Избранные разделы высшей математики. Выпуск 7. Методы аппроксимации функций. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

рядом Фурье, то

bncos nx )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

d) Если функция f(x) определена на отрезке [-l;l] (или является периодической с периодом 2l) и может быть представлена тригонометрическим

		1		l
a	0	1		f(x)dx;
	0	l	l
		l	l
l				nx
	f(x)sin			nx
	f(x)sin			l	dx; ().
l				l
l
l
	f(x)cos nx dx.
l				l
l

В общем случае периодической функции для каждого фиксированного

значения n можно произвести замену слагаемых ряда:

sin nxπ b

cos nxπ

sin( nxπ

) ,

где c

;

arc tg

П 2.3.2. На Рис.

2.2 показан результат аппроксимации функции

y signx

на

интервале [- ; ] с помощью конечных рядов Фурье.

1,5

-6

-4

-2

-1

-1,5

Рис. 2.2 Аппроксимации функции y signx на интервале [- ; ]

с помощью конечных рядов Фурье (n=1, 2 ,3).

Если аргументом исходной периодической функции является время t (например, в случае описания периодических колебаний напряжения

U(t)=U(t+kT) в некоторой электрической цепи), то величина F

называется

частотой

подобных

изменений,

слагаемые

ряда

Фурье

( )

(

)

называются

гармониками

функции

U t

sin 2 nFt

U(t). При этом величины

un и φn интерпретируются1, соответственно, как

амплитуды и фазы этих гармоник.

Интересно отметить,

что при изучении реальных

периодических процессов

(например, в Теориях механических колебаний, акустических и электромагнитных волн и т. п.) разложение соответствующих функций на

гармоники имеет не только сугубо математический, описательный смысл, но и может быть осуществлено с помощью реальных физических устройств (т. н. фильтров). Более того, указанные периодические процессы могут быть физически синтезированы из гармонических составляющих соответствующей природы с

помощью простого суммирования этих составляющих2.

	Ряд Фурье	В общем случае произвольной ортогональной системы
	общего вида	В общем случае произвольной ортогональной системы
	общего вида	функций{φ1(x), φ2(x), …, φn(x), …}, определенной на
		функций{φ1(x), φ2(x), …, φn(x), …}, определенной на
		интервале [a,b], и допускающей (на этом интервале)

представление функции f(x) в виде

f(x) c0		ck k(x)	,

	k	1

коэффициенты этого ряда могут быть вычислены по правилам:

		1		b
c		1		f(x)dx;
c	0			f(x)dx;
	0	b a a
		b a a
		b
		f(x) k (x)dx
		f(x) k (x)dx
ck		a			.
					.
		b	2
		b	2
		k (x)dx
		k (x)dx
		a

 –  – 

1Интерпретация [латин. interpretatio] (книжн.) – 1. Толкование, объяснение, раскрытие смысла чего-нибудь. И. законов. И. текста... (Толковый словарь русского языка Ушакова)

2Подобный прием используется, например, в различных синтезаторах сложных музыкальных звуков из простых («чисто синусоидальных») акустических колебаний.

Глава 3

3О методе наименьших квадратов (МНК)

3.1Общие сведения о методе

Материал из Википедии – свободной энциклопедии:

Метод наименьших квадратов – один из методов регрессионного

анализа1 для оценки неизвестных величин по результатам

Справка	измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближѐнного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке результатов наблюдений.

1 См. Литературу по Теории вероятностей и Математической статистике.

Когда искомая величина может быть
измерена непосредственно, как, нап-
ример, длина отрезка или угол, то, для
увеличения точности, измерение произ-
водится много раз, и за окончательный
результат берут арифметическое среднее
из всех отдельных измерений. Это
правило арифметической середины осно-
вывается на соображениях теории
вероятностей; легко показать, что сумма
квадратов уклонений отдельных изме-
рений от арифметической середины будет	Рис. 3.1
меньше, чем сумма квадратов уклонений	Пример кривой, проведѐнной
отдельных измерений от какой бы то ни	через точки, имеющие нормально
было другой величины.	распределѐнное отклонение
Само правило арифметической середины	от истинного значения
представляет, следовательно, простейший
случай метода наименьших квадратов.

