Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы. Учебное пособие

9

3

9

103

s 0.3(1 t)2 dt 0.3 (1 t)

1 99 м,

0

3

0

s

V

11 м/с.

t

ср

Работа силы. Если переменная сила F f (x)

действует в направ-

лении оси Ox , то работа силы на отрезке [x1, x2 ]

равна

x2

A

f (x) dx.

x1

0

r

x

h

x

dh

y

Рис. 15

поверхности, ds 2xdh 2

r2 h2 dh.

r

2

h

2

dh

2

(r

2

h

2

)

3

r

2

r

3

.

P 2 h r

3

0

3

0

n

m v

2

(12)

K

i i

.

i 1

2

лений

h (b a) n . Пусть

xi x0 ih

– абсциссы

точек деления

(x0 a,

xn b, i 0, 1, ..., n) ;

yi f (xi )

– соответствующие значения

подынтегральной функции y f (x) .

Формула прямоугольников

b

f (x)dx h( y1 y2 ... yn ) Rn ,

(13)

Rn

h2

(b a)M2 , гдеM2

max

f

.

12

(x)

[a, b]

Пример. По формуле трапеции,

приняв

n 10 , вычислить

i

xi

sin xi

yi

f (xi )

sin xi

xi

0

0

0

1

1

0.1

0.09985

0.99850

2

0.2

0.19867

0.099335

3

0.3

0.29552

0.98507

4

0.4

0.38942

0.97355

5

0.5

0.47943

0.95886

6

0.6

0.56464

0.94107

7

0.7

0.64422

0.92031

8

0.8

0.71736

0.89670

9

0.9

0.78333

0.87037

10

1

0.84147

0.84147

1.84147

8.53778

Поскольку

h 0.1 ,

y0 y10 1.84147 ,

y1 y2 ... y9 8.53778 ,

по формуле (14) получаем

1 sin x

dx

1.84147

x

0.1

2

8.53778 0.94585 .

0

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y ln x ,

y 1 ,

y 1 x2

1.

y 2x x2 , y x

3

t

x 2cost cos 2t

x 4cos

2.

2.

3

y 2sin t sin 2t

t

y 4sin

2

2 cos

2cos 4

3.

3.

2

2 sin

1

Задания 4, 5

Задания 4, 5

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

3

1/3

1

5/3

2

(x4 x 2 ) , 1 x 3

4.

y

2

x

5

x

, 1 x 8

4.

y

8

5.

2e3 ,

0 / 2

5.

3(1 cos ) ,

0 2

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y (x 2)(x 5) ,

y sin x ,

y 0,

y 0 ,

0 x ,

вокруг оси Ox

вокруг оси Oy

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное значение

Вычислить приближенное значение

определенного интеграла с по-

определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы прямоугольников

7.

мощью формулы трапеций

Сравнить

оценку

и вычисленное

Сравнить оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

8

x3 16 dx

3 sin x dx

2

0

Вычислить работу, которую нужно

Найти

массу

стержня длиной

затратить, чтобы выкачать воду из

l 100 см , если линейная

плот-

8.

вертикальной

цилиндрической

8.

ность стержня на расстоянии

x см

бочки,

имеющей радиус R и вы-

от одного из

его концов

равна

соту H

2 0.001x2

г/см

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y x / 2 ,

y cos x ,

x 0

1.

y sin x ,

y cos x , 0 x / 4

2

1

x 2t 2sin t

x t

2.

2.

2cost

3

y 2

t

y t

2(1 cos )

2cos3

3.

3.

2

1

Задания 4, 5

Задания 4, 5

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y

x 3 (1 x) , 1 / 2 x 1

4.

y x

x 12 6 , 11 x 3

5.

th ( / 2) ,

0 / 4

5.

cos3

3

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y sin x ,

y cos x ,

y 0 ,

y arcsin x ,

y 0 ,

x 1 ,

0 x 2 ,

вокруг оси Oy

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное значение

Вычислить приближенное значение

определенного интеграла с по-

определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить оценку и вычисленное

Сравнить

оценку

и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

/2

cos x dx

12

x3 9 dx

0

x 1

2

Какую работу нужно затратить,

Скорость точки меняется по закону

чтобы растянуть пружину на 4 см,

V 100 8t

(размерность V –

8.

