Исследование операций. Курс лекций. Учебное пособие

Представим систему в виде расширенной матрицы:

свободными переменными. Система имеет бесчисленное множество решений. Выразив разрешенные переменные через свободные, получим общее решение системы:

Если свободные неизвестные x3 и x4 положить равными нулю, то для разре-

линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы определитель, со-

ставленный из координат векторов, не был бы равен нулю (∆ ≠ 0 ).

11

1.4. Теоремы о векторах п-мерного векторного пространства

Теорема 1. В п-мерном линейном векторном пространстве Rn существует система из п линейно независимых векторов.

Рассмотрим следующую систему из п единичных п-мерных векторов:

Эта система называется системой единичных векторов n-мерного векторного пространства (называемых также ортами по аналогии с системой ортов трехмерного пространства).

Покажем, что они линейно независимы. Не нарушая общности доказательства, положим п = 4 и вычислим определитель, составленный из координат векторов:

1 0 0 0

Теорема 2. Любая совокупность (n +1) векторов п-мерного простран-

ства линейно зависима.

•Определение. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

•Определение. Любая совокупность п линейно независимых векторов п- мерного пространства Rn называется базисом.

Система единичных векторов образует один из базисов n-мерного векторного пространства – это ортонормированный базис.

Теорема 3. Каждый вектор A линейного пространства Rn можно

представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пример. Вектор A =(3;−2; 4; −5) можно записать как линейную комбинацию единичных векторов E1 = (1;0;0;0); E2 = (0;1;0;0); E3 = (0;0;1;0); E4 = (0;0;0;1) с коэффициентами, которые равны координатам вектора A :

A = 3 E1 - 2 E2 + 4 E3 - 5 E4 = (3; -2, 4; -5).

12

1.5.Ранг и базис системы векторов п-мерного пространства

•Определение. Рангом (r) системы векторов A1 , A2 ,..., Am называется мак-

симальное число линейно независимых векторов данной системы.

Таким образом, базис системы векторов – это линейно независимая часть системы векторов, например, векторы B1; B2 ;.....Br , входящие в систему. Следовательно, остальная часть системы разлагается по векто-

рам B1; B2 ;.....Br .

Ранее показано, что диагональная система п-мерных векторов:

Теорема 4. Если диагональная система векторов является частью системы п-мерных векторов A1 , A2 ,..., Am , то эта диагональная система яв-

ляется базисом системы векторов.

Теорема 5. Каждый вектор системы A1 , A2 ,..., Am единственным обра-

зом разлагается по векторам ее базиса.

3

базис и выразить A4 = 4 через базис.

5

Решение. Имеем три вектора в R3 , поэтому для проверки независимости векторов достаточно вычислить определитель, составленный из координат век-

13

Система содержит п неизвестных и т уравнений. Введем векторы (векторы т-мерного пространства)

Запишем систему в векторном виде A1 x1 + A2 x2 +....+ An xn = B . Рассмотрим конкретный пример. Дана система линейных уравнений

A1; A2 ; A3 ; A4 ; A6 ; B – векторы трехмерного пространства; A1; A2 ; A3 – составляют базис пространства. Данная система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух переменных, в частности:

гое решение X1 = (4;10;6;1;0).

Аналогично для системы (1.1). Если среди векторов A1; A2 ; A3 ; .......An есть

базис из т единичных векторов, то решение системы будет иметь n −m свободных переменных, через которые будут выражаться т базисных переменных.

14

Если векторы A1 ; A2 ;.....Am составляют базис пространства, то система бу-

дет иметь следующее решение: x1 = b1; x2 = b2 ;....xm = bm ; xm+1 = xm+2 = .... = xn = 0 . Здесь все свободные переменные приняты равными нулю.

Назовем это решение базисным. В приведенном ранее примере это

X 0 = (7;12;10;0; 0).

Так как любой из векторов-коэффициентов может быть ортом, то система может иметь не одно базисное решение.

Систему всегда можно преобразовать в равносильную ей систему с таким расчетом, чтобы любой из ортов ( A1; A2 ;.....Am ) вывести из базиса, а вместо него

сделать ортом другой вектор-коэффициент системы, который не входил в первоначальный базис. Во вновь полученной системе базисное решение будет отличаться от первоначального.

1.6.Выпуклые множества в п-мерном пространстве

Вшкольном курсе математики выпуклыми назывались многоугольники, целиком расположенные по одну сторону от прямых, на которых лежат их стороны. Общим определяющим свойством, отличающим выпуклый многоуголь-

ник от невыпуклого, является то, что если взять любые две его точки и с оединить отрезком, то весь отрезок будет принадлежать этому многоугольнику.

•Говорят, что множество точек называется выпуклым, если оно вместе

слюбыми двумя точками содержит весь отрезок, соединяющий этиточки.

A B

M

N

C D

а б

Рис. 1.1. Выпуклое (а) и невыпуклое (б) множества

Примерами выпуклых множеств являются не только многоугольники, но и круг, сектор, отрезок, куб, шар, пирамида и т. д.

Пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние (M и N на рис. 1.1), граничные (отрезки АВ, ВС, СD, DА на рис. 1.1, а, ребра многогранника на рис. 1.2) и угловые точки (вершины многогранника).

15

Как известно, множество всех точек X = (x1; x2;...xn ) образует п-мерное

векторное пространство. Фигуры п-мерного пространства уже не имеют реального геометрического смысла и все исследования этого пространства уже надо проводить в аналитической форме. Тем не менее, оказывается целесообразным и в этом случае использовать такие понятия, как выпуклость, для облегчения представления об объектах п-мерного векторного пространства.

Итак, ранее было дано определение выпуклого множества как множества, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит отрезок, их соединяющий. Что следует понимать под «отрезком» в случае п-мерного пространства? Дадим аналитическое определение этого понятия.

• Определение. Точка М называется выпуклой линейной комбинацией

двух точек А и В, если

Если λ пробегает все значения от 0 до 1, то точка М описывает отрезок АВ. Точки А и В называются угловыми или крайними точками отрезка АВ. Та-

ким образом, отрезок АВ можно определить как множество точек М, под-

чиненных соотношению (1.3).

Рис. 1.4. Отрезок АВ

Пусть теперь имеется k точек A1 , A2 ,..., Ak Rn и действительные числа λi (i =1,...,k), тогда линейную комбинацию этих точек можно записать в виде

17

выпуклыми комбинациями, так как для первого выражения 73 + 72 + 74 ≠1 u λ3 = − 74 < 0 - для второго выражения.

Из определения выпуклой линейной комбинации точек очевидно, что угловая точка не может быть представлена как выпуклая линейная комбинация двух других точек отрезка.

•Выпуклым множеством будем называть множество таких точек, которое вместе со своими любыми точками содержит и их любую выпуклую линейную комбинацию (т. е. содержит отрезок между ними).

•Крайними (или угловыми) точками выпуклого множества будем называть такие точки, которые нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации других точек. Например, вершины треугольника являются крайними точками.

•Любую точку выпуклого множества можно представить в виде выпуклой линейной комбинации ее крайних точек.

•Выпуклое множество будем называть многогранником или много-

гранной областью, если оно содержит конечное количество крайних точек.

Теорема. Выпуклый п-мерный многогранник является выпуклой ли-

нейной комбинацией своих угловых точек.

Например, треугольник (рис.4) можно описать как множество точек М, которые являются выпуклыми комбинациями вершин А, В и С:

M = λ1 A +λ2 B +λ3C; λ1 + λ2 + λ3 =1; λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0; λ3 ≥ 0.

В

Рис. 1.5

18

Тема 2. Математические модели экономических задач 2.1. Основные понятия и определения

Математической моделью экономической задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих рассматриваемый экономический процесс.

Для составления математической модели необходимо:

–выбрать переменные задачи;

–составить систему ограничений;

–задать целевую функцию.

Переменными задачи называются величины, x1; x2;...xn , которые характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора

X = (x1; x2;...xn ).

Системой ограничений задачи называется совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических условий, например, положительности переменных. В общем случае они имеют вид

экстремум которой требуется найти.

Если целевая функция (2.2) и система ограничений (2.1) линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного про-

граммирования (ЗЛП).

Допустимым решением (планом) задачи ЛП называется любой п- мерный вектор X = (x1; x2;...xn ), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности переменных.

Оптимальным решением задачи ЛП называется такое допустимое решение (план) X * = (x1* , x2* ,..., xn* ) задачи, при котором целевая функция достигает

экстремума.

Таким образом, решение задачи ЛП заключается в нахождении оптимального решения (плана)X * и вычислении целевой функции при этом решении

Z(X * )= Zmax (Zmin ).

Будем рассматривать три формы ЗЛП:

1)общая задача;

2)основная задача;

3)каноническая задача.

19

Задачу ЛП будем называть общей задачей, если система ограничений (2.1) содержит хотя бы одно неравенство, и основной задачей, если все ограничения системы (2.1) являются уравнениями.

Таким образом, общая задача ЛП имеет вид:

система ограничений – система т линейных уравнений и неравенств с п переменными

где X = (x1 , x2 ,..., xn ) - вектор неизвестных.

Общую задачу линейного программирования можно привести к основно-

Переменные, вводимые в неравенства ЗЛП, называются дополнительными или

вспомогательными.

Каноническая задача является частным случаем основной задачи, т. е. система ограничений содержит только уравнения, при этом система уравнений удовлетворяет двум условиям:

1)в каждом уравнении содержится переменная с коэффициентом, равным единице, отсутствующая во всех остальных уравнениях. Такая переменная называется базисной переменной;

2)свободные члены всех уравнений неотрицательны.

Переменные, не являющиеся базисными, называются свободными переменными. В канонической задаче целевая функция выражается только через свободные переменные.

При т = 2, п = 4, например, каноническуюзадачу можно представить в виде

Z(X )= c0 +c1 x1 +c2 x2 → opt (max или min);

x j ≥ 0, (j =1÷4).

Здесь x3 и x4 - базисные переменные.

20