Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы. Учебное пособие

ВАРИАНТ 13

ВАРИАНТ 14

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y x x2 , y x 1 x

1.

y sin 2x , y sin x , / 3 x

2

1

2

2.

x t

2.

x t

3

3

t

t

y t

y t

3cos

2sin 4

3.

3.

3 sin

1

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

3/2

4.

x2

ln x

y 2x

, 0 x 11

y 2 4 , 1 x 3

5.

4sin

4

5.

4sec2 ( / 2) , 0 / 2

4

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

ной кривыми

ной кривыми

6.

4 y x2 , y

x

,

6.

y x

3 3x

вокруг оси Ox

3 x , y 6 , x 0 ,

(0 x 2) ,

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

мощью формулы трапеций

мощью формулы трапеций

приближенное значение

приближенное значение

/2

1

2 x3

3 cos x dx

x

dx

0

0

На каком расстоянии от начально-

Вертикальная плотина имеет фор-

го положения будет

находиться

му трапеции. Вычислить давление

тело,

брошенное

вертикально

воды на плотину, если известно,

8. вверх с начальной скоростью V0 ,

8.

что верхнее

основание

плотины

через t

с от момента бросания (без

a 70 м ,

нижнее

основание

b 50 м ,

а

высота

плотины

учета сопротивления воздуха)?

h 20 м

ВАРИАНТ 15

ВАРИАНТ 16

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми:

кривыми:

1.

y x2 2 , y 1 / (1 x2 )

1.

x2 y2 6x 4 y 11 0 ,

y x2 5x 7

x 2(t sin t)

3

t

x 2cos

2.

y 2(1 cost)

2.

3

t

y 2sin

3(1 sin )

6sin 3

3.

3.

3

3

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y ln x , 2 2 x 2 6

4.

y2 (x 1)3 , отсеченной прямой

x 4

5.

e4 , 4 2

5.

2 1 sin , 1

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y x sin2 x , y x , 0 x ,

4 y (x 3)2 , 4 y 9 ,

вокруг оси Ox

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

мощью формулы трапеций

мощью формулы прямоугольников

приближенное значение

приближенное значение

1

12

x 2 x3 dx

x3 4 dx

0

2

При установившемся ламинарном

течении

жидкости

через

трубу

круглого

сечения

радиусом

a

скорость течения V

в точке,

нахо-

Скорость движения точки

дящейся на расстоянии

r от оси

8. трубы,

равна V

p

(a2

r2 ) . 8.

V te 0.01t . Найти путь, пройден-

4 l

ный точкой от начала движения до

Определить расход жидкости

Q .

полной остановки

‒ коэффициент вязкости,

p

–

разность давлений на концах тру-

бы, l – длина трубы

ВАРИАНТ 17

ВАРИАНТ 18

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми:

кривыми:

1.

y x3 ,

y x ,

y 2x

1.

4 y x2 ,

y 64 / (16 x2 )

x 3(2cost cos 2t)

2

1

x t

2.

y 3(2sin t sin 2t)

2.

3

t

y 3t

2cos

6cos 2

3.

3.

3 3sin

3

2

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y ex , 0 x ln 7

4.

y ln (x2 1) , 2 x 5

5.

2cos

4

5.

2 2cos , 1

4

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y ex 6 ,

y e2x , x 0 ,

y 1 / (2 8x2 ) , y 0 , x 0 ,

вокруг оси Oy

x 1 / 2 ,

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное

значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы трапеций

Сравнить

оценку и

вычисленное

Сравнить

оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

/2

1

sin 2x dx

3 2x3 dx

/4

x

0

Найти работу, совершенную при

Электрический заряд q1 , сосредо-

выкачивании

воды

из

корыта,

точенный в начале координат, от-

имеющего

форму полуцилиндра,

8.

8.

талкивает заряд q2 из точки (a, 0)

длина которого a , радиус r

в (b, 0) .

Определить работу силы

отталкивания F

ВАРИАНТ 19

ВАРИАНТ 20

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

x y2 4 , x 2 y y2

1.

x2 y2 16 ,

x2 12( y 1)

2

1

2

2.

x t

2.

x t

3

2

t

2t(3 t

) / 3

y t

y

1 cos

2 2 cos 3

3.

1

3.

2

Задания 4, 5

Задания 4, 5

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y 2

1 ex/2 ,

ln 9 x ln 64

4.

y ln sin x ,

/ 3 x 2 / 3

5. 2 4 , 0 3

5.

3sin

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной данными кривыми

6.

ной данными кривыми

y ex 6 ,

y e2x , x 0 ,

2 y (x 1 / 2)2 , 2 y 1 4 ,

вокруг оси Ox

вокруг оси Oy

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное значе-

Вычислить

приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить оценку

и вычисленное

Сравнить оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

1

2

1

dx

x 1 4x3 dx

ln(1 x

2

)

0

0

Найти силу давления воды на вер-

тикальный круговой конус с ради-

Какую работу нужно затратить,

8.

усом основания

R и высотой H ,

8.

чтобы растянуть пружину на 6 см,

погруженный

в

воду вершиной

если сила в 1 кг растягивает ее на

вниз так, что его основание нахо-

2 см?

дится на поверхности воды

ВАРИАНТ 21

ВАРИАНТ 22

Задания 1–3

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

xy 4 , x y 5 0

1.

y2 2x 9 , y x 3

4t

2

2

2.

x

, x 4 / 3

2.

x t

, x 4

3t(t

2

1)

4t

3

y

y

cos( / 4)

2sin 2

3.

3.

sin ( / 4)

1

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

x ln cos y ,

0 y / 3

4.

y arcsin ex , ln 7 x ln 2

5.

2 2sin , 1

5.

