Колебания и волны. Учебное пособие

Такимобразом, чембольше N , темменьшепогрешностьизмерения

частоты. В задании к работе даны минимальные значения N для измерения частот разных типов колебаний.

Врассмотреннойтеоретическоймоделиуглыотклонениямаятников отположенияравновесияполагалисьмалыми‚ поэтомупривыполнении практической работы следует иметь в виду, что максимальные углы отклонения маятников должны быть не более, например, 10°.

Задание к работе

1. Снять пружину. Измерить длительность собственных колебаний каждого из маятников по времени N 30 периодов колебаний t30; Л

и t30; П. Если эти промежутки времени отличаются друг от друга более

чемна1 %‚ ихнеобходимоуравнять, перемещаячечевицу одногоизмаятников по стержню (штанге).

2. Установить пружину на маятники в одно из положений, указанных преподавателем:

а) измерить длительность 10 периодов колебаний синфазного типа колебаний t10,1 , возбуждая эти колебания в соответствии с рис. 2.5, б;

б) измерить длительность 10 периодов колебаний противофазного типа колебаний t10, 2 типов колебаний, возбуждая эти колебания в соот-

ветствии с рис. 2.5, в;

в) измерить длительность пяти периодов биений амплитуды t5; Б ,

возбуждая колебания в соответствии с рис. 2.5, а. Проводя эти измерения, следует наблюдать за движением маятника, начальное отклонение которого равно нулю.

3.Установить пружину в новое положение и повторить измерения п. 2. Всего провести измерений для пяти положений пружины.

4.Для каждого из положений пружины вычислить частоту колеба-

ний изолированного маятника f0 , нормальные частоты f1 , f2 и частоты биений fБ :

21

5. Вычислить разность нормальных частот f2 f1 для всех пяти по-

ложений пружины.

6. Построитьграфики f1, f2 , fБ и f2 f1 взависимостиотстепени

связи маятников. Проанализировав формулу (2.8), выбрать, какую функциюрасстояния r следуетоткладыватьпогоризонтальнойосидля упрощения вида графиков.

7.Провести на графике горизонтальную линию на высоте f0 .

8.По результатам работы сделать выводы относительно справедливости следующих теоретических предсказаний:

а) о приближенном равенстве частоты f1 синфазного нормального колебания частоте f0 гармонических колебаний отдельного маятника; б) о независимости частоты f1 синфазного нормального колебания

от расстояния r ;

в) о повышении частоты f2 противофазного нормального колеба-

ния с увеличением расстояния r ;

г) о равенстве частоты биений fБ разности частот нормальных ко-

лебаний f2 f1 ;

д) о повышении частоты биений fБ с увеличением расстояния r .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие величины вы будете измерять непосредственно?

2.Каким образом вы будете измерять частоты нормальных колебаний и частоту биений?

3.Какиеграфическиезависимостивыожидаетеполучить? Какиевеличины вы решили отложить по осям координат?

4.Как погрешность измерения частоты связана с погрешностью измерения промежутка времени?

5.Вывести уравнение свободных колебаний для пружинного маятника и записать его общее решение.

6.Вывести уравнение свободных колебаний математического маятника на подвесе и записать его общее решение.

7.Вывести систему уравнений свободных колебаний математических маятников, связанных пружиной.

22

8. Когда уравнения колебаний связанных маятников переходят

вуравнения гармонических колебаний?

9.Что такое нормальные координаты, нормальные частоты?

10.Как определяется число степеней свободы колебательной системы?

11.Что такое частотное вырождение? Как связь колебательных подсистем влияет на частотное вырождение?

12.Как частота синфазного колебания маятников зависит от степени их связи? Чему она равна? Почему?

13.Как частота противофазного колебания маятников зависит от степени их связи? Как она соотносится с частотой синфазных колебаний? Почему?

14.Что такое явление биений? Что происходит с энергиями маятников в процессе биений?

15.Записать уравнения нормальных колебаний связанных маятников и их решения, считая нормальные частоты известными.

16.Выразить углы отклонений маятников из нормальных координат: а) в синфазном колебании; б) в противофазном колебании; в) в режиме биений.

17.Нарисовать графики зависимости углов отклонения маятников от времени в режиме биений.

18.Почему частота биений амплитуды равна разности нормальных частот, а не их полуразности, как это записано в формулах (2.19)?

23

ный момент времени определяется проекцией вектора суммы на ось x , амплитуда – длиной этого вектора, а фаза – углом его поворота

относительно оси x .

Амплитуду A результирующего колебания можно найти по теореме косинусов:

Формула (3.2) позволяет найти амплитуду результирующего колебания A , если известны амплитуды складываемых колебаний A1, A2

и соответствующая разность фаз φ. Эту формулу можно преобразовать к виду

Таким образом, по формуле (3.3) можно найти разность фаз φ, если известны амплитуды A1, A2 и A .

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Если материальная точка может совершать колебания как вдоль оси x , так и вдоль перпендикулярной к ней оси y с одинаковой часто-

той ω , то при одновременном колебании вдоль этих осей колебания

25

где a и b – амплитуды колебаний; φ – разность фаз (фазовый сдвиг)

колебаний.

Если из этих уравнений исключить время, то после некоторых преобразований можно получить уравнение траектории движения точки следующего вида:

Это уравнение эллипса, который материальная точка описывает за время, равноепериоду складываемых колебаний. Ориентацияэллипсаи его размеры зависят от амплитуд a и b колебаний и разности фаз φ.

