Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е.В. КАЗАНЦЕВА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2018

УДК 517.3(075.8) К 142

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев, канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Комиссаров

Казанцева Е.В.

К 142 Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы: учебное пособие / Е.В. Казанцева. – Новосибирск:

Изд-во НГТУ, 2018. – 71 с. ISBN 978-5-7782-3560-1

Учебное пособие состоит из трех разделов: вычисления определенных и несобственных интегралов; геометрических приложений определенных интегралов; физических приложений и приближенных вычислений определенных интегралов. Каждый раздел содержит краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, варианты индивидуальных заданий.

Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов I курса очного и заочного отделений технических направлений и специальностей. При написании были использованы методические разработки и другие материалы, ранее изданные кафедрой высшей математики НГТУ.

УДК 517.3(075.8)

ISBN 978-5-7782-3560-1	© Казанцева Е.В., 2018
	Новосибирский государственный
	технический университет, 2018

СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Таблица основных интегралов

1. x	dx	x 1	C	( const,	1)
		1

2.dxx ln x C (в любом интервале, в котором x 0) .

3.exdx ex C .

4. axdx	ax	C	(a const,	a 0,	a 1) .
	ln a

5.cos xdx sin x C .

6.sin xdx cos x C .

7.cosdx2 x tg x C (в любом интервале, где cos x 0) .

8.sindx2 x ctg x C (в любом интервале, где sin x 0) .

1 arctg

C .

a2 x2

10.

arcsin

11.

a2 x2

C (a const).

a2 x2

12.

x a

x2 a2

x a

13.

a x

a2 x2

a x

14.ch xdx sh x C.

15.sh xdx ch x C.

16.chdx2 x th x C.

17.shdx2 x cth x C.

Обзор методов интегрирования

№

Вид интеграла

Метод интегрирования

п/п

F f (x) f (x)dx

Подстановка f (x) t

udv

Интегрирование

по

частям

по

формуле

uv dx

udv uv vdu . Метод интегрирования по ча-

стям применяется, например, к интегралам вида

P(x) f (x) dx , где P(x) ‒ многочлен (в частности

степенная функция

xn ), а

f (x)

‒ одна из следу-

ющих функций:

ex ,

cos ax,

sin ax,

ln x,

arctg x,

arcsin x,

а также к интегралам от произведений показа-

тельной функции на косинус или синус

Mx N

Выделение полного квадрата

px q

x2 px q

4q 0

затем подстановка

Рекуррентная формула

(x2 1)n

2n 3

In 1

(2n 2)(x2

1)n 1

Про долже ние

таблицы

№

Вид интеграла

Метод интегрирования

п/п

Mx N

dx,

Тот же, что в интегралах вида 3, после чего полу-

чается интеграл вида 4

px q)

p2 4q 0

R(x) dx

Выделение целой части, разложение знаменателя

на множители вида (x a)k

(x2 px q)n ,

затем разложение R(x) на простейшие дроби

R(sin x, cos x) dx

Универсальная подстановка tg

или, если

R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) ,

подстановка

cos x t ;

если

R(sin x, cos x) R(sin x,

cos x) ,

подста-

новка sin x t ;

если

R( sin x, cos x) R(sin x,

cos x) ,

подста-

новка tg x t

Интеграл от произведения

Разложение подынтегральной функции по фор-

синусов и косинусов, напри-

мулам

мер

cos cos

1 cos( )

1 cos( ) ,

sin 3x cos 4xdx

sin sin

1 cos( )

1 cos( ) ,

sin cos 1 sin( )

1 sin( )

sinm xcosn xdx

Если m ‒ нечетное положительное, подстановка

cos x t ; если n ‒ нечетное положительное, под-

становка sin x t

sinm xcosn xdx

Подстановка tg x t

m n – четное отрицатель-

ное

sinm xcosn xdx

Применение формул

m и n – четные неотрица-

sin2 x 1 cos 2x

, cos2 x 1 cos 2x

тельные

Око н чан ие таблицы

№

Вид интеграла

Метод интегрирования

п/п

R x, n x dx

Подстановка

x tn , n ‒ общее наименьшее крат-

ное показателей всех радикалов, под которыми

x входит в подынтегральную функцию

Подстановка

ax b

, n ‒ общее наименьшее

R x, n ax b

cx d

кратное показателей всех радикалов, под кото-

рыми

ax b

входит в подынтегральную функ-

cx d

цию

Выделение полного квадрата под радикалом,

затем линейная подстановка (вид 3)

ax2

bx c

Обратная

подстановка

x 1 t , приводящая

ax2 bx c

интегралам вида 14

Сведение к интегралам вида 7 подстановкой

R x,

a2 x2 dx

x asin t

(или x a cost) ,

R x,

x a tgt

(или x a ctg t) ,

R x,

или x

cost

sin t

R x,

ax2 bx c dx

Выделение полного квадрата под радикалом,

затем линейная подстановка (вид 3), приводящая

к интегралам вида 16

xm a bxn

При

целом положительном ‒ формула бинома

Ньютона и непосредственное интегрирование;

