Дискретные задачи оптимизации в экономике, планировании и управлении. Учебное пособие

81

Из таблицы и графа видно, что оптимальные финальные состояния имеют номера 20, 53 и 55. Номера соответствуют порядку их порождения. Таким образом, процесс оптимизации плана-графика выполнения проекта дал оптимальное решение задолго до своего окончания. Как говорят практические специалисты в области решения задач дискретной оптимизации, вычислительный процесс после получения оптимального решения есть процесс «доказывания» его оптимальности, и он обычно занимает львиную долю вычислительной работы, а часто вообще не может быть завершен за недостаточностью вычислительных ресурсов для его окончания в отведенное время. В нашем элементарном примере первым полученным полным планом-графиком был не оптимальный, заканчивающийся в состоянии 17 через 12,5 ВЕ, тогда как оптимальный давал время 12 ВЕ. Такая ситуация считается несколько нетипичной. Чаще всего первое же полученное методом ветвей и границ полное решение как раз и оказывается оптимальным.

82

7.5. Другие виды задач оптимального динамического распределения ресурсов при выполнении проекта

Выше предполагалось, что ПЕ-работники и оборудование, высвобождающиеся по окончании одной работы, могут быть немедленно использованы на другой работе, в том числе той, которая только начинается. На деле могут потребоваться затраты времени на перемещение и переналадку. Для пространственно разбросанных комплексов работ, что характерно для крупных горных предприятий, строительства и ремонта дорог и дорожных сооружений, зачастую ПЕ можно использовать в лучшем случае в начале следующего дня. С другой стороны, на некоторых работах (например, механизированная проходка туннелей) комплекс ПЕ вообще должен быть постоянен в течение всего времени выполнения. Условия привлечения производственных ресурсов могут быть разными на разных работах. Все возможные случаи, конечно, описать нельзя.

Ограничимся случаем однотипных ПЕ, которые можно перераспределять только в начале периода. В этом случае формула (7.3) определяет лишь первый для s-го этапа момент окончания некоторой работы, а не продолжительность этапа. Последняя равна ceil(t(s)) – ближайшему к t(s) целому числу, которое не меньше t(s) (например, ceil(3,5) = 4, ceil(5) = 5). Тогда и формула (7.4) заменится на другую:

t (s) = ceil(t(s)); T (s +1) = T (s) + t (s);

(7.6)

wi (s) = min{wi (s) + t (s)ui (s),Wi ,} i I (s).

В остальном, кроме замены (7.4) на (7.6), алгоритм оптимизации не изменится.

Кроме случая однотипных ПЕ может рассматриваться более общий случай нескольких типов ПЕ. В этом случае каждая работа требует либо одного конкретного типа ПЕ, либо совместного использования двух или большего количества типов. В последнем случае должен быть задан набор возможных сочетаний количеств ПЕ каждого типа и соответствующая каждому набору производительность (количество единиц работы, выполняемых в единицу времени).

83

Вопросы и упражнения

1.Сколько различных оптимальных планов-графиков выполнения проекта можно увидеть на рис. 7.1. Укажите все в виде последовательности состояний. На основе табл. 7.6 и рис. 7.1 представьте один из них в форме таблицы, аналогичной табл. 7.2.

2.Решить задачу оптимизации графика выполнения комплекса работ, рассмотренного в разд. 7.4, в предположении, что на работы 12 и 56, требующие одного работника, он всегда выделяется, а оставшиеся два работника назначаются на одну из оставшихся работ (для которой выполнены предшествующие работы) на весь ее срок.

84

8. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ГРАНИЦ И ПОРЯДКА РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ ОТКРЫТЫМ СПОСОБОМ

Методы оптимизации конечных границ карьера на блочной модели – пожалуй, единственный тип массово применяемых в промышленных ППП моделирования и планирования открытых горных работ методов оптимизации, несмотря на условность самой постановки задачи. Однако такая возможность появилась гораздо позже изобретения таких методов в силу ограниченности возможностей вычислительной техники. Долгое время речь могла идти только об оптимизации границ карьера на отдельных вертикальных разрезах. Решение таких задач может иметь практическое значение для вытянутых выдержанных по залеганию пологих месторождений, характеристики которых мало меняются по направлению простирания залежи.

Методы пространственной оптимизации границ открытой разработки трудны для понимания и иллюстрирования. Поэтому мы ограничимся оптимизацией на вертикальном разрезе. Такие задачи могут быть сформулированы в непрерывных и дискретных переменных – здесь рассматривается второе. Кроме статических задач в тех же терминах могут быть рассмотрены и динамические.

8.1. Оптимизация последовательности разработки пологого месторождения открытым способом

Блочный принцип представления применяется здесь в ином пространственном ракурсе. Предполагается, что имеется единственный выемочный слой (что характерно для небольших месторождений стройматериалов), месторождение в плане разбивается прямоугольной сеткой, каждой ячейке разбиения соответствует пространственный блок, сверху ограниченный земной поверхностью, а снизу – поверхностью почвы залежи.

Целью оптимизации является определение допустимого порядка разработки блоков, на котором достигается максимум чистого дисконтированного дохода (ЧДД). Будем считать, что блоки имеют одинаковый объем горной массы (но разное соотношение между объемами покрывающей породы и породных прослоев, с одной стороны,

85

и полезного ископаемого – с другой), так что, с одной стороны, за год извлекается одинаковое количество блоков, а с другой – ценность блоков (т.е. доход от их добычи) различна, что и является основанием для оптимизации. Положение горных работ на конец каждого года, иначе говоря, выработанное пространство (ВП), характеризуется набором блоков, а экономический итог нескольких лет отработки – накопленным ЧДД.

