Избранные разделы высшей математики. Выпуск 7. Методы аппроксимации функций. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

В том случае, если n , бесконечную сумму

В том случае, если n , бесконечную сумму

принято называть просто степенным (относительно аргумента z) рядом1.

Если степенной ряд предполагается

использовать

аппроксимации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Отсюда следует, что если Р. (*) сходится, то lim un 0 .

…

Функциональные ряды. Понятие Р. естественным образом обобщается на случай, когда членами Р. являются функции un = un (x) (действительные, комплексные или, более общо, функции, значения которых принадлежат какому-то метрическому пространству), определѐнные на некотором множестве Е. В этом случае ряд

un , x E .(**)

n 1

называется функциональным.

Если Р. (**) сходится в каждой точке множества Е, то он называется сходящимся на множестве Е… Сумма сходящегося Р. непрерывных, например, на некотором отрезке,

функций не обязательно является непрерывной функцией. Условия, при которых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм функций, формулируются в терминах равномерной сходимости Р. …

Критерий Коши: для того чтобы Р. (**) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε существовал такой номер nε, что для всех номеров п > nε, р> 0 и всех точек x E выполнялось неравенство

n p

uk x .

k n

Признак Вейерштрасса: если существует такой сходящийся положительный

числовой Р. an .,

n 1

что un an, x E, n 1,2, , то Р. (**) равномерно сходится на Е.

Сумма равномерно сходящегося Р. непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося Р. интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и Р. можно почленно интегрировать. Если последовательность частичных сумм Р. интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой почти всюду сходящейся последовательности частичных сумм является равномерной функцией и равен сумме Р. из интегралов от членов Р. Интегрируемость в этих теоремах понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования Р. с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке Р. (**) дифференцируемы на нѐм и Р. из их производных сходится равномерно, то сумма Р. также дифференцируема на этом отрезке и Р. можно почленно дифференцировать.

Понятие функционального Р. обобщается и на случай кратных Р. В различных разделах математики и еѐ приложениях широко используется разложение функции в функциональные Р., прежде всего в степенные ряды, тригонометрические ряды и, более общо, – в Р. по специальным функциям некоторых операторов.

К понятию бесконечных сумм подошли ещѐ учѐные Древней Греции, у них уже встречалась сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем меньшим единицы. Как самостоятельное понятие Р. вошѐл в математику в 17 в. И. Ньютон и Г. Лейбниц систематически использовали Р. для решения уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. Формальная теория Р. успешно развивалась в 18–19 вв. в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Д' Аламбера, Ж. Лагранжа и др. В этот период использовались как сходящиеся, так и расходящиеся Р., хотя не было полной ясности в вопросе о законности действий над ними. Точная теория Р. была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и др.

Л. Д. Кудрявцев

Литература:

Маркушевич А. И., Ряды. Элементарный очерк, 3 изд., М., 1957; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1–2, М., 1971–73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1–2, М., 1973; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.

Приведенный выше текст компактно и, в то же время, достаточно полно излагает основные идеи разложения функций в функциональные ряды, имеющие стандартную структуру. Для более глубокого освоения этой идеи, на мой взгляд, полезно ознакомиться с биографиями некоторых ее «разработчиков» (см. Приложения 1 7).

Следует указать на тот факт, что в XVII – XIX вв. практически все  ученные (в том числе математики и физики) были людьми истинно верующими и поэтому считали, что все сущее было сотворено Богом.

Более того, многие мыслители полагали, что Бог не только сотворил наш мир, но и дал ему первоначальный толчок, который привел этот мир в движение (изменение) и, тем самым, предопределил его состояние в любой последующий Сотворению момент времени.1

Не удивительно, что указанные теологические2 представления нашли косвенное отражение и в Теории функциональных рядов и в ее приложении к решению задач теоретической и инженерной механики.

Например, при достаточно общих условиях, знание значения функции и всех ее производных в конкретной точке x=x0 позволяет рассчитать с любой заданной точностью значения этой функции в других точках окрестности x0.

(См. далее Ряды Тейлора и Маклорена.)

1Не правда ли, что это так напоминает современную теорию «большого взрыва»?!

2т. е., – религиозные, богословские.

