Колебания и волны. Учебное пособие

Назовем шириной резонанса рез 2 β/π интервал частот во-

круг рез 0 , на границах которого амплитуда равна 1 2 от амплитуды в резонансе. Видно, что отношение

равно добротности контура. Таким образом, амплитудные и частотные свойства резонансной кривой колебательного контура связаны однозначно. Рост резонанса ведет к его сужению, и наоборот – чем шире резонанс, тем он ниже.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

рогоможетиспользоватьсяосциллограф, изме-

ряют амплитуду ЭДС генератора m или амплитуду напряжения на конденсаторе UCm . Вариант измерения задается переключателем П:

в положении 1 измеряется ЭДС, в положении 2 – напряжение на конденсаторе. ИзмерятьЭДСипринеобходимостиподстраиватьееследует при каждом изменении частоты, так как полное сопротивление контура зависит от частоты.

Если в качестве вольтметра использовать осциллограф Tektronix, то на его экране можно считывать как амплитуды, так и частоты колебаний.

51

Настройка и особенности измерений с осциллографом Tektronix

1.Блок лабораторных электронных схем: установить «лаб. № 23»

иномер или комбинацию конденсаторов, заданную преподавателем. Оба сопротивления магазина вывести в ноль. Поставить переключатель измеряемой величины в положение «Напряжение на конденсаторе».

2.Генератор ЭДС. Частота генератора задается с помощью трехдекадного переключателя значащих цифр вида 99,9 и десятичного множи-

теля со значениями 1, 10, 102 , 103. Ручку выходного напряжения гене-

ратора установить в среднее положение. Переключатель «Ослабление» поставить в положение I. Включить генератор.

3.Осциллограф. Подробнее о включении и настройке осциллографа говорилось в главе 4. На рис. 5.5 номера большинства позиций совпадают с номерами в предыдущей главе.

Включить осциллограф. Измерения сигналов производятся на втором канале CH2: в позиции 35 должен быть кабель.

3.1.Обеспечить развертку экрана от СН2. При этом номер слева от сигнала должен совпадать с номером 11 канала запуска СН2. Если это не так, включить кнопкой 30 Trigger menu. Циклическим переключением кнопки вертикального ряда 22 возле клетки на экране Source (Источник сигнала запуска) установить СН2.

3.2.Измерение амплитуд с помощью курсоров описано в главе 4. Ниже представлен другой метод измерения частоты и амплитуды коле-

бания, не зависящий от положения сигнала относительно нулевой ли-

нии. Нажать кнопку 25 Measure (Измерения). Для сигнала можно одновременно измерять пять характеристик: Max, Min, Mean (Среднее), Period и т. п. Следует выбрать для источника сигнала СН2 характеристики Freq (Частота) – позиция 1 на рис. 5.5 и Pk-Pk (Peak-Peak, Размах колебаний, Двойная амплитуда) – позиция2. Есливозлечисленных значений появились знаки вопроса, это означает, что настройка неправильная. Необходимо следить за тем, чтобы несколько периодов колебаний умещалось в пределах экрана как по вертикали, так и по горизонтали. Кроме того, размах синусоиды на экране должен быть не менее двух делений. Для этого следует изменять вертикальную чувствительность 13 СН2 ручкой 34 и горизонтальную развертку 12 – ручкой 32.

4.Настройка измерений. Цель: в резонансе с максимальной добротностьюсинусоиданапряжениядолжнаумещатьсявпределахэкрана. Тогда при меньшем сигнале напряжения синусоиду всегда можно подогнать под размеры экрана, изменяя вертикальную чувствительность 34.

52

а

Панель управления

б

Рис. 5.5

53

4.1.При измерении напряжения установить резонансную частоту колебательного контура. Сначала частота устанавливается грубо – декадным переключателем старшей значащей цифры частоты, затем точно – старшим и вторым совместно.

4.2.Если в резонансе синусоида не умещается в экран, следует ослабить выходной сигнал генератора ручкой плавной регулировки выхода.

5. Измерения. Измеряемые величины: сопротивление магазина R ,

частота колебаний , размах ЭДС 2 m , размах напряжения на конденсаторе 2UCm . По вертикальной оси графиков можно откладывать эти

удвоенные значения, так как форма графиков и расчетные величины добротности не изменятся. Рекомендуется начинать измерение АЧХ с минимальной частоты на выбранном частотном диапазоне.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель работы: экспериментально исследовать зависимость напряжения на конденсаторе в электромагнитном последовательном колебательномконтуреотчастотыпеременнойЭДС. Определитьрезонансную частоту, сравнить ее с расчетной.

Задание к работе

1. Перед измерениями рассчитать собственную частоту колебательного контура 0 для заданного преподавателем значения емкости кон-

денсатора. Варианты: С1, С2, С3 или любая их комбинация. ПредварительныйрасчетнеобходимдлявыборадиапазоначастотгенератораЭДС.

2. Измерить зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе UCm от частоты , поддерживая постоянной амплитуду ЭДС генера-

тора, для одного из трех заданных преподавателем значений сопротивления магазина. Рекомендуется начать с максимального из заданных значений сопротивления – это наиболее простая серия измерений. Ми-

нимальный набор точек: UCm ( рез) , т. е. амплитуда на резонансной ча-

стоте, 0,95UCm , 0,9UCm , 0,707UCm , 0,5UCm – по обе стороны от резонанса, 0 – минимальная частота на выбранной шкале генератора,2 рез , 3 рез. Итого минимум 12 точек на кривой.

54

3.Повторить серии измерений п. 2 для двух других значений сопротивления магазина.

