Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

									ВАРИАНТ 21																	ВАРИАНТ 22
									Задания 1–6.																	Задания 1–6.
	Вычислить определенный интеграл																			Вычислить определенный интеграл
		e							1											e					1
1.															dx				1.						1				dx


	1				x 1 ln2 x															1 x(1 ln x)
	7				5				x 25											3			3 2x
2.																		dx	2.									dx
2.			(x					25)			2		x			1		dx	2.				2x 7					dx
	0		(x					25)					x			1				2			2x 7
	4			3						1										5	2 2							1
3.										1							dx		3.									1				dx
3.							(64 x2 )3										dx		3.							(25 x2 )3						dx
		0					(64 x2 )3														0					(25 x2 )3
	/2								sin x											0								cos x
4.									sin x						dx				4.									cos x							dx
4.						(1 sin x)							2		dx				4.					(1 cos x sin x)										2	dx
	0					(1 sin x)														/2				(1 cos x sin x)
	0																			/2
	/4					tg3xdx														/4						(tg	x 2)dx
5.																			5.							(tg	x 2)dx
5.																			5.							2	x 2cos					2	x
	0																			0			3sin				x 2cos						x
	0																			0
	0							2x 1)e3xdx												3
6.	(x2							2x 1)e3xdx											6.	xln(x 1) dx
	1																			2

	Найти точки экстремума функции																			Найти F (x) , если
									x
7.	F(x) cost													dt , x 0					7.							x2		t 1
												t								F(x)											dt
									1			t								F(x)								3	t	1	dt
																										1 x			t	1

	Оценить интеграл																			Оценить интеграл
8.	4	1							2x dx										8.	/2						xdx
8.		1																	8.							xdx
			1 x																				2 cos					2	x
	1		1 x																	0			2 cos						x
	1																			0

									Задания 9, 10.																	Задания 9, 10.
Вычислить или доказать расходимость																			Вычислить или доказать расходимость
	несобственных интегралов																			несобственных интегралов
9.					dx														9.			(x			2	2) dx
					dx																	(x				2) dx
					x3																			x4 12
	1																			0
10.	2						dx												10.	5			xdx
							dx																xdx
				(x 1)3																			x 4
	2																			4

						ВАРИАНТ 23																				ВАРИАНТ 24
							Задания 1–6.																					Задания 1–6.
	Вычислить определенный интеграл																			Вычислить определенный интеграл
	0	tg (x				1) dx														/4
1.		tg (x				1) dx													1.			tg x(ln cos x) dx
1.		2				(x 1)													1.			tg x(ln cos x) dx
	1	cos				(x 1)														0
	1																			0
	64			6						x 4 x										4/3							4			x
2.				6						x 4 x								dx	2.								4			x		dx
2.				x3		7x 64										x3		dx	2.							2						dx
	1			x3		7x 64										x3				16/15 x									x 1
	2					x4														4			x2 4
3.															dx				3.											dx
3.			(4 x					2		)	3/2				dx				3.				x		4					dx
	0		(4 x							)										2			x
	0																			2
	/2			sin x																/4										1
4.				sin x										dx					4.											1					dx
4.				5 3sin x										dx					4.				cos x(1 cos x)												dx
	0			5 3sin x																0			cos x(1 cos x)
	0																			0
	arccos 1							26								12dx				arcsin						2 3								8 tg xdx
5.																12dx			5.															8 tg xdx
5.							10 (6 5 tg x)sin 2x												5.										8sin		2		x 3cos			2	x 7
	arccos 1						10 (6 5 tg x)sin 2x															/4							8sin				x 3cos				x 7
	e					2 xdx														0
6.				x ln		2 xdx													6.	(x2				6x 9)sin 2xdx
	1
	Найти, не вычисляя интеграла																			Найти точки перегиба функции
7.	lim e				2x x							2	dt						7.	F(x)								x		t 2				2
7.	lim e								t				dt						7.	F(x)												5		dt ,
	x								1																					t		5
																												5
																				5 x 5

