Избранные разделы высшей математики. Выпуск 7. Методы аппроксимации функций. Учебное пособие
.pdf
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ И СПОРТА
КАФЕДРА ТИП ФМД
В. В. ЕЗЕРСКИЙ
ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Выпуск 7
МЕТОДЫ
АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ
Учебное пособие
Омск 2011
Рецензенты:
И. Т. Лысаковский, канд. пед. наук, профессор; Г. А. Заборский, канд. пед. наук, доцент
Езерский, В. В. Избранные разделы высшей математики : учебное пособие. Вып. 7. Методы аппроксимации функций / В. В. Езерский. – Омск : Изд-во СибГУФК, 2011. – 52 с.
Учебное пособие подготовлено в соответствии с государственным образовательным стандартом по дисциплине «Математика» для студентов вузов физической культуры и спорта. Материал пособия состоит из 12 выпусков, каждый из которых посвящен отдельному разделу математики и включает соответствующие авторские разработки.
Учебное пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения, аспирантов и преподавателей.
Сведения об авторе: кандидат технических наук,
профессор кафедры теоретических и прикладных физико-математических дисциплин СибГУФК
Печатается по решению редакционно-издательского совета университета
© ФГОУ ВПО СибГУФК, 2011
|
|
Этот и другие выпуски серии учебных пособий адресован студентам физкультурных вузов и предназначен для самостоятельного изучения и
закрепления тех фрагментов курса МАТЕМАТИКИ, которые (из-за недостатка времени) не «озвучиваются» в ходе аудиторных занятий (лекций, семинаров и т. п.).
Учебный материал, который можно найти в учебниках и лекциях, в данном пособии излагается в краткой, справочно-конспективной форме.
Таким образом, данная серия, не подменяя стандартные учебники, дает дополнительную возможность более широкой и осмысленной проработки
тематики соответствующего образовательного стандарта.
Для удобства пользователей во всех выпусках приведены полный состав серии (на внешней стороне обложки) и вопросы для контроля результатов
самоподготовки (на внутренних сторонах обложки).
Советы по поводу повышения результативности самостоятельной проработки терминологии, понятийного аппарата и практического
использования математики носят сугубо рекомендательный характер. Эти рекомендации – всего лишь моя личная точка зрения на некоторые проблемы математического самообразования, которая сложилась у меня в результате многолетнего опыта «общения» с этими проблемами.
Возможно, учет подобного опыта поможет неофитам избежать типичных ошибок и заблуждений, которые сопровождают математику на протяжении всего пути ее развития, становления и изучения.
АВТОР
Опять неизвестная дорога в никуда!..
Спокойно. Это всего лишь математика.
Содержание
1 |
ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ |
|
АППРОКСИМАЦИИ |
|
|
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ |
|
|
ЗАВИСИМОСТЕЙ ............................... |
5 |
|
1.1 |
Первоначальные сведения об идее |
|
аппроксимации. Основные понятия |
|
|
и термины ................................................. |
5 |
|
1.2 |
Простейшие примеры аппроксимации |
|
величин и функций ................................ |
10 |
|
2 |
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ .... |
17 |
2.1 |
Общие положения .......................... |
17 |
2.2 |
Ряды Тейлора и Маклорена ........... |
23 |
2.3 |
Ряды Фурье ..................................... |
29 |
3 |
О МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ |
|
КВАДРАТОВ (МНК) .......................... |
33 |
|
3.1 |
Общие сведения о методе .............. |
33 |
3.2 |
Основные принципы Метода |
|
Наименьших Квадратов ......................... |
35 |
|
3.3 |
Простейшие примеры МНК- |
|
аппроксимации....................................... |
37 |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ................................... |
41 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 1........................................ |
41 |
О Ньютоне |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2........................................ |
46 |
Тейлор Брук (Taylor). БИОГРАФИЯ. |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 3........................................ |
47 |
Колин Маклорен. |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 4........................................ |
48 |
Жозеф Луи Лагранж. |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 5........................................ |
49 |
Жан Фурье. |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 6........................................ |
50 |
Биография Карла Теодора Вильгельма |
|
Вейерштрасса. |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 7........................................ |
51 |
Чебышѐв Пафнутий Львович. |
|
Глава 1
1 Общие проблемы аппроксимации функциональных зависимостей
1.1 Первоначальные сведения об идее аппроксимации. Основные понятия и термины
Справочная
информация
Как и в предыдущих выпусках данного Пособия, знакомство с новым термином целесообразно начать с изучения его лексического (т. е., «языкового», разговорного) содержания.
