Дискретные задачи оптимизации в экономике, планировании и управлении. Учебное пособие

стоянии друг от друга, каменщики должны назначаться на определенный участок хотя бы на целую смену. Кроме того, некоторые работы допускают прерывание, а другие – нет (осушенный котлован заполняется водой, бетонный раствор быстро схватывается и т.п.). Учитывая всё сказанное, проиллюстрировать постановку задачи и способ ее решения можно лишь для определенного случая.

7.2. Базовая модель и метод ее расчета

Мы будем предполагать следующее. Во-первых, дискретный характер каждой мощности (состоит из небольшого количества однотипных производственных единиц (ПЕ)) и ее распределения во времени. Последнее означает следующее. Каменщиков, конечно, конкретное количество, но вот человеко-часы работы каменщиков можно распределять в течение каждой смены практически непрерывным образом. Мы не будем допускать такой возможности, предполагая, что пока имеется определенный набор начатых, но не завершенных работ, мощности не перераспределяются. Далее: будем предполагать, что количество требуемых производственных единиц на каждой работе может в процессе ее выполнения меняться, но в заданных пределах. Можно рассмотреть случаи, когда перераспределение происходит непосредственно по окончании работы, и случаи, когда новое распределение может начаться лишь в начале смены. В действительности возможен и другой вариант: назначать определенное количество производственных единиц на весь период выполнения работы. Но он неэффективен, если только нет требования выполнять работу в постоянном темпе, без интенсификации и прерываний. Наконец, мы не будем рассматривать случай, когда некоторые работы требуют набора производственных единиц нескольких типов. Для отброшенных здесь альтернатив вычисление графика выполнения проекта может быть выбран способ, подобный представленному ниже, но с учетом иного характера взаимосвязей.

Итак, для описания задачи нужно определить: количество операций (работ) N; объем каждой (i-й) операции как требуемое для ее выполнения количество смен Wi работы ПЕ. Если Wi = 6, это значит, что работу может выполнить одна единица за 6 смен, две – за 3, а если две ПЕ будут работать вместе две смены, то для выполнения остатка работы достаточно будет одной ПЕ поработать еще 2 смены. Также определяем минимальное u1i и максимальное u2i количество одновременно выполняющих работу ПЕ. Наконец, рассматриваются два

71

типа взаимосвязей между работами: во-первых, последовательность работ, выражаемая отношением непосредственного предшествования между работами (такая же, как и в классической задаче сетевого планирования, но выражающая теперь только взаимосвязи, обусловленные технологией ведения работ) и, во-вторых, взаимосвязь по ресурсам для одновременно выполняемых работ. А именно (для случая, когда производственные ресурсы представлены U однотипными ПЕ): если на s-м этапе выполняется множество работ I(s), то на каждую из них (i I(s)) может назначаться количество ui(s) ПЕ, для которого

Всевозможные траектории выполнения процесса определяются следующими соотношениями. Все множество работ для каждого этапа разделяется на три подмножества: работы, еще не могущие быть начатыми N(s), начатые или могущие быть начатыми I(s) и завершенные F(s). К I(s) относятся все еще не завершенные работы, для каждой из которых все непосредственно предшествующие работы завершены (или их нет).

Слово «этап» правильно передает особенность промежутков времени качественного постоянства процесса, но только для определенной траектории его реализации, т.е. последовательности назначения ПЕ на работы. Для разных траекторий процесс может содержать разное количество этапов. Правильней было бы назвать этапы «состояниями выполнения» проекта, но слово «этап» короче, к тому же «состояние» мы будем относить к моментам событий. Завершение этапа

– событие окончания одной или нескольких работ. Результатом события является альтернатива: набор этапов с одним и тем же I(s), но с разными значениями ui(s), i I(s), удовлетворяющими (7.1) – (7.2). Ввиду того, что ui(s) считаем в штуках ПЕ, таких альтернатив конечное количество.