Оценка отклонения

результата аппроксимации от истинного значения функции

I. Если в области x [a,b] определены исходная функция f(x) и результат ее аппроксимации (приближенного описания) g(x) то в каждой точке указанного интервала численное различие этих зависимостей может быть описано с помощью разности δ(x) = f(x) – g(x).

В тех случаях, когда интерес представляет лишь абсолютная величина различий (без учета знака) может быть использована оценка вида δ(x) .

Наиболее удобной формой для последующей аналитической обработки и ее интерпретации является квадрат упомянутой разности, т. е.

δ2(x) = [f(x) – g(x)]2.

Подобная точечная оценка может быть усреднена на всем контролируемом интервале x [a,b] по правилу:

		S	2			b
			2			b
	δ2				, где S2	δ2(x)dx .
	δ2	b a			, где S2	δ2(x)dx .
		b a				a
						a
Оценка отклонения	II.Пусть			изучаемая		взаимосвязь величин X и Y
результатов измерений от их	определяется с помощью n дискретных пар
	определяется с помощью n дискретных пар
возможной аппроксимации	результатов измерения x и y							этих величин1.
	результатов измерения x и y						j	этих величин1.
непрерывной функцией	Если	в				j	j
	Если	в		области {XY}совместного существования

всех возможных пар чисел (xj, yj) задана однозначная функция y=g(x), то на Декартовой плоскости сумма квадратов отклонений точек (xj, yj) от линии y=f(x) (в направлении оси ординат) определяется формулой:

S2	n		δ2, где δ		y		g(x
S2			δ2, где δ	j	y	j	g(x	) .
	j	1	j	j		j	j
	j	1

Усреднение по всем парам отсчетов n дает значение среднего квадрата отклонений результатов эксперимента (xj, yj) от предполагаемой зависимости y=f(x):

				S2 .
			δ2	S2 .
				n
!	Следует иметь	в виду,		что в практике	использования понятия
	«наименьший квадрат (отклонений)» под термином «квадрат
	отклонений»	может		подразумеваться	как	усредненная

величина δ2 (а)2, так и интегральный (суммарный) показатель S2 (б).

Если интервал аппроксимации x [a, b] в (I) или число отсчетов n в (II) ограничены и

однозначно определены, то величины δ2 и S2 отличаются друг от друга только на соответствующий постоянный множитель, который не влияет на распознавание варианта минимально-возможных отклонений3.

1 При этом, возможны многократные повторения конкретных численных результатов как отсчетов xj, так и среди отсчетов yj.

2 В Теории Вероятностей и Математической Статистике характеристика подобного вида носит наименование «дисперсия» и используется в качестве количественной меры случайного разброса реализаций величины относительно ее детерминированного (закономерно определенного) среднего, типичного уровня. (См. Вып. 9 11.)

3 О технологии такового распознавания см. далее в Теме 3.2.

С целью упрощения громоздких грамматических конструкций вида: «оценка,

полученная с помощью метода наименьших квадратов» или «аппроксимация на основе метода наименьших квадратов», пишут и

говорят «МНК-оценка» или «МНК-аппроксимация» соответственно.

3.2Основные принципы

Метода Наименьших Квадратов

Как следует из материалов предыдущей Темы 3.1, МНК позволяет из определенного класса функций выбрать конкретную аппроксимирующую функцию g(x), которая имеет наименьший (внутри данного класса) квадрат

«суммарных» отклонений ( S2 ) от контролируемой функции f(x).

Напомним, что

(I) если контролируемая функция f(x) известна и задана аналитически на

интервале x [a,b], то величина S2 находится с помощью операции

интегрирования;

 (II) если же функция f(x) задана не аналитически, а множеством n дискретных пар результатов измерений (или – табличных выборочных

отсчетов) xj и yj, то величина S2 находится с помощью операции

суммирования.

Многообразие аппроксимирующих функций избранного класса может быть заданно в общем виде с помощью многомерной функции от основного аргумента x и конечного (или бесконечного) набора неизвестных констант A1, A2, …, Ai, …, Am, подлежащих определению в ходе реализации МНК:

g: g(x, A1, A2, …, Ai, …, Am).