(Заимствовано с сайтов Интернет: Яндекс_Словари.)
Большая советская энциклопедия
АППРОКСИМАЦИЯ – (от лат. approximo – приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. А. позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются А. кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены А.; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль А. в математике непрерывно возрастает. В настоящее время А. может рассматриваться как одно из основных понятий математики.
С. Б. Стечкин
Материал из Википедии – свободной энциклопедии
АППРОКСИМАЦИЯ, или ПРИБЛИЖЕНИЕ – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, …1 … В переносном смысле употребляется в философии как метод приближения,
указание на приблизительный, неокончательный характер. Например, в таком смысле термин «аппроксимация» активно употреблялся Сереном Кьеркегором (1813—1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…» Примеры:
Для приближенного вычисления интеграла используется формула прямоугольников или формула трапеций, или более сложная квадратурная
1 Далее дословно цитируется текст из БСЭ, приведенный выше.
5
формула. Фактически при этом происходит приближение подынтегральной функции ступенчатой функцией или вписанной ломаной. Для вычисления значений сложных функций часто используется вычисление значения отрезка ряда, аппроксимирующего функцию.
Словарь методических терминов
АППРОКСИМАЦИЯ (лат. approximare – приближаться). Обучение иноязычному произношению, ограниченное приближением к нормативному произношению и допускающее «снисходительное отношение» к фонетическим ошибкам, не нарушающим коммуникации. Однако А. не должна допускать искажения в речевом потоке звуков, имеющих смыслоразличительное значение.
Орфографический словарь
АППРОКСИМАЦИЯ, -и.
Об использовании
термина
В математизированых текстах (научных и учебных) термином «аппроксимация» могут обозначаться
а) и соответствующие действия (процессы) приближения к неизвестной истине, б) и достигнутые на определенном этапе результаты соответствующих действий,
в) и, даже, конкретные «технологические» способы совершения этих действий.
П 1.1.1
а) «При использовании таблиц Брадиса, значения тригонометрических функций для промежуточных значений аргумента можно использовать линейную интерполяцию1».
б) |
«После третьего шага извлечения корня второй степени2 получим |
|
14,1 ». |
||
200 |
|||||
в) |
«Достаточно хорошим приближением тригонометрических функций sinx и cosx на |
||||
интервале |
|
π является их аппроксимация конечными степенными рядами».3 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
О познавательной На первый взгляд, аппроксимация соотношений между
природе |
избранными величинами (или отдельных конкретных |
|
|
аппроксимации |
значений этих величин) с помощью соответствующих |
|
приближений связана лишь с неполнотой наших знаний о свойствах изучаемых объектов и явлений, а также – с несовершенством реальных действий или (и) математических моделей, используемых для описания этих свойств.
1Одна из разновидностей аппроксимации изменения функции на конечном интервале. (См. далее в Теме).
2См. Вып.5, Приложение 6.
3См. далее в Теме
6
Вышесказанное справедливо в полной мере лишь:
для простейших случаев описания результатов практических (физических) измерений тех или иных количественных свойств объектов и явлений реального мира;
для «обоснования» самоочевидного положения парадигмы1 современной (и древней) науки о том, что наши знания носят не абсолютный, а относительный характер.