4.В общих осях построить все три графика АЧХ.

5.Определитьграфическитрирезонансныечастотыиобозначитьих на оси частот.

6.Рассчитать доверительный интервал для собственной частоты 0

сдоверительной вероятностью 0,95, исходя из известных погрешностей емкости и индуктивности контура. Обозначить этот доверительный интервал вблизи оси частот. Сделать вывод:

а) совпадает ли резонансная частота с собственной в пределах погрешности;

б) согласуется ли изменение рез от R с законом (5.8), т. е. возрастает ли величина разности рез с ростом R.

7. Для минимального из трех значений сопротивления R магазина: а) графически определить ширину резонанса рез на уровне 0,707

от максимальной амплитуды; б) вычислить значения добротности по обоим соотношениям фор-

мулы (5.9) – через отношение амплитуд и через заданные параметры контура;

в) вычислить добротность по формуле (5.12).

8.Сделать вывод, подтверждается ли равенство значений добротности по формулам (5.9) и (5.12).

9.На основании пп. 6, 8 данного задания сделать вывод, подтверждается ли предположение о малости затухания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие колебания называются вынужденными?

2.Генератор внешней ЭДС передает электрическую энергию в колебательный контур, в результате чего возбуждаются свободные колебания. Почему в решении учитываются только вынужденные колебания? При каком условии справедливо это приближение?

3.Что такое резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре?

4.Что такое метод векторных диаграмм? Как его можно использовать для сложения колебаний?

55

5.Вывести дифференциальное уравнение колебаний и зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты.

6.Нарисовать амплитудно-частотную характеристику напряжения на конденсаторе, описать характерные точки и области этой кривой.

7.Вывести резонансную частоту для напряжения на конденсаторе.

8.Дать определение добротности колебательного контура. Вывести связь добротности с частотными параметрами АЧХ.

9.В каком приближении выполняется равенство значений добротности (5.9) и (5.12) по амплитудным и частотным параметрам контура?

10.Как меняется вид АЧХ при увеличении (уменьшении) сопротивления контура R?

56

2u (м) x

Рис. 6.1

Фазовая скорость. Скорость u , с которой мгновенное распределение поперечной деформации струны распространяется вдоль оси x ,

называется фазовой скоростью волны. Определим из соображений размерностизависимостьэтойскоростиотпараметровструны. Повторому

закону Ньютона поперечное ускорение ay , испытываемое бесконечно

малым элементом струны, пропорционально силе и обратно пропорционально его массе. Масса пропорциональна плотности струны. Мы считаем струну бесконечно тонкой, поэтому следует рассматривать линейнуюплотность, т. е. массу наединицудлины ρ (кг/м). Чем больше сила

натяжения струны F (Н кг м/c2 ) , тем больше результирующая

сила, возвращающая бесконечно малый элемент длины струны к положению равновесия. Таким образом, ускорение пропорционально величине F / ρ.

Чем больше ускорение, тем больше скорость распространения волны. Комбинация Fρ имеет размерность скорости (м/с). Можно

ожидать, чтофазоваяскоростьпропорциональнаэтойкомбинации. Точный вывод уравнения малых колебаний (6.1) показывает, что

Гармоническая бегущая волна. Аргумент гармонической функ-

ции безразмерен. Чтобы записать уравнение гармонической волны, достаточно аргумент x ut (м) умножить на постоянный множитель k

с размерностьюобратнойдлины(м–1). Этоткоэффициентназываютвол-

новым числом.

Такимобразом, sin k (x ut) sin (kx ωt) – этоуравнениегармонической волны, бегущей в направлении x или x соответственно.

58

Коэффициент ω при t – это угловая скорость, или циклическая ча-

По аналогии с периодом времени вводят пространственный период волны, длину волны λ, – это расстояние между двумя точками, в которых разность фаз волны в один и тот же момент времени равна 2π:

Стоячая волна. При отражении бегущей волны от неподвижной границы возникает встречная бегущая волна той же частоты. Пусть, например, волна бежит от некоторой плоскости A сечения струны вправо (на рис. 6.2 пути встречных волн для наглядности разделены), добегает до правой границы, отражается, пробегает всю струну навстречу исходной волне, отражается от левой границы и превращается во вторичную волну, бегущую в том же направлении, что и исходная волна. Большую амплитуду такая суперпозиция будет иметь только втомслучае, есливданнойточкеструнывсеволныодногонаправления складываются в фазе.

Следовательно, разность фаз этих волн в одной точке струны должна быть кратна 2π:

k2l 2πn или 2l n λ, n N , (6.9)

т. е. полная длина 2l пробегаволны от плоскости A и до возвратав нее кратна целому числу длин волн.

59

А

l

Рис. 6.2

Отсюда получаем, что резонанс амплитуды суммарной волны возможен, если на длине струны укладывается целое число полуволн:

Это условие можно понять и по-другому. Все синфазные бегущие волны одного направления образуют единую бегущую волну. Аналогичную волну образуют и встречные волны. Рассмотрим суперпозицию встречных волн одной частоты с равными амплитудами:

Видно, что эта сумма разлагается на два множителя – пространственныйивременной. Врезультатенаструневозникаютстационарные точки – узлы, в которых амплитуда равна нулю в любой момент времени, sin kx 0 . Волна, имеющая такие стационарные точки, называ-

ется стоячей волной. Расстояние x между соседними узлами равно

l 2 λ2

l 3 λ2

l

Рис. 6.3

Посередине между двумя соседними узлами находится точка, в которой амплитуда стоячей волны периодически меняется от нуля до максимума, sin kx 1. Такие точки называются пучностями стоячей волны.

60