	Оценить интеграл																			Оценить интеграл
8.	/4										dx								8.	2	5 x
											dx										5 x							dx
				3sin			2		x		2cos						2	x			2							dx
	0			3sin					x		2cos							x		0	9 x
	0																			0

						Задания 9, 10.																					Задания 9, 10.
Вычислить или доказать расходимость																			Вычислить или доказать расходимость
9.	несобственных интегралов																		9.	несобственных интегралов
9.				dx															9.								dx
				dx																							dx
			1 x3																			x2 2x 2
10.	0																		10.	2			dx1/3
10.	xln(x 1) dx																		10.				dx1/3
	2																			6
	1																			1 xln								x

								ВАРИАНТ 25														ВАРИАНТ 26
								Задания 1–6.															Задания 1–6.
	Вычислить определенный интеграл																Вычислить определенный интеграл
	2 4					ctg x x dx											/4 1 tg (x 1) dx
1.																1.
1.																1.						cos2			(x 1)
	2 16																		1
	7							x 25									5				x
2.								x 25						dx		2.					x				dx
2.		(x 25)								2		x		dx		2.				4x 5					dx
	0	(x 25)										x	1				1			4x 5
	0																1
	2			x2 1													2							1
	2			x2 1																				1					dx
3.										dx						3.							2					2
3.				x			4			dx						3.		(4 x					2	)		4 x		2
	1			x													0	(4 x						)		4 x
	2arctg (1/2)											1	sin x				/2				1
												1	sin x								1						dx
4.															dx	4.
																				2 cos x
									cos x(1 cos x)											2 cos x
			0														0
	/4							dx									/2				sin 2xdx
5.																5.
5.			1					2sin			2	x				5.				1 cos					2	x
	0		1					2sin				x					0			1 cos						x
	0																0
																	3
6.	(x2						5x 6)cos 2xdx									6.	x ln(x 3) dx
	0																0

	Найти																Найти критические точки функции
					x2																			x	3 t3 3t dt
7.						cost2dt										7.	F(x)								3 t3 3t dt
	lim					0																	10
	lim							x
	x 0							x

	Оценить интеграл																Оценить интеграл
8.	1		4 x2 dx													8.	18		x 1
8.																8.			x 1				dx
																							dx
	0																8		x 2
	0																8

								Задания 9, 10.														Задания 9, 10.
Вычислить или доказать расходимость																Вычислить или доказать расходимость
9.	несобственных интегралов															9.	несобственных интегралов
9.						2		dx					2			9.					arctg xdx

	(x x 1)																0				(1 x2 )3
10.	1					2		2 dx								10.	1		1/ x
		3x						2 dx									e				3 dx
	1			3 x2													0		x

						ВАРИАНТ 27											ВАРИАНТ 28
							Задания 1–6.										Задания 1–6.
	Вычислить определенный интеграл												Вычислить определенный интеграл
	/4 tg x 1												/ 4 1				tg (x 1) dx
1.						2		dx				1.
1.		cos				2	x	dx				1.					cos		2	(x 1)
	0	cos					x							1			cos			(x 1)
	0													1
	4			2 x dx									4		x 1
2.	1											2.			x 1			dx
2.	1	x										2.						dx
	1	x											2		x 1
	1												2
	5												6						1
3.	x2				25 x2 dx							3.							1				dx
3.	x2				25 x2 dx							3.								36 x2			dx
	0												0 (36 x2 )							36 x2
	/2				cos x								/2			sin xdx
4.									dx			4.
4.			3				2sin x		dx			4.			3 sin				2	x
	/2		3				2sin x						0		3 sin					x
	arctg3						1 ctg x						/4		1 tg2x
5.											dx	5.			1 tg x					dx
5.					(2cos x sin x)					2	dx	5.								dx
	/4				(2cos x sin x)								0
	/6												0				5x 6)e2xdx
6.		(x2 2x 1)sin 3xdx										6.	(x2				5x 6)e2xdx
	0												2