Вто же время, уже на самых ранних этапах освоения математической культуры (в школе или на первых курсах вуза) мы сталкиваемся с совершенно
иными, не столь «примитивными», случаями использования различных ипостасей метода аппроксимаций2. Например:
При описании результатов измерения физических величин (масс, протяженностей, продолжительностей и т. п.) и арифметических действий над ними используется намеренное «загрубление» этих результатов. (См. далее в Теме 1.2 фрагмент «Округление…»)
В Дифференциальном и Интегральном исчислениях, которые опираются на Теории пределов, невозможные в реальности действия над бесконечно малыми величинами аппроксимируются соответствующими действиями над
конечными «сколь угодно малыми» величинами. (См. Выпуск 5,)
При описании функциональных зависимостей величин используются функциональные бесконечные ряды (примеры см. в Гл. 2 данного Вып.), которые –
–при грамотном усечении дают возможность определения с достаточной (для практики) точностью конкретных реализаций функции;
–зачастую позволяют интерпретировать3 отдельные слагаемые ряда как «физические» причины изучаемой зависимости. (Например, «исходное положение», «скорость», «ускорение» и т. д., и т. п.).
…
Приведенный выше перечень различных аппроксимаций может быть неограниченно расширен по областям и целям их применения, по характеру аппроксимирующих функций и расчетных процедур, по «точности» и затратам для ее достижения, а также по многим иным, заранее не предсказуемым признакам.
Фрагменты использования метода аппроксимаций явно или косвенно вмонтированы практически во все разделы Математики. При этом обоснование выбора конкретных видов аппроксимации и использования ее
1См. Тему 1.1 в Вып.5.
2См. выше классификацию (а), (б), (в).
3Интерпретация (лат. interpretatio) – истолкование, объяснение, разъяснение (БСЭ).
7
результатов не сводится к определенной формально-логической процедуре, а является творческим процессом, адекватным1 сложившейся познавательной ситуации.
Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Т. В. Вейерштрасс2)
Здесь будет уместным заметить, что подобно тому, как стихи обычных (литературных) поэтов доступны для восприятия и понимания «обычным» читателем_не_поэтом3, так и творения «поэтов-математиков»4 могут быть поняты и успешно использованы специалистом_не_математиком3.
Следует иметь в виду, что «механическое» заучивание понятий,
терминов и приемов теории аппроксимации вне связи с конкретными целями использования этой теории не имеет познавательного смысла
из-за неопределенно-большого разнообразия как самих этих целей, так и способов их достижения. Поэтому основное внимание при изучении теории аппроксимации следует обращать на основные принципы практического применения этой теории. Эти принципы, по сути дела, являются уже рассмотренными ранее (см. Вып. 4) принципами адекватности выбора способа описания (отображения) функциональной связи величин.
А. Должна быть обоснована целесообразность приближенного описания функции или отдельных ее значений. Например, округление чисел с целью возможности использования их в практической деятельности (величина платы за товар, спортивный результат и т. п.).
Б. Должен быть ясен возможный уровень расхождения между изучаемым объектом и результатом его аппроксимации (погрешность). Эта погрешность может выражаться либо конкретным числом (а), либо доказанным фактом ее уменьшения по мере увеличения номера шага аппроксимации (б). Например:
а) Число «точных» (значащих) цифр в результате расчета конкретного значения функции y(x) 
x равно числу шагов стандартной процедуры извлечения квадратного корня (см. Приложение 6 в Вып. 5).
б) Аппроксимация длины окружности периметром правильного n-угольника, вписанного в нее, тем точнее, чем больше число сторон n (увеличение обычно осуществляется методом удваивания).
В. Использование аппроксимации должно упрощать решение познавательной задачи, сводя ее к уже известному и (или) хорошо изученному. Например,
представление неизвестной функции в виде степенного или иного функционального
1Подробное истолкование термина «адекватный» см. на стр. 13 в Теме 1.2 Вып.4.
2См. Приложение 4.
3Разумеется – должным образом образованным!
4Т.е. людей компетентных в математике (см. определение Д. Гильберта в Вып.1).
8
ряда позволяет сводить решение некоторых дифференциальных уравнений (см. Вып. 6) к решению соответствующих алгебраических уравнений.
Г. Избираемый метод аппроксимации должен быть адекватен уровню математической подготовки познающего субъекта. Например, использование аппроксимации гладкой функции рядом Тейлора предполагает знакомство с основами дифференциального исчисления.