Ограничения на конфигурацию ВП определяются технологией ведения горных работ. Будем предполагать, что ВП не распадается на отдельные несвязные области. Далее ограничимся случаем, когда месторождение является вытянутым, представленным несколькими рядами прямоугольных блоков и в направлении его простирания граница в силу требований транспортного доступа является «плавной». Это выражается следующим условием: крайние блоки ВП в соседних рядах сдвинуты друг относительно друга не более чем на один блок. Таким образом, количество промежуточных положений горных работ существенно ограничено, а траекторий перехода между ними – достаточно велико.

Задача является типичной для применения метода динамического программирования, всевозможные последовательности разработки месторождения представляются ориентированным графом, как в задаче о замене оборудования. В силу этого нет необходимости создавать для ее решения специальный алгоритм. Важно лишь описать граф переходов. Вершина графа соответствует возможной конфигурации ВП на конец k-го года, т.е. допустимой комбинации из Qk блоков, где Q – количество блоков, отрабатываемых за год. Переходы, выражающие определенные способы извлечения очередных Q блоков, могут происходить только между наборами блоков, в котором больший полностью включает меньший. Цена перехода из одной вершины в другую – суммарная ценность добавляемых блоков, умноженная на коэффициент дисконтирования (1–r)k для соответствующего года.

Применение метода ветвей и границ проблематично из-за сложности определения разумной оценки достигнутого состояния. Одна такая оценка состоит в следующем: упорядочим все блоки в порядке убывания их ценности. Максимальный ЧДД за остаток разработки при определенной текущей конфигурации ВП на конец k-го года может быть оценен сверху так: сумма ценностей первых Q неизвлеченных блоков, умноженная на (1-r)k + 1, плюс сумма ценностей следующих Q неизвлеченных блоков, умноженная на (1-r)k + 2 и т.д. Грубость такой оценки вряд ли позволит отсечь бесперспективные варианты.

86

8.2. Оптимизация границ разработки месторождения глубоким карьером (на вертикальном разрезе)

Определение конечных границ карьера – сложная пространственная задача. Для определенных условий – вытянутой слабонаклонной залежи с медленно изменяющейся мощностью – она может быть приближенно решена на серии вертикальных разрезов, перпендикулярных направлению ее простирания. Описываемый метод решения рассматриваемой задачи представляет собой дискретизированную по переменным версию метода Афанасьева и Коровкиной [1].

Будем считать, что вертикальный разрез разбит прямоугольной сеткой на ячейки, каждой из которых приписывается ценность прямоугольного блока, вертикальным сечением которого она является и который в перпендикулярном плоскости разреза направлении имеет равную толщину в обе стороны. Горизонтальная полоса блоков соответствует уступу карьера.

Несмотря на иную технологическую природу по сравнению с ранее рассмотренной задачей, в вычислительном плане она мало чем отличается от рассмотренной в предыдущем разделе. Однако геометрические условия здесь иные. Будем рассматривать ВП в разрезе с положением дна на определенном уступе, предполагая минимальное количество блоков d на нижнем уступе и расширение карьера снизу вверх в обе стороны, по крайней мере, на один блок на уступ, что выражает минимальный угол наклона бортов, тангенс которого равен отношению высоты к ширине блока (ячейки). При более мелких блоках минимальное количество блоков расширения может быть задано разным для разных уступов, что выражает различие свойств горных пород в зависимости от глубины. Набор блоков нижнего уступа считаем последовательностью без пропусков. Иначе говоря, положение дна на k-м уступе задается парой чисел – номерами первого и последнего блоков m(k), n(k). То же относится и к ВП на вышележащих уступах, причем

m(k – 1) ≤ m(k) + 1, n(k – 1) ≥ n(k) – 1.

88

Календарный порядок отработки месторождения трудно связать с отдельным разрезом. При определении границ карьера на разрезе с максимальной суммарной ценностью извлекаемой горной массы фактор разновременности затрат и доходов, к сожалению, не может быть адекватно учтен. Этот недостаток, к сожалению, свойствен и более развитым и широко применяющимся методам трехмерной оптимизации границ карьера.

Итак, изменяя номер нижнего уступа от 1 до максимального, последовательно находим оптимальные (по суммарной ценности входящих блоков) конфигурации с дном на указанном уступе.

Для всех пар m(1), n(1), для которых m(1) ≤ n(1) + d – 1, определим

Очевидно, максимальная ценность карьера с дном на k-ом уступе есть

а оптимальные границы карьера соответствуют нижнему уступу, на котором значение Cmax (k) максимально. Формулы (8.1) – (8.3) полностью определяют вычисление оптимальных границ карьера на вертикальном разрезе методом динамического программирования.

Применение описанного метода рассмотрим на примере. Расположение блоков и их ценность показаны в табл. 8.4 (блоки залежи обведены рамкой).

Для первого уступа C(m(k), n(k), k) определяются по формуле (8.1) крайне просто. Результат показан в табл. 8.5.

89

Теперь должны быть вычислены C(m(2), n(2), 2) . Пусть, например, m(2) = 2, n(2) = 4? сумма в формуле (8.1) равна 10 – 3 + 5 = 12, а минимум

C(2, 8, 1) = –12, C(3, 6, 1) = –7, C(3, 7, 1) = –9, C(3, 8, 1) = –11. Сумма в формуле (8.1) равна 2, а минимум –7, поэтому C(4, 5, 2) = –5.

Данные расчетов для 2, 3 и 4-го уступов помещены в табл. 8.6, 8.7 и 8.8.

90