Исследование операций. Курс лекций. Учебное пособие

Предположим, что второй производитель хочет перекупить сырье. Необходимо определить оптимальные цены на сырье. Ведем вектор оценок (цен)

видов сырья Y = (y1, y2 ,..., ym ). Затраты на приобретение i -го вида сырья в количестве bi равны bi yi . Второму производителю выгодно минимизировать сум-

марные затраты на приобретение всех видов сырья, поэтому целевая функция имеет вид

Очевидно, что оценки видов сырья должны удовлетворять условиям неотрица-

тельности: yi ≥ 0; i =1,2,...,m .

То есть связь исходной и двойственной задач состоит в том, что:

• коэффициенты c j целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи;

•коэффициентами целевой функции F(Y ) являются свободные члены системы ограничений исходной задачи;

•матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи есть транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи;

•в исходной задаче п неизвестных и т ограничений, в двойственной т неизвестных и п ограничений.

Рассмотренная пара задач относится к симметричным парам двойственных задач. В теории двойственности используются четыре пары двойственных задач (приведем их в матричной форме записи):

41

Общие правила составления двойственных задач

1.Во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находиться в правой части, а члены с неизвестными – в левой.

2.Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.

3.Если знаки неравенств в исходной задаче «≥», то целевая функция

должна максимизироваться, т. е. Z(X )→ max , а если «≤», то минимизиро-

ваться.

4. Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное в двойственной задаче, при этом неизвестное, отвечающее ограничениюнеравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности. Если в систе-

42

ме ограничений исходной задачи имеется равенство, то неизвестное, отвечающее этому ограничению-равенству, может быть любого знака.

5. Целевая функция двойственной задачи имеет вид

F(Y )= c0 +b1 y1 +b2 y2 +... +bm ym ,

где c0 – свободный член целевой функции Z(X ) исходной задачи, y1, y2 ,..., ym –

неизвестные в двойственной задаче, b1, b2 ,..., bm – свободные члены в ограни-

чениях исходной задачи.

6. Целевая функция F(Y ) двойственной задачи должна оптимизироваться противоположным по сравнению с Z(X ) образом, т. е. если Z(X )→ max, то F(Y )→ min, и наоборот.

Пример. Пусть у предприятия имеются два вида сырья S1 u S2 , остатки

которых составляют 35 и 20 ед. Из них можно наладить производство трех видов товаров T1 , T2 , T3 . От реализации единицы каждого вида продукции пред-

продукции, которые в свою очередь подчинены следующим условиям:

x1 + x2 +5x3 ≤ 35;2x1 + x2 + 2x3 ≤ 20;

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0.

Прибыль от реализации товаров Z(X )= 7x1 + 6x2 +18x3 → max .

Вторая возможность: задача 2 – продать сырье другой организации, тогда возникает вопрос, по какой цене.

Пусть y1 u y2 - условная цена единицы сырья ( y1 ≥ 0 ; y2 ≥ 0 ). Требования

к цене со стороны продающего предприятия: если продать сырье, идущее на изготовление ед. каждого товара, то выручка должна быть не менее чем прибыль от его реализации.

Тогда ограничения для условных цен будут иметь вид

43

по T3 : 5y1 +2y2 ≥18

Других требований к ценам предприятие – продавец предъявить не может. Что касается покупателя, то его пожелание заключается в сокращении до

минимума расходов на покупку сырья:

В короткой, матричной, записи они будут иметь вид

Основная теорема двойственности

Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным решением (планом), то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений целевых функций выполняется соотношение min Z(X )= max F(Y ).

Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения вследствие несовместимости системы ограничений.

Докажем эту теорему на примере. Продолжим рассмотрение примера, приведенного выше.

Решим исходную задачу симплексным методом. Математическая модель задачи имеет общий вид

Z(X )= 7x1 + 6x2 +18x3 → max .

x1 + x2 +5x3 ≤ 35;2x1 + x2 + 2x3 ≤ 20;

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0.

Преобразуем систему ограничений к основному виду, введя дополнительные переменные.

x1 + x2 +5x3 + x4 = 35;2x1 + x2 + 2x3 + x5 = 20;

xi ≥ 0;i =1÷5.

Z(X )= 7x1 + 6x2 +18x3 + 0 x4 + 0 x4 → max .

Решение выполним в симплексной таблице (табл. 5.2).

44

Таблица 5.2

Все оценки неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение

X опт* = (0,10,5); Zопт (X *)=150.

Решим теперь двойственную задачу.

Система ограничений содержит две неизвестные, поэтому можно решить задачу графическим методом.

Многоугольник решений – открытая область АВСD (рис.5.1).

Границу АВ образует прямая 5y1 + 2y2 =18 , границу ВС – прямая y1 + y2 = 6 , границу CD – прямая y1 + 2y2 = 7 .

45

Рассмотрим целевую функцию задачи F(y)= 35y1 + 20y2 → min . Построим прямую, отвечающую значению функции F(y)= 0; 35y1 + 20y2 = 0 .

