Избранные разделы высшей математики. Выпуск 7. Методы аппроксимации функций. Учебное пособие

Способы Округления, реализуемые на вычислительной машине, определяются еѐ назначением, техническими возможностями и, как правило, уступают по точности Округления до ближайшего t-разрядного числа. В ЭВМ наиболее приняты два режима арифметических вычислений: режим с плавающей запятой и режим с фиксированной запятой. В режиме с плавающей запятой результат Округления числа имеет определѐнное количество значащих цифр; в режиме с фиксированной запятой – определѐнное количество цифр после запятой. В первом случае принято говорить об Округлении до t разрядов, во втором

– об Округлении до t разрядов после запятой. При этом в первом случае контролируется относительная погрешность Округления, во втором – его абсолютная погрешность.

В связи с использованием вычислительных машин развились исследования накопления ошибок Округления в больших вычислениях. Анализ накопления ошибок в численных методах позволяет характеризовать методы по чувствительности их к ошибкам Округления, строить стратегии реализации их в вычислительной практике, учитывающие ошибки Округления, и оценить точность окончательного результата.

Г. Д. Ким

Литература:

Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 6 изд., М., 1954. Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966. Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.

Процитированный выше текст, на мой взгляд, является одним из наиболее удачных (и понятных для неофитов!) определений операции округления чисел, выраженных в какой-либо позиционной системе счисления (например, в десятичной или в двоичной).

Однако при осваивании данной операции необходимо более глубоко и детально разобраться с мотивировкой необходимости ее осуществления.

Действительно, к округлению мы прибегаем не только в процессе а) «…вычислений, в которых, как правило, окончательный результат не может быть получен абсолютно точно!», но и в тех случаях, когда количественная оценка (число) получена;

б) не расчетным, а экспериментальным путем, с помощью измерения соответствующего физического свойства с помощью реального измерительного средства; в) с помощью графических построений и последующего отображения

отрезком числовой оси;

1 Из-за несовершенства вычислительной техники, ограничений во времени или т. п обстоятельств.

11

1См. Вып.5, Тема 3.3, Рис. 3.2.

2Что и отражено в наименовании данной разновидности аппроксимации.

13

Таким образом, наиболее простыми правилами линейно-ломанной аппроксимации являются соотношения:

Графиком аппроксимирующей функции y (x)) является ломаная

непрерывная линия, состоящая из прямолинейных отрезков,

соединяющих соответствующие точки графика исходной функции y(x) .1

П 1.2.4. На Рис.1.3 показан результат наиболее простой линейно-ломаной аппроксимации квадратической параболы. Опорные точки совпадают с четными целочисленными значениями аргумента. Сохранено свойство четности исходной функции. Погрешность аппроксимации достигает максимума в области наибольшей кривизны исходной функции.

Рис. 1.3

Простая линейно-ломаная аппроксимация y*(x) (2) функции y=x2 (1)

Рис. 1.4 Линейно-ломаная аппроксимация y*(x) (2)

функции y=x2 (1) с помощью отрезков касательных

Недостатком простого варианта аппроксимации Рис. 1.3 является тот факт, что точки «изломов» аппроксимирующей линии совпадают с опорными

1 Отсюда становится понятным термин «линейно-ломаная аппроксимация».

15

точками графика исходной функции, и поэтому утрачивается информация о величине Крутизны («скорости» изменения) в этих точках.

Более точным является способ «вписывания» исходной функции в ломаную линию, состоящую из отрезков касательных, проходящих через заданные опорные точки1.

Пример указанного варианта аппроксимации показан на Рис. 1.4.

знакомимся уже в средней школе при практическом использовании расчетных таблиц. Например, «Таблицы четырехзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин» В. М. Брадиса.

Напоминание (заимствовано с сайтов Интернет: Яндекс_Словари):

Большая советская энциклопедия

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ – (от лат. interpolatio – изменение, переделка) в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по

некоторым известным еѐ значениям. Например, отыскание значений функции f(x) в точках х, лежащих между точками (узлами И.) x0 < x1 < ... < xn, по известным значениям yi = f(xi) (где i = 0, 1, ..., n). В том случае, если х лежит вне интервала, заключѐнного между xi и xi+1, аналогичная задача называется задачей экстраполяции.

