Компоненты микросистемной техники. Введение в моделирование на ANSYS. Учебно-методическое пособие

П3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ МАТРИЦЫ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ

Формулы (П.4) позволяют определить перемещение в любой точке внутри КЭ через перемещения его вершин. По терминологии, принятой в МКЭ, вершины КЭ далее именуются узлами. Зная перемещения, можно определить деформации и напряжения внутри КЭ:

Эти соотношения удобнее записать в матричном виде: B , где

геометрические характеристики каждого конечного элемента. Переход от деформаций к механическим напряжениям осуществля-

ется с помощью закона Гука, который в матричной форме записи имеет

ческих напряжений (6 × 1).

В рассматриваемом случае будем предполагать, что: 1) материал упругого элемента является изотропным;

2) упругий элемент представляет собой тонкую пластинку, нагруженную усилиями, приложенными к ее границе параллельно плоскостямпластинкииравномернораспределеннымипоеетолщине(плоское напряженное состояние).

71

Оба предположения сделаны для упрощения математических выражений и не влияют на идеологию МКЭ.

Матрица упругости sij для изотропного по упругим свойствам материала имеет вид

G 2(1 ) – модуль сдвига.

E

Из предположения (П.6) следует, что напряженное состояние пластиныописываетсякомпонентами xx , yy , xy. Сучетом(П.7) и(П.8)

закон Гука принимает форму:

При окончательной записи закона Гука плоского напряженного состояния необходимо учесть, что три компоненты матрицы деформации

x , y , xy выражаются через две компоненты вектора перемещения

точки и и v. Это означает, что между компонентами деформации существует некоторая связь, которая следует из соотношений (П.6):

72

Уравнение (П.10) называется уравнением совместности. Используя (П.9) и (П.10), получаем:

П3.2. УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

В МКЭ основную роль играют смещения узлов сетки КЭ. Эти смещения возникают в результате действия сил, приложенных к узлам сетки со сторонами соседних КЭ, на которые, в свою очередь, воздействуют как внешние поверхностные силы, так и объемные силы (например, сила тяжести), приложенные к каждому КЭ.

Введемматрицусил, действующуюнаконечныйэлемент. Применительно к рассматриваемой структуре КЭ эта матрица будет иметь вид

F1 j

F2 j

73

Произведение Aвн T F имеет смысл работы внешних (по от-

ношению к КЭ) сил над конечным элементом. Символ T означает

транспонированную матрицу узловых перемещений (матрицу-строку). Внешние силы изменяют потенциальную энергию деформированного КЭ, что приводит к возникновению сил внутренних, уравновешивающих внешние.

Работа внутренних сил может быть представлена в виде

где интегрирование ведется по всему объему КЭ, а T – транспонированная матрица деформаций.

Поскольку B , транспонированная матрица произведения

имеетвид T T B T . Учитываяэто, работувнутреннихсилможно представить в виде

где S – площадь КЭ с постоянной толщиной h.

В условиях равновесия работа внешних сил равна работе внутренних сил:

– матрица жесткостей конечного элемента.

Матрица жесткостей не зависит от действующих на КЭ нагрузок и может быть вычислена для каждого КЭ отдельно.

74

По своей структуре уравнение (П.17) напоминает закон Гука, записанный для отдельного КЭ, где матрица сил [F] соответствует механическому напряжению (сила на единицу площади), матрица смещения [ ] соответствует деформации, а матрица жесткости [K] – модулю Юнга.

Для деформированного тела, находящегося под действием внешних сил, необходимо выполнение двух условий:

1) условие неразрывности перемещений;

2) условие равновесия сил в узлах.

Разбиение упругого тела на последовательную сетку конечных элементов автоматически приводит к выполнению первого условия.

При формулировке условия равновесияв МКЭ исходят из принципа Лагранжа. Принцип Лагранжа оперирует с понятием полной потенциальной энергии, определяемой соотношением

где U – потенциальная энергия деформированного тела; Aвн – работа

внешних сил. Содержание вариационного принципа Лагранжа состоит в том, что из всех возможных состояний системы, подверженной действию внешних сил, имеющих потенциал, реализуется такое состояние, при котором полная потенциальная энергия принимает стационарное значение

причем устойчивому состоянию системы соответствует минимум полной потенциальной энергии:

Поскольку иU, и Aвн зависят от смещения узлов i как от параметров, из условий (П.20) и (П.21) получаем

75

Подставляя в (П.23) выражение для сил (П.17) через смещение, получим окончательно

Это и есть система уравнений равновесия для одиночного КЭ.

П3.3. ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ УПРУГОГО ТЕЛА КАК СИСТЕМЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

При решении задач методом конечных элементов любое упругое тело разбивается на счетное множество конечных элементов. При этом

ккаждому узлу сетки обычно примыкает несколько конечных элементов, каждый из них вносит вклад в матрицу жесткости. Если к i-му узлу примыкает S конечных элементов, то матрица жесткости i-го узла определяется через сумму элементов матриц жесткости, примыкающих

кузлу:

Сумма в (П.25) берется по всем элементам, примыкающим к узлу i. Для описания системы конечных элементов упругого тела вводится

вектор перемещения всех узлов сетки C :

1

C ,n

где i – векторперемещенийi-гоузла, общийдляприлегающихкэтому узлу конечных элементов.

76

Сходным образом вводится вектор R сосредоточенных усилий, действующих в узлах сетки:

r1

R , rn

где n – число неопорных узлов сетки; ri – внешние силы, действующие в узле i. Опорные узлы в МКЭ исключаются из матриц и R , по-

скольку предполагается, что для них перемещения равны нулю. Общая матрица жесткости для всего упругого тела выразится в виде

k1

K . kn

Окончательно зависимость, связывающая усилия R и перемещения узлов C будет иметь вид

Решение системы уравнений (П.26) возможно лишь с применением быстродействующих компьютеров и хорошо отработанных вычислительных алгоритмов. Знакомству с вычислительными процедурами и основами практического моделирования различных физических объектов посвящены главы этого учебно-методического пособия и другая многочисленная литература.

77

79