Д. Крайне желательно чтобы компоненты аппроксимации функций, описывающих соотношения между количественными проявлениями свойств объектов реального мира, допускали интерпретацию (истолкование) в терминах соответствующих законов природы (что подразумевает и одновременное выполнение требований А, Б, В, Г). Например, видимый свет,
излучаемый Солнцем, может быть описан как непрерывный спектр электромагнитных колебаний с длинами волн от 380 до 780 нм1. Отдельные участки этого спектра наш глаз воспринимает как различные цвета (от фиолетового до красного, соответственно). Однако «ощущение» любого цвета может быть получено с помощью суммирования всего трех цветов – красного, зеленного и синего. Последний факт лежит в основе осуществления современного цветного телевидения.
Что же касается конкретных разновидностей аппроксимации, то их
перечень не исчерпаем по составу и разнообразию. Поэтому «заучивание» подобного перечня не имеет смысла. Так же, как и при
изучении других разделов Высшей математики, освоение конкретных приемов аппроксимации (за исключением простейших, «учебных» примеров) целесообразно осуществлять «методом сопровождения»2, т. е., по мере возникновения практической необходимости в них.
Погрешность
аппроксимации
Количественной мерой «удачности» замены исходной функции y(x) в точке x ее приближенным значением
(результатом аппроксимации) y (x) y(x) , является
абсолютная погрешность (ошибка) аппроксимации: y (x) y (x) y(x).
На основе данного определения могут быть созданы и обобщенные оценки, характеризующие точность избранного вида аппроксимации не в отдельных точках, а во всем избранном диапазоне значений аргумента 3.
На практике прямой подсчет погрешности может быть затруднен тем, что
само правило y(x) бывает неизвестным, а его приближение y (x) конструируется на основание известных проявлений (теоретических или
экспериментальных) отдельных свойств этого правила.
11 нм = 10-9 м.
2См., например, Тему 1.1 в Вып.2.
3Об этом подробнее см. далее в Главе 3.
9
1.2Простейшие примеры аппроксимации
величин и функций
Ниже в данной Теме рассматриваются примеры «приблизительных» описаний функциональных зависимостей и результатов вычисления количественных показателей, с которыми мы сталкиваемся уже при изучении «школьной» (в том числе – и азов «высшей»!) математики.
К сожалению, в силу сложившихся традиций, при первом знакомстве с
идеями аппроксимации учитель направляет наше внимание на технологию соответствующих действий, а не на их познавательный смысл. Т. е. мы
научаемся, как отвечать на стандартные вопросы и разрешать стандартные проблемы, не задумываясь над тем, зачем и почему необходимо действовать именно подобным образом.
В реальной жизни ответ на вопрос «что делать?» в каждом конкретном случае не извлекается из перечня стандартных действий, а является заранее не определяемым результатом содержательного анализа решаемой проблемы.
Округление
количественных
результатов
Ниже приводится дословный текст статьи (с несущественной правкой орфографии), заимствованный на сайте Интернет: http://bse.sci-lib.com/article084003.html
Значение слова «ОКРУГЛЕНИЕ» в Большой советской энциклопедии:
ОКРУГЛЕНИЕ числа – приближѐнное представление этого числа в некоторой системе счисления с помощью конечного количества цифр. Необходимость Округления диктуется потребностями вычислений, в которых, как правило, окончательный результат не может быть получен абсолютно точно, и следует избегать бесполезного выписывания лишних цифр, ограничивая все числа лишь нужным количеством знаков.
При Округлении числа оно заменяется др. числом (t-разрядным, т. е. имеющим t цифр), представляющим его приближѐнно. Возникающую при этом погрешность называют погрешностью Округления или ошибкой
Округления.
Применяются различные способы Округления числа. Простейший из них состоит в отбрасывании младших разрядов числа, выходящих за t разрядов. Абсолютная погрешность Округления при этом не превосходит единицы t-го разряда числа. Способ Округления, обычно применяемый в ручных вычислениях, состоит в Округлении числа до ближайшего t-разрядного числа. Абсолютная ошибка Округления при этом не превосходит половины t-го разряда округляемого числа. Этот способ даѐт минимально возможную ошибку среди всех способов Округления, использующих t разряды.
10