Исследование операций. Курс лекций. Учебное пособие

УДК 519.8(075.8) ББК 22.18я73 П64

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова

А. А. Денисова;

кандидат технических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна

О. Б. Тёрушкина

Потихонова, В. В.

П64 Исследование операций. Курс лекций: учеб. пособие / В. В. Потихонова, Л. И. Король. – СПб.: ФГБОУВО «СПбПГУТД»,

2017. – 56 с

ISBN 978-5-7937-1368-9

Дисциплина «Исследование операций» предназначена для формирования у студентов знаний, необходимых для разработки и практического применения методов эффективного управления различными организационными системами.

Основными понятиями дисциплины являются операция, математическая модель операции, оптимальное решение, эффективность операции.

В курсе лекций рассматриваются следующие темы: векторные пространства, системы линейных уравнений, выпуклые множества, построение математических моделей задач линейного программирования, графическое решение задач с двумя переменными, симплекс-метод, теория двойственности, метод потенциалов решения транспортной задачи. Приводятся необходимые теоретические сведения, даны подробные решения типовых примеров.

2

2.1.Основные понятия и определения……………………………………….. 19

2.2.Основные теоремы линейного программирования…………………….. 22

2.3.Примеры задач линейного программирования………………………….. 23

2.3.1.Задача об использовании ресурсов…………………………………….. 23

2.3.2.Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)…………. 24

2.3.3.Задача об использовании мощностей (о загрузке оборудования)……. 25 Тема 3. Геометрическая интерпретация задачи линейного

6.2.Построение начального плана……………………………………………. 50

6.3.Проверка плана на оптимальность……………………………………….. 51

6.4.Улучшение плана………………………………………………………….. 52

6.5.Открытая модель ТЗ………………………………………………………. 54 Заключение……………………………………………………………………... 55

Библиографический список…………………………………………………… 56

3

ВВЕДЕНИЕ

Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Под математической моделью явления или процесса понимают совокупность формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающую существенные черты этого явления или процесса. При создании математических моделей для исследования операций первоочередной задачей является определение параметров, однозначно описывающих операцию. Эти параметры обычно подразделяют на контролируемые (или управляемые), неконтролируемые и целевые.

Контролируемые (управляемые) параметры x1 , x2 ,...., xn являются пе-

ременными, принимающими чаще всего числовые значения, которым можно придавать значения по своему усмотрению. Вектор X = (x1, x2 ,..., xn ) иногда

называют вектором управлений. Неконтролируемые параметры (обозначим их α1 ,α2 ,...) нельзя менять по своему усмотрению, они характеризуют опреде-

ленные свойства операции, иными словами это – условия проведения операций.

Наконец, целевые параметры характеризуют эффективность операции. Это могут быть общая величина прибыли, получаемой при реализации продукции, или общие затраты, связанные с производством, и т. п.

Математическая модель операции должна связывать контролируемые и неконтролируемые параметры с целевыми параметрами. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых параметров.

Примеры операций.

Пример 1. Предприятие выпускает несколько видов изделий, при изготовлении которых используются ограниченные ресурсы различного типа. Требуется составить план выпуска изделий на месяц, т. е. указать количество выпускаемых изделий каждого вида так, чтобы максимизировать прибыль при выполнении ограничений на потребляемые ресурсы.

Пример 2. Требуется создать сеть временных торговых точек так, чтобы обеспечивать максимальную эффективность продаж. Для этого требуется определить – число точек, их размещение, количество персонала и их зарплату, цены на товары.

Пример 3. Требуется организовать строительство магазина. При этом необходимо указать порядок выполнения работ во времени и распределить требуемые ресурсы между работами так, чтобы завершить строительство вовремя и минимизировать его стоимость.

4

В настоящем курсе рассматриваются задачи об использовании ресурсов (планирование производства), об использовании мощностей (загрузке оборудования), транспортная задача и другие, в которых требуется найти решение, когда критерий эффективности (например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т. п.) принимает максимальное или минимальное значение. Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, как уже говорилось выше, зависит от параметров обеих групп, поэтому целевую функцию Z можно записать в виде

Z = f (x1 , x2 ,...,α1 ,α2 ...).

