Дискретные задачи оптимизации в экономике, планировании и управлении. Учебное пособие

Впоследней таблице два экземпляра «Комсомольской» кольцевой

итри экземпляра Ярославского вокзала соответствуют разным маршрутам, последний – оптимальному маршруту.

101

9.3. Оптимизация маршрута с учетом неопределенности характеристик участков сети

Вреальной обстановке не только попутные машины, но зачастую

итранспортные средства, осуществляющие вполне регулярные МОТ, появляются в неопределенное время. Так, в Праге, где весь наземный общественный транспорт работает по известному расписанию, для метро никакого расписания не объявляется. Тем не менее неопределенность МОТ ограничена, так как известны максимальные интервалы между рейсами (обычно неодинаковые для разных часов).

Учет неопределенности значений времени переезда между остановками по определенным МОТ может быть двояким. Если речь идет о повторяющихся изо дня в день переездах между одними и теми же начальным и конечным пунктом, то целесообразно выбирать маршрут, минимизирующий время переезда в среднем. Для этого нужно определить время переезда между двумя остановками как случайную величину. Если интервалы между рейсами строго определенные, то резонно считать, что при любом времени появления на остановке время ожидания равномерно распределено от нуля до величины интервала, соответствующего времени суток, когда произошло появление. Труднее, но возможно построить вероятностную модель ожидания, когда интервал между рейсами непостоянен, но является случайной величиной. Но даже в простейшем случае задача резко усложняется: при известном времени старта длительность маршрута в целом и прибытия в любую из промежуточных остановок на маршруте становится случайной величиной. Непосредственное применение модифицированного алгоритма Дейкстры или Левита здесь не проходит. Кроме того, одно математическое ожидание длительности маршрута недостаточно характеризует его, нужно бы знать и дисперсию. Маршруты с меньшей средней длительностью, но с большим ее разбросом слишком рискованны даже для регулярных поездок. По-видимому, однокритериального выбора маршрута здесь недостаточно, нужно оценивать маршрут по двум критериальным показателям, математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению.

Другая задача – о маршруте с минимальной гарантированной продолжительности – проще. В ее основе – гарантированная верхняя оценка продолжительности маршрута, исходящая из того, что для каждой пересадки время ожидания максимально. И для времени движения между остановками, если оно может изменяться в некотором интервале, также принимается наибольшее значение.

102

Данная задача может быть сведена к задаче о быстрейшем маршруте на динамической сети с детерминированной динамикой (а возможно, и для статической сети). Для пешеходных переходов время передвижения известно, а если оно может изменяться в интервале (например, из-за ожидания зеленого сигнала светофора на наземном переходе), принимается наибольшее время задержки. В силу нашего стремления получить гарантированный результат при движении по любому маршруту вычисляется максимальное время достижения любого узла маршрутной сети. Следовательно, для оценки времени передвижения в другой узел (l) при рассчитанном (гарантированном) времени tгk прибытия в исходный узел (k) мы должны найти рейс, который начинается заведомо не раньше tгk и для которого максимальное время прибытия в узел l минимально среди всех таких рейсов. Для простоты рассмотрим случай, когда между этими остановками совершаются рейсы экспрессами с интервалом между рейсами T1 и продолжительностью переезда D1 и обычными рейсами с интервалом T2 и продолжительностью переезда D2. Легко понять, что при выборе поездки экспрессом самое позднее время прибытия в узел l составит t + T1 + D1, а обычным рейсом – t + T2 + D2. Меньшее из этих времен и есть наилучшее гарантированное время прибытия в узел l. Гарантированная сумма времени ожидания и поездки, кстати говоря, зависит от времени, только если интервалы между рейсами меняются в зависимости от времени суток. Если мы рассматриваем промежуток времени, в течение которого эти интервалы не меняются, задача о выборе гарантированного маршрута является статической.

В силу сведе́ния задачи к ранее рассмотренной не требуется разрабатывать для ее решения специальный алгоритм. Интересен, однако, вопрос, как должен вести себя пассажир, чтобы достигнуть цели не позже рассчитанного гарантированного времени. Это зависит от его текущей информированности. В рассмотренной задаче, если никаких сведений о прибытии ближайших рейсов нет, в случае если первым прибывает экспресс, конечно нужно садиться на него, так как он довезет его заведомо быстрее, чем обычный рейс, который к тому же еще не прибыл. И это время действительно будет меньше, чем рассчитанное нами гарантированное, чему бы оно ни равнялось, t + T1 + D1 или t + T2 + D2. А если, наоборот, раньше в момент t2 времени прибыл обычный рейс? Если информации о времени предстоящего прибытия рейса экспресса нет, но t2 + D2 ≤ t + T1 + D1, то отсюда вытекает, что экспресс не может гарантированно доставить пассажира в узел l раньше, чем прибывший рейсе. В противном случае оче-