если сила в 1 Н растягивает ее на

8.

[м/с]). Какой путь пройдет эта

1 см?

точка

за

промежуток

времени

[0, 10] ?

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 8

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y

16

,

y 8

1.

y tg x , y 2 / 3cos x , x 0

16 x2

2

1

3

t

2.

x t

2.

x 16cos

,

x 2

3

3

t

t

y t

y 2sin

3(1 cos )

2 sin 3

2

3.

3

3.

2

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

y2

16

1

3

x2 5y3 , x2 y2 6

4.

x

2

, y2 x

4.

27

5.

3e2 ,

/ 2

5.

2(1 cos ) , 1

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограни-

при вращении фигуры, ограни-

6.

ченной кривыми

6.

ченной кривыми

y 27 / (9 x2 ) , y 3 2 ,

2y (x 2)2 , y 2,

вокруг оси Ox

вокруг оси Oy

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное значе-

Вычислить приближенное

значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить

оценку и вычисленное

Сравнить

оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

/3

9

x3 2 dx

cos x dx

0

1

Вычислить кинетическую энергию

Вычислить работу, которую необ-

диска

массой

M и радиусом R ,

ходимо затратить, чтобы выкачать

8.

вращающегося с угловой ско-

8.

воду из конического сосуда, об-

ростью около оси, проходящей

ращенного вершиной вниз, радиус

через его центр перпендикулярно

основания

которого равен

R и

к его плоскости

высота H

ВАРИАНТ 9

ВАРИАНТ 10

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y x2 2x 4 , y x2

1.

y 6 / (x 5) , y

x

, x 2

x t sin t

2

x t

2.

y 1 cost

2.

3

/ 3

y t t

6cos

6cos 4

3.

3.

3 sin

3

2

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y x2/3 1 ,

0 x 5 5

4.

y

2x x2 1 , 1 / 4 x 1

5.

cos

5

5.

3

5

sin3( / 3)

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y 1 / (1 x

2

) , y 0 , x 0 ,

x 1 ,

y (x 1)(x 3) , y 0 ,

вокруг оси Oy

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное

значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы трапеций

Сравнить оценку и вычисленное

Сравнить оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

/3

sin x dx

2 sin x dx

0

/6

x

Найти силу давления бензина,

Вычислить кинетическую энергию

находящегося

в цилиндрическом

прямого

круглого конуса массой

8.

баке высотой

h 4 м и радиусом

8.

M , вращающегося с угловой ско-

r 2 м ( 900 кг/м3) , на

стенки

ростью около своей оси,

если

бака на глубине 3 м

радиус основания конуса R ,

а вы-

сота H

ВАРИАНТ 11

ВАРИАНТ 12

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y 2x2 , y x3 / 3

1.

y x(x 1)2 , y 0

t

3

/ 3

x 2(2cost cos 2t)

x

2.

,

y 2

2.

2

y 2(2sin t sin 2t)

4 t

/ 2

y

2(1 sin )

4cos3

3.

3.

2

2

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y2 x3 ,

отсеченной

прямой

4.

x 2

( y 1)3 ,

0 x 2 3

x 4 / 3

3

5.

2 2 ,

0 4

5.

2(1 sin ) ,

1

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

ной кривыми

ной кривыми

6.

y x

3 3x

6.

y 8 / (4 x2 ) , y 1 ,

3 x , y 6 , x

0 ,

вокруг оси Oy

(0 x 2) ,

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное

значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить

оценку и вычисленное

Сравнить оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

11

1

x4 3 dx

5 2x3 dx

1

0

Вертикальный треугольник с осно-

Водопроводная труба имеет диа-

ванием

b

и высотой h погружен

метр

6 см ; один конец ее соеди-

8.

в воду вершиной вниз так, что его

8.

нен с баком, в котором уровень

основание находится на поверхно-

воды

на 1 м

выше края трубы,

сти воды. Найти силу давления

а другой закрыт заслонкой. Найти

воды

силу давления на заслонку