2e2 , / 4 3 / 4

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограни-

при вращении фигуры, ограни-

6.

ченной кривыми

6.

ченной кривыми

y x sin2 x , y x , 0 x ,

8y x2 , y

x

,

вокруг оси Oy

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

мощью формулы трапеций

мощью формулы трапеций

приближенное значение

приближенное значение

10

1

5 3x3 dx

ln (4 x2 ) dx

0

0

При установившемся ламинарном

течении

жидкости

через

трубу

прямоугольного сечения,

причем

основание a

велико

по

сравне-

Найти

массу стержня

длиной

нию с высотой 2b,

скорость тече-

l 1 м ,

если линейная плотность

ния

V

в

точке

(x, y)

равна

стержня

меняется

по

закону

8.

p

8.

2

2

20x 0.15x2 , где

x

– рассто-

V

b

(b y)

.

Определить

яние от одного из концов стержня,

2l

расход жидкости Q .

– коэф-

м; размерность – [кг/м]

фициент вязкости,

p

–

разность

давлений

на

концах

трубы, l –

длина трубы

ВАРИАНТ 23

ВАРИАНТ 24

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

x2 y2 4x , y2 2x

1.

y 2x , y 2x x2 , x 0 , x 2

x 8sin t

x 2cost(1 cost)

2.

,

x 4

2.

cost)

y 3cost

y 2sin t(1

4(1 cos )

2sin 3

3.

3.

4

1

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y2 2 px ,

отсеченной

прямой

4.

y ln(2cos x) , 0 x / 3

x p / 2

5.

2 2cos

5.

5cos

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y 1 / (2 8x

2

) ,

y 1 / 4 ,

y (x 2)(x 5) , y 0 ,

вокруг оси Oy

вокруг оси Oy

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное

значе-

Вычислить

приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить

оценку и

вычисленное

Сравнить оценку

и

вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

0

1 x5 dx

7

x3 36 dx

1

3

Найти силу давления на пластинку,

Скорость тела, брошенного верти-

имеющую

форму

равнобочной

кально вверх с начальной скоро-

трапеции с основаниями a

и b и

стью V0 , c учетом сопротивления

8.

высотой

h ,

погруженную в воду

8.

воздуха дается формулой

на глубину c

V c tg ( gt) / с arctg (V0 /c)

Найти высоту поднятия тела. t –

протекшее время,

g

– ускорение

силы тяжести и c

– постоянная

ВАРИАНТ 25

ВАРИАНТ 26

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

y (x2 1)2 , y 0

1.

y x2 / 4 , y 8 / (4 x2 )

3

t / 4

x 2cost cos 2t 1

x cos

2.

2.

sin 2t

3

y 2sin t

t / 4

y sin

8cos

4cos 2

3.

3.

3sin

2

8 3

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

4.

y ex/2

e x/2 ,

от

(0, 2)

до

4.

y 1 ln cos x ,

0 x / 4

(x, y)

5.

3 3 ,

0 4

5.

3cos3

3

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

x 3 , x 6 ,

y x2 ,

y 2

x

,

xy 9 ,

y 0 ,

вокруг оси Oy

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить

приближенное

значе-

Вычислить приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы трапеций

Сравнить

оценку

и

вычисленное

Сравнить

оценку

и

вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

1

1

2x

sin x dx

dx

0

x 1

0

ln (1 x)

Вычислить кинетическую энергию

Скорость

точки

изменяется

по

однородного

круглого цилиндра

закону V 2(6t2 t)

(размерность

8.

плотностью с радиусом R и

8.

V – [в м/с]). Каково наибольшее

высотой h ,

вращающегося с угло-

удаление

точки

от

начала

дви-

вой скоростью вокруг его оси

жения?

ВАРИАНТ 27

ВАРИАНТ 28

Задания 1–3.

Задания 1–3.

Найти площадь фигуры, ограниченной

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми

кривыми

1.

x2 y2 41 ,

xy 20 ,

x 0 ,

1.

y x2 3x , y 3x 4 0

y 0

1 / (t

2

1)

x 2 / 3cost 1 / 3cos 2t

x 1 / 2

2.

2.

2

1)

y 2 / 3sin t 1 / 3sin 2t

y t 1 / 2 1 / (t

4(1 sin )

6cos3

3.

3.

4

3

Задания 4, 5.

Задания 4, 5.

Найти длину дуги плоской кривой

Найти длину дуги плоской кривой

x

1 ,

4

4.

y ln ex

1 x 2

4.

y2 9 (2

x)3 , отсеченной прямой

e

1

x 1

1 cos ,

1

5.

5.

4e ,

0 / 2

Найти объем тела, образованного

Найти объем тела, образованного

при вращении фигуры, ограничен-

при вращении фигуры, ограничен-

6.

ной кривыми

6.

ной кривыми

y

2

4x , y x ,

y 2

x

,

y 2 log2 x , x 0 ,

вокруг оси Oy

y 0 ,

вокруг оси Ox

Оценить интеграл

Оценить интеграл

Вычислить приближенное

значе-

Вычислить

приближенное значе-

ние определенного интеграла с по-

ние определенного интеграла с по-

7.

мощью формулы трапеций

7.

мощью формулы прямоугольников

Сравнить оценку и вычисленное

Сравнить

оценку и вычисленное

приближенное значение

приближенное значение

2

dx

1

x

sin x dx

1

5

0

x

0

Какую работу нужно затратить,

чтобы выкачать воду из цилиндри-

Скорость

тела

дается формулой

ческого

котла,

наполненного до

V 2t2 3t

м/с. Найти путь,

8.

половины, если ось котла горизон-

8.

тальна,

радиус

сечения

R 1 м ,

пройденный телом за первые 10 с

длина котла3 м

и воду надо под-

после начала движения

нять до верхней образующей котла?