Все модели исследования операций могут быть квалифицированы в зависимости от природы и свойства операций, характера решаемых задач, особенности применения математических методов. Рассматриваемые в настоящем курсе лекций задачи относятся к классу оптимизационных задач. Такую зада-

Условие неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1).

5

Тема 1. Векторные пространства

1.1. Понятие п-мерного вектора

Из курса аналитической геометрии известно, что в фиксированной системе координат каждый вектор A однозначно определен своими координатами: вектор, расположенный на числовой оси, определяется координатой A (х), т. е. одним действительным числом. Таким образом, прямая – одномерное векторное пространство. Всякий вектор A , расположенный на плоскости с заданной системой координат, определяется двумя координатами или компонентами:

A = (х; у) ( A = (a1;a2 )), т. е. упорядоченной системой из двух действительных

чисел. Плоскость является двумерным векторным пространством. Всякий вектор A трехмерного векторного пространства определяется тремя координа-

тами: A = (х; у; z) ( A = (a1;a2 ;a3 )), т. е. упорядоченной системой из трех дей-

ствительных чисел. В экономике, физике, геометрии приходится изучать объекты, для задания которых недостаточно трех действительных чисел. Пусть, например, некоторый промышленный район производит станки, хлопчатобумажные ткани, автомобили, телевизоры, шерстяные изделия и т. д. Для характеристики производства района, очевидно, потребуется упорядоченная система из n действительных чисел. Таким образом, целесообразно рассмотреть совокупности всевозможных упорядоченных систем из n действительных чисел.

Обобщим понятие вектора следующим образом.

Определение 1. Любая упорядоченная последовательность из п де й-

буквой, но с разными индексами (в отличие от трехмерного вектора), а сам вектор – той же заглавной буквой.

Для п-мерных векторов вводятся понятия равенства, операции сложения, вычитания, умножения на скаляр, так же как и для трехмерных векторов. Напомним, что сложение векторов и его умножение на число называют линей-

A + B = (a1 +b1 , a2 +b2 , ...., an +bn ).

6

• Произведение вектора A на число: kA = (ka1 , ka2 ,..., kan ); k −число.

•Роль нуля играет нулевой вектор θ = (0,0,...,0).

•Вектор (−1)A называется противоположным вектору A и обознача-

ется − A (− A = (− a1;−a2 ;...,−an )).

Определение 2. Множество всех п-мерный векторов с действительными компонентами, для которых введено понятие линейных операций, называется

п-мерным векторным пространством и обозначается Rn .

Подчеркнем тот факт, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства R1 , R2 , R3 . Пространство Rn при n > 3 – чисто мате-

матический объект. Вместе с тем, этот объект очень удобен для описания реальных процессов, в том числе экономических.

Как известно из геометрии, если векторы A и B заданы своими координа-

вектор их цен, то их скалярное произведение A B выражает суммарную стоимость этих товаров.

•Свойства скалярного произведения:

1.A B = B A.

2.A (B +C )= A B + A C .

3.(kA) B = k(A B ).

4.A A > 0, если А−ненулевойвектор; А А = 0, если А−нулевой вектор.

Определение 3. Векторное п-мерное пространство, в котором введено понятие скалярного произведения, удовлетворяющее указанным свойствам,

называется евклидовым пространством.

Вектор называется нормированным, если длина его равна единице. Каждый ненулевой вектор A можно нормировать, т. е. умножить на такое число k , чтобы вектор kA был нормированным.

В самом деле, при k =1/ A :

A1 A = A1 A =1.

Угол между векторами А и В в R3 определится равенством cosϕ = AABB , где

0 ≤ ϕ ≤ π .

7

• Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

В случае R3 ортогональность векторов A и B означает перпендикулярность вектора A к вектору B .