Уравнение(3.4) справедливо нетолько дляколебанийматериальной точки. Например, подавая переменное электрическое напряжение U1

на вход y и напряжение U2 той же частоты – на вход x осциллографа,

можно заставить световое пятно на экране осциллографа совершать колебания как вдоль оси x , так и вдоль оси y . На экране осциллографа

будет высвечиваться траектория движения этого пятна – эллипс.

На рис. 3.2 показан вид эллипса для некоторого частного случая. Стационарные картины на экране осциллографа, являющиеся результатами сложения взаимно перпендикулярных колебаний с кратными, в частности равными частотами, называются фигурами Лиссажу.

Таким образом, по виду эллипса можно определить sin φ и фазовый сдвиг φ . Следует отметить, что определить знак sin φ и фазового

26

сдвига по виду эллипса обычно бывает невозможно, поскольку при большой частоте колебаний невозможно проследить, движется ли световое пятно по часовой стрелке или против нее. Поэтому далее будем определять sin φ и фазовый сдвиг только по модулю.

В соответствии с обозначениями рис. 3.2:

Поскольку складываемые колебания подаются на разные входы осциллографа, коэффициенты усиления в каналах которых могут быть разными, отношение амплитуд A / B колебаний светового пятна на

экране может не совпадать с отношением a / b напряжений, подавае-

мых на входы осциллографа. Однако при измерении фазового сдвига по формуле (3.7) надо знать амплитуду колебаний светового пятна только

вдоль оси y . Амплитуда колебаний вдоль оси x может быть любой.

Анализ ошибки измерения фазового сдвига этим методом показывает, что наиболее предпочтительным является случай, когда A B . Этого можно достичь, регулируя коэффициенты усиления соответствующих усилителей.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Схема установки, предназначенной для изучения сложения колебаний напряженияв цепи и состоящей издвух последовательно соединен-

ных элементов с комплексными сопротивлениями (импедансами) Z1 и Z2 , показана на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Генератор электрических гармонических колебаний Г, элементы исследуемой цепи Z1 и Z2 , а также вольтметр В и входы x и y осцилло-

графа О соединены через коммутатор К.

27

Коммутатор позволяет осуществить четыре варианта измерений:

1)измерение напряжения U1 на элементе Z1 ;

2)измерение напряжения U2 на элементе Z2 ;

3)измерение напряжения U на цепочке последовательно соединенных элементов Z1 и Z2 ;

4)измерение разности фаз колебаний напряжения на элементах Z1

иZ2.

В качестве элемента цепи Z1 используется резистор R1 . В качестве элемента цепи Z2 используются соединенные параллельно резистор R и конденсатор C (рис. 3.4).

Напряжение U2 на резисторе R равно напряжению на конденсаторе. Ток через резистор R равен IR U2 / R . Модуль комплексного

сопротивления конденсатора равен ZC ω1C . Модуль тока через кон-

денсатор равен IC U2 U2ωC .

ZC

Ток через конденсатор C опережает по фазе ток через резистор R на π/2 . Соответствующая векторная диаграмма для токов показана на рис. 3.5. Из приведенной диаграммы следует, что

Поскольку элементы Z1 и Z2 соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток I . Напряжение U1 на резисторе R1

совпадает по фазе с этим током. Следовательно, разность фаз между напряжениями U1 и U2 такая же, как и между токами I и IR , т. е.

равна углу φ, определяемому выражением (3.8).

28

Напряжения U1 , U2 и U можно измерить как с помощью осцил-

лографа, так и с помощью вольтметра. Измерения с помощью вольтметра предпочтительнее, так как его точность измерений выше. Однако и в этом случае рекомендуется с помощью осциллографа следить за формой сигнала, подаваемого с генератора. Она должна быть синусоидальной. В случае искажения формы сигнала следует уменьшить напряжение на выходе генератора до уровня, обеспечивающего синусоидальную форму.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель работы: научиться измерять разность фаз гармонических колебаний одинаковой частоты методом сложения колебаний, экспериментально определить зависимость фазового сдвига между колебаниями напряжения на двух последовательно соединенных элементах электрической цепи от частоты и сравнить полученную зависимость с теоретической.

Задание к работе

1. Установить на генераторе Г частоту f , одну из 10 значений частот в диапазоне, указанном в паспорте установки.

2.Измерить с помощью вольтметра напряжения U1 , U2 и U .

3.По результатам измерений найти фазовый сдвиг φ и tg φ по фор-

муле (3.3):

U 2 U 2 U 2

φ arccos 1 2 . 2U1U2

4.Получить фигуру Лиссажу (см. рис. 3.2) на экране осциллографа.

5.По параметрам фигуры Лиссажу определить фазовый сдвиг φ по

формуле (3.6) и tg φ.

6.Повторить пп. 1–5 последовательно для остальных заданных значений частоты.

7.Построить график зависимости tg φ от f , рассчитанный теоре-

тически по формуле (3.7).

29

8. На график нанести точки, полученные в пп. 3 и 5 (обозначения точек по пп. 2 и 3 должны быть разными).

9. Сравнить полученные экспериментальные зависимости tg φ от f с теоретической. Сделать вывод о степени соответствия результатов, полученных разными методами.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Вывести формулу (3.2) для амплитуды результирующего колебания, используя векторную диаграмму.

2.Доказать, что при взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковой частотой траекторией движения точки является эллипс (получить формулу (3.5)).

3.Как по виду эллипса на экране осциллографа определить разность фаз колебаний?

30