при

целом отрицательном, m q ,

‒

подстановка

x ts ; при

(m 1) / n целом ‒ под-

становка

a bxn t ; при m 1 n p

целом ‒

подстановка ax n b t

РАЗДЕЛ I

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (в смысле Римана)

Рассмотрим задачу об определении площади S криволинейной трапеции aABb. Тра-

пеция	ограничена прямыми	x a ,	x b,
y 0 ,	кривой y f (x) (рис.	1). Разделим

произвольным образом основание трапеции на n частей (рис. 2). Тогда площадь криволинейной трапеции aABb будет равна сумме

y			B
y

	A













	a	.1	b x
	a	.1	b x
		Рис. 1

площадей криволинейных трапеций с основаниями xi xi 1 xi ,

i =1, ..., n . Пусть i

– произвольная

точка

отрезка

[xi 1, xi ] ,

тогда

f ( i ) xi –

площадь

прямоугольника

со

сторонами

f ( i ), xi

, Sn S1 S2 ... Sn Si ‒

Dx1

Dxi

Dxn

i 1

xi-1

площадь ступенчатой фигуры (рис. 3). Тогда

Рис 2

S Sn . Если устремим число разбиений n к

Рис.

бесконечности, причем max xi 0 , то получим

n 1

S lim Sn lim Si

n i 0

n 1

lim

f ( i ) xi .

max xi n

0 i 0

a= x0

xi-1xi xi

b=x

Рис.

n 1

Рис. 3

Определение.

Выражение f ( i ) xi In называют интеграль-

i 0

ной суммой функции

f (x) на отрезке [a, b] .

Определение. Пусть функция y f (x) определена на конечном отрезке a,b . Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм In , не зависящий ни от способа разбиения отрезка

на xi , i =1, ..., n , ни от выбора точек i , xi 1 i xi , то это число называется определенным интегралом (в собственном смысле) от

функции f (x)	на отрезке [a, b] :
	b			n 1
	f (x)dx	lim	0	f ( i ) xi .
	a	max xi		i 0

Функции	f (x) , для которых вышеупомянутый предел существует,
называются интегрируемыми (собственно) на отрезке [a, b] .
Классы интегрируемых на отрезке [a, b] функций:
а) непрерывная на [a, b] функция;
б) ограниченная на [a, b]		функция, имеющая на этом отрезке ко-

нечное число точек разрыва;

в) ограниченная монотонная на [a, b] функция (которая может

иметь в этом промежутке и бесконечное число точек разрыва).

Если функция f (x) не ограничена на отрезке [a, b] , то она собственно (т. е. в собственном смысле) не интегрируема на [a, b] .

2.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

	b	b
если A const, то	Af (x) dx A f (x) dx .

2.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного

числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из слагаемых функций:

b	b	b	b
	f1(x) f2 (x) ... fn (x) dx	f1(x) dx	f2 (x) dx ... fn (x) dx .
a	a	a	a

3. При перемене местами нижнего и верхнего предела интегрирования определенный интеграл изменяет знак на обратный (его абсолютная величина при этом не изменяется):

		b	a
		f (x) dx f (x) dx ,
		a	b
отсюда следует, что
			a
			f (x) dx 0 .
			a
4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
		b	c	b
		f (x) dx f (x) dx f (x) dx ,
		a	a	c
если все три интеграла существуют.				b
				b
5. Если	f (x) 0	на отрезке [a, b] , (a b) , то f (x) dx 0 .
	f (x) g(x) на отрезке [a, b] ,			a
6. Если	f (x) g(x) на отрезке [a, b] ,			(a b) , то
		b	b
		f (x) dx g(x) dx .
		a	a

b b

7.f (x) dx f (x) dx , (a b) .

8.Теорема об оценке определенного интеграла. Если:

а) f (x) интегрируема на [a, b] , (a b) ,

б) во всем этом промежутке m f (x) M , то

m(b a) f (x) dx M (b a) . a

9. Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла.

Если:
а) f (x) и g(x)	интегрируемы на [a, b] , (a b) ,
б) во всем этом промежутке m f (x) M ,
в) g(x) 0 на [a, b] , то
b	b	b
m g(x) dx f x g(x) dx M g(x) dx .
a	a	a
10. Теорема о среднем. Пусть:
а) f (x) интегрируема на [a, b] ,		(a b, b a) ,
б) во всем этом промежутке m f (x) M , тогда
	b
	f (x) dx (b a) ,
	a

где m M ( – среднее значение функции f (x)	на [a, b] ).
Если функция f (x) непрерывна на [a, b] ,	то f (c) , где
c [a, b] , т. е.

f (x) dx f (c)(b a) . a

11. Обобщенная теорема о среднем. Пусть:

а)	f (x) и g(x) интегрируемы на [a, b] , (a b, b a) ,
б) во всем этом промежутке m f (x) M ,
в)	g(x) на [a, b] не меняет знака:	g(x) 0	( g(x) 0 ), тогда
	b	b
	f (x)g(x) dx g(x) dx ,
	a	a
где m M ( – среднее значение функции			f (x) на [a, b] ).

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]