Очевидно, что указанное представление переносится и на формы (а, б) описания квадратов отклонений

δ: δ(x, A1, A2, …, Ai, …, Am); δ2 : δ2 (A1, A2, …, Ai, …, Am); S2 : S2 (A1, A2, …, Ai, …, Am).

Основная идея МНК-аппроксимации функции f(x) заключается в том, что в избранном классе аппроксимирующих функций g: g(x, A1, A2, …, Am) выбирается такая, которая обеспечивает наименее возможное

значение S2 (или δ2 ).

Разумеется, не может быть и речи о точной реализация обозначенного принципа с помощью простого перебора различных сочетаний значений «аргументов» A1, A2, …, Ai, …, Am (даже – с помощью современных скоростных компьютеров!).

Технически поиск точных значений этих аргументов, обеспечивающих минимизацию величины S2, сводится к использованию твердо установленного факта, что в точке минимума гладкой функции для всех ее аргументов выполняются условия1:

	S2	0;	2(S2)	0
	Ak	0;	(Ak )2	0

Напомним, что первое из условий означает «нулевую» скорость изменения S2(Ak) (при зафиксированных значениях остальных Ai ≠ Ak) в точке

экстремума, а второе – вогнутую форму функции в окрестности этой точки.

В связи с тем, что действие, определяющее величину S2, производится

–либо как интегрирование δ2(x) по аргументу x (I),

–либо как суммирование δj2 по индексу j (II),

каковые не зависят от искомых значений Ak, то нахождение соответствующих частных производных можно осуществлять как после, так и внутри указанных операций. Т. е., например,

		b				S		2
(I) если S2		δ2(x)dx, то				S
(I) если S2		δ2(x)dx, то				Ak
		a				Ak
		a
	2	n	2		S		2
(II) если S	2		2	, то	S
			δj
			δj		Ak
		j	1

b			b		2
δ2(x)dx				δ (x) dx ;
a			a	Ak

n	2		n			2

	δj					δj .
				1	Ak
j	1	j

!чисел функция S2(A1, A2, …, Ai, …, Am) ≥ 0, т. е. – ограничена снизу и поэтому должна иметь хотя бы один минимум.

В том случае, если аппроксимирующая функция является функциональнымявляется тот факт, что в области действительныхОчень важным для практики

рядом (полным или усеченным), то условие	2(S2)	0	выполняется для всех
	(Ak )2

значений любых Ai.

Действительно, если

	S	2	b
то	S		2 f(x)
то	Ak		2 f(x)
	Ak		a

f(x)

dx , b>a,

(x)

)

2(x)dx 0 .

(x)

(x)dx

i 1

(Ak )

1 Определения, символику, свойства обычных и частных производных, а так же их использование при анализе функциональных зависимостей, см. в Гл. 2 Вып. 5.

Таким образом, после выбора класса функций g(x, A1, A2, …, Ai, …, Am) для МНК-аппроксимации изучаемой зависимости f(x) необходимо получить систему из m уравнений вида

(x)dx 0

(либо

0 ) и

разрешить ее

Ak a

Ak j

относительно неизвестных Ak (k = 1, 2, …, m). (В необходимых случаях следует

проверить выполнение условий "вогнутости"	2(S2)	0 .)
	(Ak )2

!!!В том случае, если g(x, A1, A2, …, Am) является усеченным рядом, образованным суммированием ортогональных (на интервале [a,b]) функций φj(x) с постоянными коэффициентами Ai, уравнения упомянутой

	b	2		b
выше системы приобретают весьма простой вид			(x)dx	k (x)f(x)dx , который
	Ak k
	a			a

полностью совпадает с соответствующим правилом для определения коэффициентов ряда Фурье общего вида2. Это означает, что любой усеченный ряд Фурье является МНК-аппроксимацией исходной функции f(x) с помощью соответствующего числа слагаемых избранного типа!

Обычно, описанный выше анализ завершают расчетом среднего квадрата различий между контролируемой и аппроксимирующей функциями ( δ2 ).