	Найти												Найти yx , если
				x												t						ln t
			arctg(t ) dt													t						ln t
7.			arctg(t ) dt									7.	x ln z dz ,								y ezdz
	lim		0												0		z				0
	lim						x2 2								0						0
	x						x2 2
	Оценить интеграл												Оценить интеграл
8.	1											8.	ln8				dx
8.	x4				1 x2 dx							8.					dx
	x4				1 x2 dx											1 ex
	0												ln 3			1 ex
						Задания 9, 10.											Задания 9, 10.
Вычислить или доказать расходимость												Вычислить или доказать расходимость
9.	несобственных интегралов											9.	несобственных интегралов
9.					dx							9.	e 2x sin xdx

10.	1	x			4 x2							10.	0		3		dx
10.			dx									10.			3		dx
	e												1/2
	1 x5 ln3 x												0			2x 1

РАЗДЕЛ II

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Площадь в прямоугольных координатах. Если непрерывная кри-

вая

задана

в прямоугольных

координатах уравнением

y f (x)

f (x) 0 ,

то площадь криволинейной трапеции,

ограниченной этой

кривой, двумя вертикалями в точках x a

и x b

и отрезком оси абс-

цисс

a x b

(рис. 4), определяется фор-

мулой

f(x)

S f (1) dx.

(1)

В более общем случае, если площадь S

с.

Рис. 4

ограничена двумя непрерывными кривыми

y f1(x) и

y f2 (x) ,

f1(x) f2 (x) , двумя вертикалями x a

и x b ,

где a x b (рис. 5):

f2 (x) f1(x) dx.

(2)

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически. Если кри-

вая задана уравнением в параметрической форме x (t) , y (t) , то площадь кри-

волинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими x a и x b , и отрезком оси OX, выражается интегралом

S (t) (t)dt,

y		f2(x)		f1(x)
y		f2(x)
		S


				x
0	a		b

		Рис.5
		Рис. 5
			(3)

где t1 и t2 определяются из уравнений a (t1) и b (t2 )

(t) 0

на отрезке [t1, t2 ] .

Площадь в полярных координатах. Если

кривая задана в полярных координатах уравне-

нием ( ) , то площадь сектора АОВ (рис. 6),

ограниченного дугой кривой и двумя полярными

радиусами ОА и ОВ, соответствующими значе-

ниям 1 и 2

выразится интегралом

2 ( ) d .

(4)

Рис. 6

Площадь фигуры ABCD (рис. 7), огра-

ρ2(φ) B

ниченной кривыми 1 1( ) ,

2 2 ( ) ,

двумя полярными радиусами ОА и ОВ, со-

ρ1(φ) A

ответствующими

значениям

2 :

S 1

( ) 2 ( ) d .

Рис. 7

2. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина l дуги кривой

y f (x), содержащейся между двумя точками с абсциссами		x a и
x b , равна
b
l 1 y 2 dx .		(5)
a
Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая за-
дана уравнениями в параметрической форме x (t) ,	y (t) , то дли-

на дуги l кривой равна

dt ,

(6)

(t)

где t1 и t2 – значения параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах. Если

кривая задана уравнением ( )

в полярных координатах, то длина

дуги l

равна

( )

(7)

( )

где и ‒ значения полярного угла в крайних точках дуги.

3. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Если криволинейная трапеция, ограни-

ченная кривой

y f (x)

и прямыми y 0 ,

x a ,

x b ,

вращается

вокруг

оси

(рис. 8), то объем тела вращения вычисляет-

ся по формуле

Рис.8

Vx f

2 (x) dx y2dx.

(8)

Рис. 8

Если криволинейная трапеция, ограниченная

кривой

y f (x) ,

прямыми y 0 ,

x a ,

x b , вращается вокруг оси Оy (рис. 9), то объ-

ем тела вращения вычисляется по фор-

муле

y=f(x)

Vy 2 xf (x)dx 2 xydx.