2.2Ряды Тейлора и Маклорена

Общий вид

степенного ряда и свойства его производных

Конечным степенным (относительно аргумента z) рядом,

содержащим n+1 слагаемое, называется выражение вида:

Rn(z) A0	A1z A	2z 2	Ai zi Anzn
			n
	A0		Ai zi
		i	1

функции f(x) в окрестности избранной точки x0, то обычно выбирают z = x – x0. Очевидно, что при таком выборе значению x = x0 соответствует значение z = 0.

A. Результатами дифференцирования

или интегрирования

степенного

ряда

являются также степенные ряды, соответственно:

dRn(z)

i 1

dR(z)

i 1

Rn(z)

iAiz

, R (z)

iAiz

;

i 2

(z)dz C

i 1

, R(z)dz C

i 1

i 0

i (i

Очевидно, что приведенные выражения легко приводятся к стандартному виду2 с помощью простого переименования индексов слагаемых.

B. Численное значение любого степенного ряда, определенного выше, в точке z=0 совпадает со значением коэффициента в слагаемом, явно не содержащем аргумента z, т. е. Rn (0) R(0) A0 . (Разумеется, данное правило

распространяется и на результаты действий, описанных в (A).)

1Здесь так же, как и в общем определении (см. цитату из БСЭ в Теме 2.1), бесконечность ряда предполагается по умолчанию. При этом соответствующие конечные ряды иногда именуются усеченными рядами. Некоторые авторы конечный ряд Rn называют частичной суммой (бесконечного) ряда R.

2См. выше определение Степенного ряда.

В данном пособии при описании использования конкретных

!!! разновидностей функциональных рядов для аппроксимации тех или иных функций не приводятся строгие математические обоснования возможности совершения подобных действий. Такое ограничение обусловлено характером и объемом образовательного стандарта по Математике для спортивно-педагогических вузов. При необходимости соответствующие знания могут быть получены из более глубокой учебно-справочной литературы. При этом следует иметь в виду, что подобное «дообразование» потребует более глубокого изучения и

других, уже рассмотренных здесь, разделов Высшей Математики.

Ряд Тейлора	Если функция f(x) в интервале Q: (x0 – q, x0 + q), q > 0
	разлагается в степенной ряд1 R(x – x0), т. е. может быть
	представлена в виде:

f(x) R(x x0) A0		Ai(x x0)i, x Q ,
f(x) R(x x0) A0		Ai(x x0)i, x Q ,
	i	1

то, оказывается, что неизвестные коэффициенты Ak этого разложения могут быть легко найдены с помощью свойств (A) и (B) (см. выше).

Действительно, в этом случае:

f(x 0)

R(0) A0,

A1,

f (x0)

R (0)

(k)(x

) R(k)(0) k!A

где f (k )(x)

dk f

– производная k-го порядка,

dxk

k! = 1 2 3 … k. – "ка – факториал";

отсюда следует, что

f (k)(x0)

Таким образом, окончательно можно записать:

(k)

f(x) f(x

)

(x0)

(x x

)k , x Q

k 1

Указанная выше разновидность описания функции f(x) называется ее разложением в ряд Тейлора 1.

1 Возможность и особенности такого разложения будут обсуждены в данной Теме несколько ниже.

Ряд Маклорена

Рядом Маклорена2 называется частный случай ряда Тейлора

для x0 = 0; в этом случае разложение в ряд принимает вид:

						(k)
	f(x) f(0)				f	(0) (x)k, x Q.
				k 1		k!
Некоторые	Совершенно очевидно, что наблюдаемое различие между рядами
практические	Тейлора	и	Маклорена			носит чисто	внешний, формальный
аспекты	характер.	В	обоих		случаях функция		описывается степенным
разложения

функции в ряд	рядом отклонений аргумента x от точки, в которой определены
Тейлора	значение самой функции и всех ее производных (это либо x = x0 –

(Маклорена)	для ряда Тейлора, либо x = 0 – для ряда Маклорена).

В учебно-справочной литературе при описании разложения функции в ряд Тейлора часто используется обозначение x=x – x0:

(k)

f(x 0 Δx) f(x

)

(x0)

Δxk,

Δx

k 1

Очевидно, что с помощью формальной замены обозначений f(x) = f(x0+ x) = ( x) последняя запись преобразуется и ряд Маклорена:

		(k)
Δx (0)		(0)	Δxk,	Δx	q .
Δx (0)		(0)	Δxk,	Δx	q .
	k 1	k!
	k 1	k!

