Исследование операций. Курс лекций. Учебное пособие

личества n + m −1. Ноль можно поставить только в пустую клетку, которая не образует цикла вместе с уже заполненными.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы ТЗ (i1 , j1 ), (i1 , j2 ); ... (ik , j1 ), в которой две и только две соседние клетки располо-

жены в одной строке или столбце, причем первая и последние клетки также находятся в одной строке или столбце.

Цикл изображают в виде замкнутой ломаной линии. В любой клетке цикла происходит поворот звена ломаной линии на 900. Простейшие циклы изображены на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Виды циклов

Построение циклов начинают с какой-либо занятой клетки и переходят по столбцу (строке) к другой занятой клетке, в которой делают поворот на 900 и движутся по строке (столбцу) к следующей занятой клетке и т.д., пытаясь возвратиться к первоначальной клетке.

Проверим вырожденность плана нашей задачи: мы имеем трех поставщиков ( т = 3) и пять потребителей ( п = 5), следовательно n + m −1 = 7. Заполненных клеток 6, т. е. план – вырожденный. Поставим нулевую поставку в клетку (3.3).

Вычислим значение целевой функции (стоимость перевозки) для этого

плана: Z = 50 9 + 40 1+ 20 4 +50 6 + 40 5 + 70 3 =1280 .

6.3. Проверка плана на оптимальность

При проверке плана на оптимальность воспользуемся методом потен-

циалов.

Каждому поставщику Ai и потребителю Bj поставим в соответствие некоторые числа Ui и Vj , называемые потенциалами таким образом, чтобы для

каждой занятой клетки сумма потенциалов равнялась бы стоимости перевозки, стоящей в этой клетке, т. е. Ui +V j = Cij .

Количество неизвестных потенциалов составит n + m , а уравнений в системе ограничений всего n +m −1. Поэтому один из потенциалов задается про-

извольно, после чего остальные потенциалы определяются однозначно. Обычно полагают U1 = 0 .

51

Критерий оптимальности: для того чтобы план ТЗ был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы для всех пустых (незанятых) клеток сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки, стоящей в этой клетке, т. е. Ui +V j ≤ Cij .

Проверим на оптимальность построенный нами план. Для этого вначале построим систему потенциалов. Полагаем U1 = 0 , а далее Ui + Vj = сij для заня-

тых клеток таблицы.

Проверим критерий оптимальности. Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнение условия Ui +V j ≤ Cij :

(1.3): U1 + V3 = 3 > 1 на 2

(1.4): U1 + V4 = 5 = 5

(1.5): U1 + V5 = 3 < 6

(2.1): U2 + V1 = 12 > 6 на 6

(2.4): U2 + V4 = 8 = 8 (2.5): U2 + V5 = 6 > 5 на 1

(3.1): U3 + V1 = 9 > 2 на 7

(3.2): U3 + V2 = 1 < 9

Поскольку условие оптимальности не выполнено для четырех клеток, то построенный план не является оптимальным и может быть улучшен.

6.4. Улучшение плана

Из условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. Это – клетка (3.1), и для нее строим цикл пересчета.

Перебросим в клетку (3.1) 50 единиц груза из клетки (1.1).

Чтобы компенсировать недостаток в первой строке, перебросим те же 50 единиц груза из клетки (2.3) в клетку (1.3).

52

Клетка (3.1) – вершина цикла. Она находится в пустой клетке, остальные вершины – в заполненных. Клетка (3.1) помечена знаком «+», далее последовательно расставлены знаки «-» и «+». Среди клеток, помеченных знаком «-» обычно определяют наименьшее значение перевозки, и его перемещают по циклу. В нашем случае эта величина составила 50 единиц груза.

Получаем новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов: Полагаем U1 = 0, а далее Ui + Vj = сij для занятых клеток таблицы.

53

Найдем минимальную стоимость перевозок:

Z = 40 +50 + 4 20 +5 50 + 2 50 +5 40 +3 20 = 780 .

6.5. Открытая модель транспортной задачи

Открытые модели ТЗ могут быть двух видов:

поставкам от фиктивного поставщика, останется недополученным потребителями.

Таким образом, открытая модель ТЗ может быть сведена к закрытой мо-

дели.

Пример. Исходные данные транспортной задачи приведены в табл. 6.7. Таблица 6.7

открытого типа. Поскольку спрос превышает предложение, добавляем фиктивного поставщика А3 с объем запасов 360 - 220 = 140 единиц груза.

54

Таблица 6.8

Получена закрытая транспортная задача: спрос равен предложению. Решение задачи такого типа рассмотрено выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемом учебном пособии изложен теоретический материал для изучения основ курса «Исследование операций», представлена методика практического решения оптимизационных задач.

Рассмотренные задачи и их экономико-математические модели имеют прикладное значение для выработки эффективных решений в планировании и управлении производством. Методы решения задач позволяют найти из множества альтернативных вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.

Пособие охватывает лишь основные разделы исследования операций, в частности это линейное программирование. Дальнейшее изучение дисциплины касается моделирования нелинейности в экономических процессах, рассмотрения специальных задач исследования операций (целочисленные модели, дроб- но-линейные модели, сети и сетевые модели и др.).

55

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

а) основная литература

1.Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2013 .

2.Грызина, Н. Ю. Математические методы исследования операций в экономике [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Н. Ю. Грызина, И. Н. Мастяева, О. Н. Семенихина. – Электрон. текстовые данные. – М.: Евразийский открытый институт, 2009. – 196 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10773. – ЭБС «IPRbooks».

3.Исследование операций в экономике [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Г. Я. Горбовцов [и др.]. – Электрон. текстовые данные. – М.: Евразийский открытый институт, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2006. – 118 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10690. – ЭБС «IPRbooks».

4.Брусенцев, А. Г. Исследование операций и теория игр [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. Г. Брусенцев, В. И. Петрашев, Ю. Д. Рязанов. – Электрон. текстовые данные. – Белгород: Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова, ЭБС АСВ, 2012. – 258 c. – Режим до-

ступа: http://www.iprbookshop.ru/49709. – ЭБС «IPRbooks».

5.Математика в экономике. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование [Электронный ресурс]: учебник / А. С. Солодовников [и др.]. – Электрон. текстовые данные. – М.: Финансы и статистика,

2011. – 384 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12434. – ЭБС

«IPRbooks».

б) дополнительная литература

1. Лунгу, К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач [Электронный ресурс] / Лунгу К. Н. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 132 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12905. – ЭБС «IPRbooks».

2. Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование [Электронный ресурс]: учеб. пособие / С. В. Пчелинцев [и др.]. – Электрон. текстовые данные. – М.: Финансы и статистика, 2013. – 256 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/18835.— ЭБС «IPRbooks».

56

Учебное издание

Виктория Всеволодовна Потихонова Лариса Ивановна Король

Исследование операций

Учебное пособие

Издательский редактор Т. Н. Козлова

Учебное электронное издание сетевого распространения

Системные требования:

Электронное устройство с программным обеспечением для воспроизведения файлов формата PDF

Режим доступа: http://publish.sutd.ru/tp_get_file.php?id=2017152, по паролю

– Загл. с экрана.

Дата подписания к использованию 30.01.2017 г. Рег. № 152/17

ФГБОУВО «СПбГУПТД» Юридический и почтовый адрес:

191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18 http://sutd.ru

57