Начальное (нулевое) состояние процесса – нулевые значения объемов wi(0) всех выполненных работ и момент времени T(0) = 0, если отсчитывать время от начала выполнения проекта. Для всевозможных начинающих выполнение проекта этапов I(s) состоит из всех работ, для которых I1i = . При любом соответствующем начальному этапу распределении ПЕ мы имеем определенную продолжитель-

72

ность этапа t(s), определяемую ниже формулой (7.3); ее смысл – это то время, в течение которого ни одна работа не завершается, а по его истечении – завершается хотя бы одна работа:

В результате наступает событие окончания набора работ IF(s), на которых достигается минимум в (7.3), причем момент окончания и объемы выполненных работ определяются формулами

Множество IF(s) добавляется к множеству законченных работ и

I0(s + 1) начинаемых на этапе s + 1 работ состоит из всех не начатых ранее работ, для которых все предшествующие включены в F(s + 1). Соответственно, N(s + 1) = N(s)\I0(s + 1). Процесс заканчивается на s-м этапе, для которого I(s + 1) = N(s + 1) = . Введенные обозначения далее разъяснятся на примере.

7.3.Пример вариантов составления плана

иуправления его выполнением

Для иллюстрации ограничимся простейшим случаем рабочихуниверсалов, которые могут выполнять все работы проекта. По условиям организации работ каждая требует, чтобы количество работников было не меньше и не больше заданных пределов, вне которых выполнение работы неэффективно (толкучка) или даже невозможно (некоторые работы нельзя выполнить полностью, например, силами одного человека). В установленных пределах будем предполагать, хотя это и несущественно, что продолжительность работы при постоянном количестве рабочих обратно пропорционально их числу. Или, в более общем виде – объем работы измеряется в человекоднях, так что участие каждого работника в течение одного дня увеличивает объем выполненной работы на один человеко-день.

Итак, пусть имеется 6 работ, как в примере из раздела 4, с теми же взаимосвязями по последовательности выполнения, и 5 работников. Связи между ними представлены табл. 7.1.

73

На самом деле корректно распределить работников между работами заранее очень трудно, поскольку работники разделяются между параллельно выполняемыми работами, а какие работы окажутся параллельными, заранее неизвестно (к тому же это зависит от распределения работников на предшествующие работы).

В табл. 7.1. действительно исходными данными являются первые 5 столбцов, следующие два содержат альтернативные предположения, а последние два – следствие этих предположений, но без них невозможно определить сетевой график. Предлагая план 2, мы предположили, что 5-я работа будет выполняться только после окончания 3-й и 4-й (а до этого для нее нет ресурсов), что показано во втором столбце в скобках. Таким образом, введены дополнительные взаимосвязи между работами, связанные с разделением ресурсов. Примем сначала план 1 за данность и впоследствии убедимся в известной степени рациональности такого выбора.

Таблица 7.1

Данные для планирования комплекса работ

В первом варианте распределения ресурсов (план 1) минимальное время выполнения проекта равно 12. Порядок расчета ничем не отличается от рассмотренного в разделе 4, поэтому приведем кратко расчетные формулы и значения ранних сроков выполнения работ:

Tр1 = 0, Tр2 = Tр1 + t1 = 3 13 . Tр3 = max {Tр1 + t2, Tр2} = 3 13 , Tр4 = max Tр2 + t3, Tр3 + t4} = 9 13 ,

Tр5 = max {Tр3 + t5, Tр4 + t6} = max { 3 13 + 6, 9 13 + 2 23 } = 12.

Оба варианта предполагают статическое распределение ресурсов, не изменяющееся в процессе выполнения работы. Далее мы увидим,

74

что при выполнении плана 1 или плана 2 (при отсутствии неплановых задержек) иногда будут высвобождаться работники, которых можно будет перераспределять на другие работы. При управлении выполнением проекта эту возможность нужно использовать, и результаты этого будут показаны. Но более целесообразно изначально выполнять планирование с учетом возможности динамического распределения производственных ресурсов, что также будет продемонстрировано.