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(у). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (35; 20). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На рис. 5.1 эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рис. 5.1 . Решение двойственной задачи

Прямая F(у) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

y1 + y2 = 6;

5y1 + 2y2 =18.

Решив систему уравнений, получим: y1 = 2; y2 = 4 . Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

Fmin (y)= 35 2 + 20 4 =150 .

46

Тема 6. Транспортная задача

6.1. Общая постановка задачи

Под названием «транспортная задача» (ТЗ) объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к ЗЛП и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений ТЗ настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Транспортная задача формулируется в следующем виде: однородный продукт, сосредоточенный в т пунктах отправления A1, A2 ,..., Am в количествах

ai единиц соответственно, следует доставить в п пунктов назначения B1, B2 ,..., Bn в количествах bj . Стоимость перевозки продукта из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения (тариф) равна cij . Исходные данные ТЗ обычно представляют в виде табл. 6.1.

Требуется составить такой план перевозок (т. е. указать количество перевезенного груза от каждого поставщика к каждому потребителю), при котором будут полностью разгружены поставщики и удовлетворены потребители, а транспортные издержки будут минимальны.

Если суммарные запасы поставщиков равна суммарным запросам потре-

47

Пусть xij – количество единиц продукта, перевозимого по маршруту (i, j). Задача заключается в нахождении таких величин xij , при которых суммарная стоимость перевозок была бы минимальной. Таким образом, переменными

Так как произведение cij xij определяет затраты на перевозку груза из i-го пунк-

определяют целевую функцию, минимум которой необходимо обеспечить по условию задачи. Следовательно, целевая функция имеет вид

Первые т уравнений соответствуют ограничениям по запасам поставщиков, т. е. учитывают вывозимую от поставщиков продукцию, последние п – продукцию, доставляемую потребителям.

Математически транспортная задача ставится следующим образом: среди множества решений системы линейных уравнений (6.2) и неравенств (6.3) найти такое решение (план)

которое минимизирует целевую функцию (6.1).

48

Таким образом, транспортная задача является задачей линейного программирования и может быть решена симплекс-методом, алгоритм которого состоит из следующих шагов:

1)построение начального плана;

2)проверка его на оптимальность. Если план оптимален, то задача решена, в противном случае – переход к п.3:

3)построение нового плана с меньшей (или равной) стоимостью перевозок. Специфические особенности системы ограничений ТЗ привели к разра-

ботке упрощенного метода решения на каждом шаге алгоритма.

Пример. Имеются три пункта поставки однородного груза А1, А2, А3 и пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 потребления этого груза. На пунктах А1, А2, А3 находится груз в количествах 90, 70, 110 тонн. В пункты В1, В2, В3, В4, В5 требуется доставить соответственно 50, 60, 50, 40, 70 тонн груза. Тарифы перевозок заданы (табл. 6.2).

Найти такой план перевозок, при котором общие затраты будут минимальными. Для этого составим математическую модель задачи:

обозначим xij – количество груза, перевезенного от поставщика i к потре-

бителю j.

Становятся очевидными следующие ограничения (так как весь груз должен быть вывезен и все потребности удовлетворены полностью):

3

∑xi4 = 40;

i=1

3

∑xi5 = 70.

i=1

При этом должна быть минимизирована целевая функция

Z(X ) =9x11 + x12 + x13 + 5x14 + 6x15 + 6x21 + 4x22 +6x23 + 8x24 + + 5x25 + 2x31 + 9x32 + 3x33 + 5x34 + 3x35 → min.

49

6.2. Построение начального плана

Прежде всего, проверим, является ли задача закрытой.

Принцип заполнения таблицы состоит в том, что начиная с крайней левой верхней ячейки (принцип северо-западного угла) количество грузов вписывается в таблицу так, чтобы потребности полностью удовлетворялись или груз полностью вывозился.

Таблица 6.3

В клетку (1, 1) (табл. 6.3), соответствующую северо-западному углу, помещаем 50 ед. груза из первого пункта поставки А1. Потребности потребителя В1 полностью удовлетворены. Оставшиеся 40 ед. груза первого поставщика отправляем второму потребителю, заполнив клетку (1, 2). Недостающие потребителю В2 20 ед. груза возьмем у второго поставщика А2. Теперь потребитель B2

полностью обеспечен. У поставщика А2 остались 50 ед. груза, отправим их потребителю В3, полностью удовлетворив его запросы. Запасы поставщика А3 распределим между потребителями В4 и В5.

Табл. 6. 3 представляет собой начальный план задачи. Заполненные клетки таблицы (выделены цветом) соответствуют базисным переменным, пустые – свободным переменным из системы ограничений (5.2) (свободные переменные равны нулю). Поскольку система ограничений содержит n + m −1 линейно независимых уравнений, то и число базисных переменных будет таким же (т – число поставщиков, п – число потребителей). План с n + m −1 заполненными клетками называется невырожденным, при меньшем числе заполненных клеток – вырожденным. Для того чтобы снять вырождение, необходимо в пустые клетки записать нулевые перевозки, дополнив число базисных переменных до ко-

50