Из приведенных рассуждений следует, что все свойства рядов Тейлора и Маклорена идентичны друг другу и не требуют отдельного, «персонального» изучения3.

!!!Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора (Маклорена)

 она должна быть (на контролируемом интервале Q) абсолютно гладкой1, т. е. и она сама, и ее производные любого порядка должны быть непрерывными на этом интервале.:

1См. Приложение 2.

2См. Приложение 3.

3Именно этот факт имеется в виду в заголовке «Разложение в ряд Тейлора (Маклорена)».

О погрешности

аппроксимации

соответствующий степенной ряд (на контролируемом интервале Q) должен сходиться к аппроксимируемой функции, т. е

lim Rn (x) f (x) .

П 2.2.1.

Разложение вида
ln(1 x) x	x2		x3		x4		x5

2		3		4		5

возможно лишь в интервале x 1. При x 1 функция x 1 – ряд в правой части расходится.

xk 1

( 1)k k 1

ln (1 x) не определена, а при

Следует иметь в виду, что столь «жесткие» требования к гладкости  функции и сходимости аппроксимирующего ряда распространяются только на случай аппроксимации с помощью рядов Тейлора и Маклорена,

число слагаемых которых может быть сколь угодно велико, а погрешность

аппроксимации – сколь угодно мала. В то же время существуют методы приближенного описания «негладких» (на ограниченном интервале) функций с помощью конечных степенных рядов2

Если функция f(x) разложима в степенной ряд (например, – Тейлора или Маклорена), то это разложение может быть представлено в виде суммы двух слагаемых – конечного

(усеченного) аппроксимирующего ряда и остаточного члена:

f(x) Rn (x) rn (x).

Для ряда Тейлора:

r f(x) R		(x)		f	(i)(x	0	)	Δxi ,		q .
	n					0			Δx
									Δx
n			i n 1		i!
			i n 1		i!
Очевидно, требования lim R			f (x)	и	lim r			0 эквивалентны друг другу.
n	n				n n

Поэтому численное значение остаточного члена rn при конкретном значении n,

1См. Тему 2.4 в Вып. 5.

2См., например, в данном Выпуске Гл. 3.

Подобная оценка называется «остаточным членом ряда Тейлора в форме Лагранжа1». (В литературе можно найти и другие «именные» формы оценки этой величины.)

Таким образом, при использовании усеченного ряда Тейлора (Маклорена) можно быть уверенным, что погрешность аппроксимации в точке x0 Δx

f(x

Δx) R

Δx)

max

f (n 1)(x0 ξΔx)

Δxn 1

, 0 ξ 1.

(n 1)!

П 2.2.2.

На Рис.2.1 показаны усеченные ряды Маклорена различной протяженности для функции y=sinx. Хорошо видно, что погрешность такой аппроксимации заметно уменьшается по мере

–сужения контролируемой области x;

–увеличения числа элементов (n).

Легко установить, что производная любого порядка для данной функции в области ее существования по модулю не превосходит 1 (т. е., (sin x)(n+1) 1).

Поэтому, например, для n=7 и x /2 форма Лежандра дает оценку погрешности аппроксимации как

	sinx R			(x)	1	π	8		x	π	.
	sinx R		7	(x)			0,001;		x		.
			7		8!	2				2
					8!	2				2
				2		y
				2
				1
				0							x/
				0
-1,2	-0,8	-0,4			0		0,4	0,8		1,2
				-1							y=sinx
											n=1
				-2							n=3
				-2
											n=5
											n=7
					Рис. 2.1
	Варианты аппроксимации функции y=sinx
	усеченными рядами Маклорена (n=1, 3, 5, 7)

 Так же, как и при освоении других «прикладных» разделов математики, не следует особенно много внимания уделять абстрактному изучению

1 См. Приложение 4.

примеров разложения в функциональные ряды конкретных функций. Подобное изучение должно носить сопровождающий характер в ходе решения реальных задач, требующих использования соответствующих вычислительных действий1.

Примеры разложения в ряды Тейлора и Маклорена

( 1)

n 1

3 )!!x

( 1)

j 1

1 x 1

( 2n

( 2 j 3 )!!x

; x 1;1

( 2n)!!

j 1

( 2 j)!!