При простейшей ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ значение f(x) в точке х, удовлетворяющей неравенствам xi < x < xi+1, принимают равным значению

П 1.2.5.

Пусть необходимо найти численное значение тригонометрической функции sin(34○40') =? Известны два ближайших табличных значения: sin(34○36') = 0,6508 и sin(34○42') =0,6521.С помощью линейной интерполяции получим:

Разумеется, описанный простейший линейный случай не является  единственно возможным вариантом интерполяции. Однако, для реализации более сложных (но, и – более точных!) вариантов необходимо обладать информацией не только о значениях функции в «опорных» точках, но и о производных нужных порядков, описывающих

особенности изменения функции между этими точками.

1 На практике подобное усложнение используется редко, т. к. оно требует дополнительных расчетов, связанных с определением уравнений касательных и определения координат пересечения этих линий друг с другом (см. Вып. 4 и Вып. 5).

16

Глава 2

f1(x), f2(x), …, fn(x), …

При фиксированном значении аргумента x=x0 из указанной функциональной последовательности образуется числовая последовательность

f1(x0), f2(x0), …, fn(x0), …

Функциональная последовательность {fn(x)} называется сходящейся в точке x=x0, если соответствующая числовая последовательность сходится, т. е.

имеет предел lim fn (x0 ) F(x0 ) . n

Функциональная последовательность {f (x)} называется сходящейся к функции F(x), если для всех x X выполняется условие

lim fn (x) F(x). n

Выделенное выше определение означает, что при выборе любого сколь угодно малого числа ε > 0, для каждого x X можно указать такой номер N,

начиная с которого (т. е. при n ≥ N) выполняется соотношение F(x) fn(x) ε .

Функциональная последовательность {f (x)} называется равномерно сходящейся к функции F(x) на множестве x X, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно указать такой номер N = N(ε)

(зависящий только от ε и – не зависящий от конкретного x),

что при N > n и всех x X выполняется неравенство F(x) fn(x) ε .

более простым (и более понятным для «нематематиков»!) образом1:

1 См., например, в кн.: Гусак А. А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2; Учебник для студентов вузов. – 4-е изд., стереотип. – Минск; ТетраСистемс, 2003.

17

Функциональная последовательность {f (x)} называется равномерно сходящейся к функции F(x) на множестве X, если ρn → 0 при n → , где ρn определенно выше.

простой) последовательности с целью образования новой (более сложной) последовательности. Подобный подход опирается на древнегреческую идею атомизма, сводящую сложные сущности к взаимодействию простых стандартных элементов (атомов)1.

Огромное влияние на становление современной Теории функциональных рядов оказали математические разработки И. Ньютона2 и его явных и фактических последователей3. Упомянутые разработки, как правило, носили выраженный прикладной, «физический» характер – они, по сути дела, являлись

математическими моделями описания механической и иных форм движения

(изменения) реально существующих объектов. По указанной причине "атомам" (элементам) функционального ряда часто удается приписать вполне определенный причинно-следственный "физический" смысл4.

При изучении основ Теории функциональных рядов следует

 иметь в виду, что последовательность изложения этой теории в современной учебной литературе не совпадает с хронологической последовательностью формулирования («открытия») соответствующих математических положений. Этот факт можно легко установить при помощи сопоставления развернутой цитаты из статьи в БСЭ математика Л. Д. Кудрявцева (см. ниже) и биографических справок создателей

Теории…(См. Приложения 1 7).

Исторически многие конкретные формы представления функций с помощью тех или иных рядов5 появились гораздо раньше их строгих формально-логических обоснований. При этом основным критерием корректности подобного подхода являлась его успешность для решения практических задач тех наук, которые используют математику в качестве рабочего инструмента (например, механики, астрономии и т. п.).

1См. Приложение 1 в Вып. 5.

2См. Приложение 1 в данном Вып.

3См. Приложения 2 7 в данном Вып.

