечений случайного процесса:

∞ ∞

Rx(t1,t2) = M[X(t1)X(t2 )] = ∫ ∫ x1x2w2 (x1,t1;x2,t2 )dx1dx2,

−∞ −∞

где w2 (x1,t1;x2,t2 ) – двумерная плотность вероятности.

Часто пользуются иным выражением корреляционной функции, записанным не для самого случайного процесса, а для центрированной случайной составляющей. Корреляционную функцию в этом случае называют центрированной и определяют из соотношения

0 0 0

Rx(t1,t2) = M[X(t1) X(t2 )] =

∞ ∞

=∫ ∫{x1 −mx (t1)}{(x2 −mx (t)}w2 (x1,t1;x2,t2 )dx1dx2.

−∞ −∞

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс

X(t) , если его n-мерные функции распределения и плотность вероятности при любом п не зависят от положения начала отсчета времени t:

Fn (x1,t1;x2,t2...;xn,tn ) = Fn (x1,t1 +τ;x2,t2 +τ;...;xn,tn +τ);wn (x1,t1;x2,t2...;xn,tn ) =wn (x1,t1 +τ;x2,t2 +τ;...;xn,tn +τ).

44

Это означает, что два процесса, X(t) и X(t +τ) , имеют одинаковые статистические свойства для любого τ, т.е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс — это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс X(t) , математическое ожидание которого постоянно:

M[X(t)] =mx =const,

а корреляционная функция зависит только от одной переменной – разности аргументов τ=t1 −t2 :

∞ ∞

R x(τ) = Rx (t1,t2) = M[X(t1)X(t2 ) = ∫ ∫ x1x2w2 (x1,x2,τ)dx1dx2.

−∞ −∞

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно принимать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и не стационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают скольнибудь существенно измениться. Далее, если не будет оговорено особо, рассматриваются случайные процессы, стационарные в широком смысле.

45

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие среднего значения – это среднее значение по множеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализаций случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

∞

x(t) =mx(t) = M[X(t)] = ∫ xw1(x,i)dx.

−∞

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени.

Другое понятие среднего значения — это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение

Равенство (2.1) вытекает из эргодической теоремы, в соответствии с которой для некоторых стационарных случайных процессов доказано, что любая статистическая характеристика, полученная усреднением по множеству, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с характеристикой, усредненной по времени.

46

Использование принципа эргодичности позволяет существенно облегчить процесс определения статистических свойств исследуемого объекта, т.е. для определения статистических свойств эргодических стационарных процессов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за множеством подобных систем в произвольно выбранный момент времени, например при наличии одного опытного образца, его можно заменить длительным наблюдением за одной системой. Собственно говоря, этот факт лежит в основе экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации. Наоборот, при наличии большой партии изделий массовой продукции для аналогичных исследований можно провести одновременное наблюдение за всеми образцами партии или их достаточно представительной выборкой.

Корреляционная функция представляет собой среднее по множеству. В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения x(t) и x(t +τ) :

47

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию D x определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса:

Сравнивая выражения (2.2) и (2.3), можно заметить, что дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции:

Учитывая соотношение (2.4), можно установить связь между дисперсией и корреляционной функцией X(t) :

0

D x = Rx (0) = R x(0) −(x)2 =const.

Из выражений (2.5) и (2.6) следует, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее квадратическое отклонение:

sx =Dx =const.

Статистические свойства связи двух случайных процессов

X(t) и Y(t) можно характеризовать взаимной корреляционной функцией Rxy (t1 ,t2) , которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t1 , t2 определяется следующим образом:

∞ ∞

R xy(t1,t2 ) = M[X(t1)Y(t2 ) = ∫ ∫ x1y2w2 (x1,t1;y2,t2 )dxdy.

−∞ −∞

Согласно эргодической теореме, вместо выражения (2.1) можно применять уравнение

T

R xy(τ) = lim 1 ∫ x(t)y(t +τ)dt, (2.7)

T→∞ 2T −T

48

где x(t) и y(t) — любые реализации стационарных случайных процессов X(t) и Y(t) соответственно.

Взаимная корреляционная функция R xy(t1,t2 ) характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X(t) и Y(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени τ. Значение R xy(0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из выражения (2.7) следует, что

R xy(τ) = Ryx (−τ).

Если случайные процессы X(t) и Y(t) статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех τ равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Центрированная корреляционная функция для неслучайных функций времени тождественно равна нулю.

В том случае, когда говорят о корреляционной функции регулярной функции x(t) , то под этим понимают просто результат формального применения к регулярной функции x(t) операции, выражаемой интегралом (2.4).

Примеры линейных преобразований случайных функций приведены в табл. 2.1.

Следует напомнить, что реакция z(t) линейной системы на входное воздействие x(t) задается с помощью весовой функции x(t) в виде

∞

z(t) = ∫u(t −τ)W(τ)dτ.

0

Если входное воздействие представляет собой случайную функцию X(t), то реакция системы является случайной функцией Z(t), причем

49

∞

mz (t) = ∫mx (t −τ)W(τ)dτ;

0

∞ ∞

Rz (t1,t2 ) = ∫∫Rx (t1 −τ1,t2 −τ2 )W(τ1)W(τ2 )dτ1dτ2.

0 0

Пример 2.1

Найти mz(t), Rz(t1, t2) и Dz(t) производной случайной функции X(t), если

mx (t) =a +bt, Rx (t1,t2 ) = De−a|t1 −t2| (1+a| t1 −t2 |). Математическое ожидание производной

mz (t) = dt mx (t) =b. d

Решение

Для определения корреляционной функции производной дважды дифференцируем Rx(t1, t2). При t1 > t2 имеем

50