( 1)n 1xn

( 1) j 1x j

ln(1 x)

; x ( 1;1]

j 1

2n 1

2 j 1

; x 1;1 .

arctgx x

( 1)n

( 1) j

2n 1

j 1

2 j 1

ex 1

; x ; .

j 0

( 1)

n 1

2n 1

j 1

2 j 1

sinx x

(

; x ; .

( 2n 1)!

j 1

( 2 j 1)!

( 1)

n 1

2n 2

j 1

2 j 2

cosx 1

( 1)

; x ; .

(2n 2)!

j 1

(2 j 2)!

Заметим, что современные вычислительные технологии для определения конкретных значений широкого класса функций основаны на аппроксимации этих функций функциональными рядами (в том числе рядами Тейлора и Маклорена). Однако соответствующие «формулы» уже встроены в программное обеспечение современных калькуляторов и компьютеров, что освобождает пользователей от необходимости ввода этих формул в вычислительное устройство.

1Например, при решении некоторых дифференциальных уравнений (см. в Вып. 6).

2Двойной факториал числа k обозначается k!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,k], имеющих ту же чѐтность что и k. По определению полагают 0!! = 1.

2.3 Ряды Фурье

Ортогональные	Материал из Википедии — свободной энциклопедии
	Материал из Википедии — свободной энциклопедии
функции	Две вещественные функции φ1(x) и φ2(x) на интервале [a,b]
	Две вещественные функции φ1(x) и φ2(x) на интервале [a,b]
	называются ортогональными, если
	b
	1(x) 2(x)dx 0
	a

Множество функций {φ1(x), φ2(x), …, φn(x), …}, любая пара из которых удовлетворяют условию ортогональности, определенному выше, называется системой ортогональных (на интервале [a,b]) функций.

При этом, по умолчанию полагается, что при i≠j:

		i(x) j(x)dx 0 ,
		a
а при i=j и при φj(x) ≠0:
b			b
		(x) (x)dx	j2(x)dx 0 .
a	i	j	a
a			a

П 2.3.1.

a)Функции φ1(x) = x и φ2(x) = 1 ортогональны на интервале [-1;1].

1 1 1

xdx 0 , а 12 dx 2 0 и x2 dx 1 0

b)Множество тригонометрических функций

1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sinnx, cosnx, … является системой ортогональных

функций на интервале [- ; ], т. к.


1 sinnxdx		1 cosmxdx		sinnx cosmxdx 0 , при любых значениях n>0 и m>0;


sinmx sinnxdx			cosnx cosmxdx 0 , при n≠m.

							0 , при любых n>0 и m>0.
В то же время,		12 dx 2 0; cos2 mxdx				sin2 nxdx

	Заметим,		что умножение		элементов описанного множества функций на
	постоянные действительные числа (коэффициенты) не нарушает свойство
	ортогональности			этой системы.		Иными	словами, система функций

a0, a1sinx, b1cosx, a2sin2x, b2cos2x, …, ansin(nx), bncos(nx), … также является ортогональной!

Тригонометрический

ряд Фурье

Под тригонометрическим рядом понимается бесконечная сумма элементов системы функций, определенной выше в

Примере 2.3.1.b:

a0
a0		.
2		.
2		(ansinnx bncosnx)
	n	1

Если функция f(x) на отрезке [- ; ] может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье1, т. е.

	(	)	a0		,
f		x			(ansinnx bncosnx)
f		x	2		(ansinnx bncosnx)
				n	1

и указанный ряд равномерно сходится на этом интервале2, то коэффициенты ряда определяются правилами:

f(x)dx;

π π

f(x)sin(nx)dx; ().

π π

f(x)cos(nx)dx.

В расчетной практике следует иметь в виду специфические особенности

использования правил ():

Эти

правила справедливы

и в

том

случае,

если

изучаемая функция

является периодической с периодом 2 , т.

е. если для

x R3 выполняется

условие f(x)= f(x+2 k), где k=1, 2, …, N, …

Если функция f(x) –

нечетная (т. е. f(-x)= –

f(x)), то a0=0, bn = 0 и ряд

принимает вид f (x)

sinnx.

n 1

c) Если функция f(x) – четная (т. е. f(-x)= f(x)), то a0

и ряд принимает вид

f (x)

b cosnx .

n 1

1Вопросы представимости функций рядами Фурье в данном Пособии не рассматриваются.

2См. выше в Теме 2.1. цитату из БСЭ.

3Следует вспомнить, что символ « » означает «для любых…».

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]