4См., например, далее ряды Тейлора, Маклорена и Фурье.

5В математической литературе такое представление функции обычно называется

разложением функции в ряд определенного вида.

18

В обширной справочной и учебной литературе характер изложения основ

!теории рядов настолько единообразен, что прямые заимствования у других авторов фактически считаются не плагиатом, а стандартным

описанием общепринятых представлений (т. е., – парадигмы1). По этой причине я, автор данного Пособия, в данном месте считаю целесообразным не прибегать к вольному пересказу общепринятых истин, а использовать цитирование упомянутой выше статьи из БСЭ2.

(Заимствовано на сайте Интернет http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00067/80500.htm?text=…)

Большая советская энциклопедия

Ряд – бесконечная сумма, например вида:

u1 + u2 + u3 +... + un +...или, короче, un .(*)

n 1

Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р. широко используются в математике и в еѐ приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближѐнных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных Р., с помощью которых удобно вычислять их приближѐнные значения с нужной точностью… … Метод разложения в Р. является эффективным методом изучения функций.

Он применяется для вычисления приближѐнных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т. п.

При численных расчѐтах, когда Р. заменяется конечной суммой его первых слагаемых, полезно иметь оценку получаемой при этом погрешности (оценку «скорости сходимости» Р.). При этом целесообразно использовать Р., у которых эти погрешности достаточно быстро стремятся к нулю с возрастанием номера n.

Одни и те же величины могут выражаться через суммы различных рядов...

На бесконечные суммы не переносятся все свойства конечных сумм. Например, если взять Р.: 1 - 1 + 1 - 1 +... и сгруппировать подряд его члены по два, то получим (1-1) + (1-1) +... = 0; при другом же способе группировки 1-(1-1) (1-1) - ... = 1. Поэтому следует дать чѐткое определение того, что называется бесконечной суммой, и, определив это понятие, проверить, справедливы ли для таких сумм закономерности, установленные для конечных сумм. Доказывается, что для бесконечного числа слагаемых при определѐнных условиях сохраняются законы коммутативности и ассоциативности сложения,

1См. Вып. 5, Тема 1.1.

2Разумеется, эта цитата не предназначена для заучивания в качестве «правильных» ответов при тестировании знаний по типу ЕГЭ!!!

19

дистрибутивности умножения относительно сложения, правила почленного дифференцирования и интегрирования и т. п.

Числовые ряды. Формально Р. (*) можно определить как пару числовых (действительных или комплексных) последовательностей {un} и {Sn} таких, что

Sn= u1 +... + un…, n = 1, 2,…

Первая последовательность называется последовательностью членов Р., а вторая — последовательностью его частичных сумм [точнее Sn называется частичной суммой n-го порядка. (*)].

Р. (*) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {Sn}. В этом случае предел

lim Sn S

n

называется суммой Р. и пишется S Sn

n 1

Т. о., обозначение (*) применяется как для самого Р., так и для его суммы (если он сходится).

Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то Р. называется расходящимся.

Каждый Р. однозначно определяет последовательность его частичных сумм, и обратно: для любой последовательности {Sn} имеется и притом единственный Р., для которого она является последовательностью его частичных сумм, причѐм члены un этого Р. определяются по формулам u1= s1,..., un+1= sn+1 — sn,..., n = 1, 2,... В силу этого изучение Р. эквивалентно изучению последовательностей.

Р. uk называется остатком порядка n Р. (*).

k n 1

Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится, а если какой-либо остаток Р. сходится, то и сам Р. также сходится. Если остаток порядка n Р. (*) сходится и его сумма равна rn, то s = sn + rп.

суммой этих рядов… Если Р.(*) сходится и λ – комплексное число,

то Р. λun ,называемый произведением Р. на число λ, также сходится и

n 1

Условие сходимости Р., не использующее понятия его суммы (в случаях, когда, например, сумма Р. неизвестна), даѐт критерий Коши: для того чтобы Р. (*) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε> 0 существовал такой номер nε, что при любом n > nε и любом целом р > 0 выполнялось неравенство

n p

uk

k n

20