3.3 Простейшие примеры МНК-аппроксимации

упрощенных примеров использования МНК для аппроксимации некоторых функциональных и статистических зависимостейнамеренно-Далее Темы)данной(внутри несколькоприведено

несложными гладкими и кусочно-ломанными функциями.

Выбор объектов аппроксимации и аппроксимирующих функций носит иллюстративный характер и направлен не на глубокую проработку «тонкостей» МНК, а на закрепление предварительных сведений об этом методе (см. выше

Темы 3.1, 3.2).

Как и при изучении других разделов Математики, рекомендуется углублять знания, полученные с помощью данного Пособия, по мере возникновения потребности в таком углублении3.

1В простейшем «линейном» случае можно воспользоваться методом, описанным в Теме 2.5

Вып.3 настоящего Пособия.

2См. выше в Теме 2.3.

3В частности, подробности «технологии» МНК целесообразно прорабатывать в ходе изучения Математической Статистики (см. разделы Корреляция и Регрессия в

последующих Выпусках).

П 3.3.1.

Необходимо найти МНК-аппроксимацию функции f(x) = x (см. Рис. 3.2 (1)) на интервале x [-1 1] с помощью функции g(x, a,b)=a + bx2.

Квадрат разности:

	1		1		1
S2			a bx 2 )2 dx 2 (a bx	2	x) 2 dx 2 (a	2	b2x 4	x 2	2abx 2	2ax - 2bx 3 )dx.
S2	(	x	a bx 2 )2 dx 2 (a bx	2	x) 2 dx 2 (a	2	b2x 4	x 2	2abx 2	2ax - 2bx 3 )dx.
	- 1		0		0

После интегрирования:

S2 2(a 2 b2					1 2ab					a -	b).
				5					3		2
Условия минимума:
S	2	2(2a		2b		1)			0		a	b	1
S				2b								b	1
a				3								3	2	a	3	0,19;	b	15	0,94.
S2											a b		1
			2b	2a			1								16			16
		2(	2b	2a			1								16			16
b		2(	5	3			2	) 0			3 5		4
b			5	3			2

Таким образом, МНК-аппроксимация g = 0,19 + 0,94x2 (см. Рис. 3.2 (2)). Средний квадрат отклонений g(x, a, b) от f(x):

		S2				b	2		1 2ab				b						0,94		2	1	2 0,19 0,94							0,94
δ	2	S2	a	2		b	2		1 2ab		a -		b	0,19			2		0,94		2	1	2 0,19 0,94				0,19		-	0,94	0,0052.
δ		2	a			5			3		a -		2	0,19					5					3			0,19		-	2	0,0052.
		2				5			3				2						5					3						2
П 3.3.2.
	Необходимо найти МНК-аппроксимацию функции f(x) = x (см. Рис. 3.2 (1)) на
	интервале x [-1 1] с помощью такой функции g(x, a,b)=a + bx2,																											что в точках x =1
	имеет место совпадение f(x) = g(x, a,b).
	Очевидное условие совпадения: a + b 1 a = 1 – b.
	Используя выкладки Примера 3.3.1, получим выражение для расчета квадрата
	разности (после интегрирования):
												2		1 2(1 - b)b											8
				S2				2 (1 - b) 2 b						1 2(1 - b)b						(1 - b) - b			. 2(		8	b2		5 b 1).
				S2				2 (1 - b) 2 b												(1 - b) - b			. 2(			b2		5 b 1).
											5			3								2		15				6	3

	Условие минимума:
				S2			2(		16	b	5) 0				16	b		5		b		5 15		0,78;		a 1 b 0,22.
					b		2(		15	b	5) 0					b		6		b		6 16		0,78;		a 1 b 0,22.
					b				15		6			15				6				6 16

Таким образом, МНК-аппроксимация g = 0,22 + 0,78x2 (см. Рис. 3.2 (3)). Средний квадрат отклонений g(x, a, b) от f(x):

	S2		8		2 5 b 1			8		2 5		1
δ2				b					0,78		0,78		0,0078.
	2	15					15
					6	3				6		3

П 3.3.3.