Рассмотрим управление выполнением проекта с использованием сформулированной модели на примере рассчитанного плана 1, а затем плана 2.

На первом этапе выполняются две работы, формально – I(1) = {1,2}. Распределение ресурсов, т.е. 5 работников, в количестве u1(1) = 3 на первую работу и u2(1) = 2 на вторую, естественно, удовлетворяет ограничениям (7.1) и (7.2). В данном случае они имеют конкретное выражение: 1 ≤ u1(1) ≤ 4, 1 ≤ u2(1) ≤ 3, u1(1) + u2(1) ≤ 5. По формуле (7.3) имеем t(1) = min{10/3,6/2} = min{ 3 13 ,3} = 3. Таким об-

разом, через 3 временных единицы (ВЕ) вторая работа закончилась. Ее окончание и завершает первый этап. По формуле (7.4) T(1) = 3, w1(1) = 9, w1(1) = 6. Итак, IF(2) = F(s) = {2}, но I0(2) = , поскольку окончания второй работы недостаточно для начала какой-либо новой работы.

Однако 2 работника высвобождены. Можно довести количество работников на первой работе для второго этапа до максимального, т.е. до 4. Тогда эта работа закончится через (10-9)/4 = 0,25 ВЕ, в момент времени 3,25.

На 3-м этапе могут выполняться уже работы 3, 4 и 5. Сохраняем прежнее распределение работников. Все работы завершатся через 6 ВЕ. После этого наступит 4-й этап с единственной работой 6, которая выполняется, как и по плану, с максимальным для нее количеством работников – 3 в течение планового времени.

Итак, перераспределение ресурсов по плану 1 принесло результат только на втором этапе, благодаря чему продолжительность проекта

75

Таким образом, план 2 оказался более эффективным. Но, как оказывается, он в большей степени улучшается в результате управления.

Первые два этапа для плана 2 те же, что и для плана 1. Затем следует третий этап продолжительностью 3 ВЕ, завершающийся с завершением 4-й работы. После этого невыполненный объем 3-й рабо-

ты равен 3. Добавляя 4-го работника на эту работу, через 3 ВЕ за-

4

вершаем ее. Продолжительность последнего этапа соответствует плановой – 4 ВЕ. В итоге проект может быть выполнен за 11 ВЕ, а не за 1113 ВЕ, как по плану. Как видим, эффект динамического перерас-

пределения ресурсов здесь более ощутим.

Заметим, что общий объем всех 6 работ равен 54, следовательно, при максимальном использовании производительности работников проект может быть завершен за 10,8 ВЕ (табл. 7.2). Оказывается, к этому минимальному времени можно приблизиться.

Разумеется, найти такой план-график без направленного поиска нельзя. Но показать процесс поиска на данном примере трудно: расчеты, легко выполняемые на компьютере, порождают слишком большое количество промежуточных данных. Но на более «легком» примере метод поиска демонстрируется в следующем разделе.

76

7.4. Оптимизация графика выполнения проекта

Легко увидеть, что набор работ на этапе определяется состоянием, соответствующим начальному событию этапа. Как было сказано, в результате каждого этапа завершается хотя бы одна работа. Таким образом, всевозможные траектории выполнения проекта образуют конечный ориентированный граф, вершины которого – события, а дуги – этапы. Среди его концевых вершин VT, характеризующихся завершением всех работ, оптимальной является вершина с наименьшим значением T(K), K VT.

Коль скоро граф вариантов выполнения проекта G построен, найти оптимальную траекторию очень просто: определить VT и найти минимум времени на нем. Беда в том, что G может иметь слишком большую размерность. Как ограничиться построением суграфа G, содержащего все наиболее эффективные траектории, и по возможности меньшей размерности?