Векторы E1 , E2 ,..., En п-мерного евклидова пространства образуют ор-

тонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице.

Таким базисом в трехмерном пространстве R3 являются орты координатных осей – векторы i , j, k .

Рассмотрим линейное уравнение, содержащее п неизвестных: a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b . Левая часть этого уравнения – линейная функция от п неизвестных

Z= a1 x1 + a2 x2 +... + an xn

иможет быть представлена в виде скалярного произведения векторов Z = A X ,

где A = (a1;a2 ;...,an ), X = (x1; x2 ;..., xn ).

Линейная функция от неизвестных x1; x2 ;..., xn вполне определяется векто-

ром A из своих коэффициентов, и, наоборот, всякий п-мерный вектор однозначно определяет некоторую линейную функцию. Исходя из этого, сложение и умножение вектора на число превращаются в операции над линейными функциями, которые широко используются при решении задач математического программирования.

1.2. Линейная зависимость и независимость векторов

Одним из важных понятий линейной алгебры является понятие линейной зависимости.

Сначала заметим следующее: если при рассмотрении некоторого вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как правило, их обозначают одной и той же буквой, но с различными индексами, например, A1 , A2 ,..., Am . Весь такой набор векторов называют системой векторов.

• Определение 1. Пусть даны векторы A1 , A2 ,..., Am из Rn .

Любой вектор A вида A = k1 A1 + k2 A2 +... + km Am - называется линейной комбинацией векторов Ai с коэффициентами k1 ,k2 ,...,km (какие угодно числа)

m

(или коротко ∑ki Ai ).

i=1

При наличии последнего равенства также говорят, что вектор A линейно выражается через векторы A1 , A2 ,..., Am или, что A разлагается по векторам.

• Определение 2. Векторы A1 , A2 ,..., Am называются линейно зависимыми, если линейная комбинация равна нулю при условии, что хотя бы один из коэффициентов k1 ,k2 ,...,km отличен от нуля.

8

l1 ,l2 ,...,lm , что B =l1 A1 +l2 A2 +... +lm Am . В этом случае будем говорить, что вектор B разлагается по векторам A1 , A2 ,..., Am . Числа l1 ,l2 ,...,lm в разложении назы-

ваются коэффициентами разложения вектора B по системе A1 , A2 ,..., Am .

Разложение B = k1 A1 + k2 A2 +... + km Am считается отличным от разложения B = l1 A1 +l2 A2 +... +lm Am , если различна, хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения.

Перечислим ряд свойств линейной зависимости.

1.Система из одного вектора A линейно зависима, если A = 0.

2.Если система векторов A1 , A2 ,..., Am линейно зависима, то хотя бы

один из векторов этой системы разлагается по остальным.

Пусть ki ≠ 0 , тогда

т. е. один из векторов системы A1 , A2 ,..., Am разложен по остальным векторам этой системы.

3.Верно и обратное: система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.

4.Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

5.Если система A1 , A2 ,..., Am линейно независима, но при прибавлении к

ней еще одного вектора A становится линейно зависимой, то вектор A линейно выражается через векторы A1 , A2 ,..., Am .

Теорема. В пространстве Rn любая система из т векторов, где m > n ли-

нейно зависима.

Если вектор B и система векторов A1 , A2 ,..., An – произвольные векторы, то задача разложения вектора B по системе векторов A1 , A2 ,..., An , как будет показано далее, сводится к решению системы линейных уравнений.

9

1.3. Векторная форма системы линейных уравнений

Используя введенные операции над векторами, запишем систему линейных уравнений в векторной форме

Последнее уравнение называется векторной формой системы линейных уравнений.

Его называют также просто системой линейных уравнений. Последовательность чисел (k1 ,k2 ,....,kn ) является решением уравнения (1.2), если

Разложить вектор B по системе векторов A1 , A2 , A3 , A4 .

Решение. Найдем общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Замечание. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (последовательных исключений) рассматривалось в курсе математики (см. разд. 1).

A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 = B .

10