Необходимо найти МНК-аппроксимацию функции f(x) = x (см. Рис. 3.2 (1)) на интервале x [-1 1] с помощью такой функции g(x, a,b)=a + bx2, что в точке x = 0 имеет место совпадение f(x) = g(x, a,b).

Очевидное условие совпадения: a = 0.

Используя выкладки Примера 3.3.1, получим выражение для расчета квадрата разности (после интегрирования):

S	2 2( b 2	-	b	1 ).
	5		2	3

Условие минимума:

S2	2(	2	b	1	) 0	2	b	1	b	5	1,25; a 0.
b		5		2		5		2		4

Таким образом, МНК-аппроксимация g = 1,25x2 (см. Рис. 3.2 (4)). Средний квадрат отклонений g(x, a, b) от f(x):

δ2	b2	- b	1	S2		1,25 2	1,25	1	0,0208.
	5	2	3	2		5	2	3
							2	y
							1,5				1
											1
							1				2
							1				3
											3
											4
							0,5
											x
			-1,5		-1	-0,5		0	0,5	1	1,5
							Рис. 3.2
	Варианты МНК-аппроксимации функции f(x)= x для x [-1 1]
						1. Исходная функция.
						2. g(x) = 0,19 + 0,94x2.
						3. g(x )= 0,22 + 0,78x2.
						4. g(x) = 1,25x2.

Следует иметь в виду, что в качестве МНК-аппроксимации g может использоваться не только гладкие, но и кусочно-гладкие и даже разрывные функции.

П 3.3.4.

Необходимо найти МНК-аппроксимацию функции f(x) = x2 (см. Рис. 3.3 (1)) на

интервале x [-1	1]		с помощью линейно-ломанной функции вида
	x a , 1 x a;
	a 1
	a 1
g(x, a)	0,	a x a;
	x a		, a x 1;
	1 - a		, a x 1;
	1 - a

где 0 ≤ a ≤ 1 и в точках x =1 имеет место совпадение f(x) = g(x, a). Квадрат разности:

S2	- a		2 x a )2 dx
S2		(x	2 x a )2 dx
	- 1		a 1
	- 1

a	1		2 x	a )2 dx .
x	4dx	(x	2 x	a )2 dx .
- a	a		1	a
- a	a

После интегрирования:
S2 2		a 3 a 2 a - 1 .
	5			3
Условие минимума:
S2		3a 2	2a 1		0		3a	2	2a		1 0 a1,2					- 1 2		a	1
a			3		0		3a		2a		1 0 a1,2						3	a	3
(корень a2 = -1 < 0 – лишний, т. к. не соответствует условию 0 ≤ a ≤ 1).
										3x 1 , 3 3x 1;
											2
Таким образом, МНК-аппроксимация g(x)											2	1 3x			1;			(см. Рис. 3.3 (2)).
Таким образом, МНК-аппроксимация g(x)											0,	1 3x			1;			(см. Рис. 3.3 (2)).
											3x 1		, 1	3x	3.
											2		, 1	3x	3.
											2
Средний квадрат отклонений g(x, a,) от f(x):
δ2 S2	1 a 3		a 2	a - 1		1		1 3 9 - 27				0,0025.
2	5		6			5			6	27
							1,5		y
							1,5
							1
																		1
							0,5											2
							0,5
							0										3x
							0
		-4	-3	-2		-1			0	1		2		3		4

Рис. 3.3

Вариант МНК-аппроксимации функции f(x)= x2 для x [-1 1]

1.	Исходная функция.
	3x 1 , 3 3x 1;
		2
2.			1 3x		1;
	g(x)	0,
		3x 1		, 1 3x	3.
		2

–  – 

С примерами использования МНК в ходе математической обработки результатов экспериментальных наблюдений (или при создании моделей такой обработки) целесообразно знакомиться в ходе изучения соответствующих разделов Теории Вероятностей и Математической Статистики. (См. далее в

Вып. 7 11.)

Замечу, что сами по себе указанные применения МНК не несут никакой новой информации о принципиальных особенностях Метода …, требующих для усвоения дополнительных усилий.

Основное отличие заключается в формальной замене операции

интегрирования на операцию суммирования (см. в Теме 3.1).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]