(9)

Объем тела, образованного враще-

нием вокруг оси Оу фигуры (рис. 10),

Рис. 9

y			ограниченной кривой	x g( y) , прямыми	x 0 ,
y			ограниченной кривой	x g( y) , прямыми	x 0 ,
	d		y c , y d, можно определить по формуле
	d
			d	d
			Vy g2 ( y) dy x2dy.		(10)
	c		c	c
			Если фигура, ограниченная кривыми y1 f1(x) и
0		x
		x
Рис..1010			y2 f2 (x) 0 f1(x) f2 (x) , прямыми		x a ,

x b , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Vx f22 a

(x) f 2	(x) dx b	y2	y2	dx.	(11)
1		2	1

Замечание. Если кривая задана в иной форме (параметрической, в полярных координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти площадь эллипса

x a cost, (рис. 11):

y bsin t.

Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении x a cost сначала x 0 , затем x a ,

y b

14S

a x

РисРис..111

получим пределы интегрирования t1 / 2				и t2 0 . Используя фор-
мулу (3), получим
1 S	0		/2	sin2 tdt	ab .
1 S		bsin ta( sin t) dt ab		sin2 tdt	ab .
4	/2		0		4
	/2		0

Ответ: S ab .

Задача 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой 2cos 2 .

Решение. Ввиду симметрии (рис. 12) достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Четвертой ча-

сти искомой площади соответствует изме-																				y		π
сти искомой площади соответствует изме-																				y
нение угла от 0							до / 4 , используя фор-
нение угла от 0							до / 4 , используя фор-															4
мулу (4), получаем
1			1 /4					1		/4			1							0			x
1			1 /4					1		/4			1							0			x
4	S	2		2cos 2 d				2	sin 2	0			2	.
				0
				0																	12
																					12
Ответ: S 2 .																				Рис. 12
Ответ: S 2 .
Задача 3. Найти длину дуги всей кривой															asin3						(рис. 13). Вся
																				3
кривая описывается точкой при изменении от 0 до																				3 .
Решение. Так как кривая задана в полярных координатах, будем
															2
использовать формулу (7).									Имеем			asin				3 cos		3	,	поэтому длина
дуги кривой
									3		a2 sin6 a2 sin4								cos2			d
							r		l
							r		l
	a								0					3					3			3
									0

													3		2				3 a
		ис.		13								a sin			3		d			2	.
		ис.												0	3					2
	Рис.													0
Ответ:				l	3 a	.
Ответ:				l		.
				2												y
Задача 4. Найти длину одной арки цик-
Задача 4. Найти длину одной арки цик-
					x a(t sin t),

лоиды (рис. 14)
					y		a(1 cost).								0							2πa		x
															0							2πa
																				Рис. 14
																				Рис. 14

Решение. Так как кривая задана уравнениями в параметрической форме, будем использовать формулу (6). Пределы интегрирования t1 0 и t2 2 соответствуют крайним точкам арки циклоиды

( y 0) .

	dx	a(1 cost) ,	dy a sin t ,
	dt		dt
2			2		t
l	a2 (1 cost)2 a2 sin2 t dt 2a			sin	t	dt 8a .
l	a2 (1 cost)2 a2 sin2 t dt 2a			sin		dt 8a .
0			0	2
0			0
Ответ: l 8a .
Задача 5. Найти объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной	одной	полуволной	синусоиды	y sin x и отрезком

оси Ox , 0 x ,	вокруг: a) оси Ox и б) оси Oy .
Решение. Воспользуемся формулами (8) и (9) соответственно:
							1		1


a) Vx sin2 xdx					(1 cos 2x)dx									;
a) Vx sin2 xdx		2			(1 cos 2x)dx		2	x	2	sin 2x			2	;
0			0									0
0			0									0
											0 2 2.
б) Vy 2 xf (x)dx xsin xdx 2 ( xcos x sin x)


0	; б) V			0
Ответ: a) V	; б) V			y		2 2 .
x	2			y
	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]