Две ключевые идеи дают наши основные методы. Заметим, что если для двух вершин имеем соотношения T(k1) < T(k2), wi(k1) ≥ wi(k2), i = 1, …, N, то вершина k1 доминирует над вершиной k2: одни и те же распределения ресурсов на остаток проекта для обеих вершин дают траектории, из которых начинающаяся в вершине k1 заканчивается ранее (во всяком случае, не позднее) начавшейся в вершине k2 (предположение о существовании одинаковых распределений ресурсов при разных исходных вершинах не вполне точно, но утверждение в целом верно). Поэтому на основе принципа оптимальности динамического программирования вершину k2 следует считать тупиковой, не порождающей эффективных продолжений, и не вычислять суграф таких продолжений.

В методе ветвей и границ возможности отбрасывания неэффективных траекторий больше. Заметим, что время выполнения проекта на траектория, проходящих через вершину k, не меньше

На основе более тонких и частных соображений, касающихся последовательности работ, могут быть получены и более эффективные оценки, чем (7.5). Ясно, что если уже вычислена вершина K VT, то для всех вершин с Tmin (k) > T (K) продолжений траекторий строить не следует, так как они заведомо будут менее эффективны.

Алгоритм метода ветвей и границ применительно к рассматриваемой задаче весьма прост. Взяв в качестве нулевой вершины нача-

77

ла проекта, определяем ее оценку по формуле (7.5) и помечаем ее как «перспективную» (c(0) = 1). Определяем состояние расчета как «отсутствие завершенных траекторий» (C = 0).

Затем на каждой очередной итерации выбираем вершину с c(k) = 1 и минимальным значением Tmin(k) и порождаем исходящие дуги на основе всевозможных решений систем (7.1), (7.2) с вычислением t(s) из (7.3), давая дугам очередные номера. Определяем концы построенных дуг как потенциальные вершины с характеристиками, вычисляемыми по формулам (7.4), (7.5). Сравнивая параметры полученных вершин с параметрами уже включенных в G вершин, при их совпадении объявляем концом дуги найденную ранее определенную вершину, а при отсутствии совпадений объявляем потенциальную вершину новой вершиной с очередным номером – концом соответствующей дуги.

При этом статус добавленной вершины определяем следующим образом. Если вершина концевая, то:

1)полагаем, что c(k) = 3;

2)если C = 0, полагаем, что C = 1 («имеется завершенная траекто-

рия»), KR = K и R = T(K), иначе если R > T(K), полагаем KR = K, R = T(K);

3) в рассмотренных ситуациях с KR = K для всех k, для которых c(k) = 1 или c(k) = 3 и при этом Tmin (k) > R, полагаем c(k) = 2.

Если же вершина не концевая, полагаем, что c(k) = 1, если C = 0 или C = 1 и Tmin (k) ≤ R, иначе полагаем c(k) = 2.

Процесс оптимизации завершается, когда не остается не одной вершины с c(k) = 1. Искомая оптимальная траектория заканчивается вершиной с номером KR. Возвращаясь от нее к началу процесса по дугам, проходимым в обратном направлении, получим оптимальную траекторию (или целый набор оптимальных траекторий, если в некоторые вершины получаемых траекторий входит более одной дуги).

Перейдем к примеру (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Данные для задачи оптимизации графика выполнения проекта

78

Для выполнения расчетов целесообразно классифицировать качественно различные состояния. Далее качественное состояние одной работы обозначается так: закончена – 2, производится или может быть начата – 1, не может быть начата – 0. Для каждого качественного состояния в соответствии с (7.1), (7.2) допустим определенные наборы распределений работников. Мы рассматриваем только рациональные распределения, при которых часть работников остается незанятыми только при максимальных назначениях на начатые работы.

Список качественных состояний представлен в табл. 7.4, а эффективные распределения работников для этих состояний – в табл. 7.5. Процесс расчета показан в табл. 7.6 в виде количественных характеристик начального, промежуточных и финальных состояний, а граф переходов из одного состояния в другое – на рис. 7.1.

Таблица 7.4

Промежуточные состояния – возможные наборы неначатых, начатых и завершенных работ

79

Таблица 7.6

Процесс расчета оптимального графика выполнения проекта. Количественные характеристики промежуточных состояний

80