103

редной экспресс заведомо довезет его быстрее и его нужно подождать. Если же момент прибытия t1 экспресса уже появился на информационном табло (на момент написания пособия такая система работала в Московском метро на Арбатско-Филевской линии и в тестовоме режиме на некоторых трамвайных линиях), то сравнивать нужно t2 + D2 и t1 + D1, выбирая из двух чисел наименьшее. Всё сказанное распространяется и на несколько параллельных маршрутов.

Теперь рассмотрим построение маршрута, наиболее эффективного в среднем, в предположении о том, что отсутствует корреляция между моментами остановок на разных МОТ. Если интервалы на разных МОТ различны, это действительно будет так. Тогда для каждого маршрута его среднее время как математическое ожидание суммы детерминированных и независимых случайных величин будет складываться из суммы детерминированных слагаемых (времена переходов и переездов) и математических ожиданий времен ожидания, равных половине интервала между поездами. В вычислительном аспекте оптимальный в среднем маршрут вычисляется, как если бы время ожидания имело фиксированное значение, равное среднему (а маршрут с минимальным гарантированным временем – как если бы время ожидания имело максимальное значение). Результаты для задачи выбора маршрута поездки на метро показаны в табл. 9.7.

Таблица 9.7

Оценки времени достижения промежуточных и конечного пунктов с учетом неопределенности, мин

104

Как мы видим, наилучшим в обоих смыслах оказался первый маршрут, тогда как для множества моментов старта, представленных в табл. 9.6 (и для значительно более широкого множества, просчитанного, но не показанного), в наибольшей доле случаев быстрейшим является третий, притом средняя продолжительность оказывается меньше, чем продолжительность маршрута, оптимального в среднем. Почему? Дело в том, что маршруты в табл. 9.6 выбирались на основе более полной информации, чем маршруты, показанные в табл. 9.7, и эта более полная информированность, естественно, была использована при оптимизации маршрута, что дало лучшие показатели.

Вопросы и упражнения

1.Как вы думаете, можно ли будет пассажиру, уже начавшему свой путь, выбрать более быстрый маршрут, если он будет знать моменты прибытия на ближайшие станции очередных поездов за пять минут до их прибытия? Как можно использовать эту информацию, минимизируя гарантированное время прибытия в конечный пункт?

2.Решите задачу о наилучшем маршруте при заданном времени старта и полной информации о расписании движения поездов для той же поездки, добавив в качестве варианта проезд от «Третьяковской» до «Тургеневской» с пересадкой на Сокольническую линию (считать интервал между поездами на этом участке равным 2 мин, время проезда 4,5 мин, время пересадки на станцию «Чистые пруды» 2 мин и время проезда от «Чистых прудов» до «Комсомольской» 3,5 мин).

105

10. ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА СУБОПТИМАЛЬНЫХ АЦИКЛИЧЕСКИХ ПУТЕЙ

10.1. Варианты задачи о субоптимальных путях

Проблема субоптимальных путей возникает в двух контекстах. Во-первых, разница в длине или продолжительности двух путей может считаться пренебрежимо малой. Тогда с точки зрения главного эффекта пути считаются эквивалентными и для выбора могут быть использованы дополнительные обстоятельства (привлекательность вида из окна, степень удобства прохождения развязок и т.п.). Желательно допустить к сравнению по неформальным критериям все эквивалентные пути.

С другой стороны, транспортная сеть может изменять свои параметры – время прохождения отдельных участков. При сравнительно малых изменениях параметров большинства участков (и, быть может, резком изменении для отдельных участков – например, в результате крупных аварий) оптимальным маршрутом станет тот, который был близок к оптимальному при расчетном состоянии сети.

Известны несколько подходов к проблеме субоптимальных путей. Чаще всего речь идет о выделении заданного количества путей (K) в порядке возрастания их длины (или продолжительности). Такую задачу решает предложенный в 1971 г. алгоритм Йена (J.Y. Yen). Речь идет только о путях без циклов. Однако в общем случае такого количества путей между двумя вершинами может не оказаться (для случая, когда сеть имеет структуру дерева, так будет всегда). Шир (D.A. Shier, 1976) предложил задачу с гарантированным решением для любой сети и метод ее решения. Речь идет о построении набора из K различных значений длин путей (а не самих путей, хотя их также можно найти) в порядке возрастания их длины, включая пути, содержащие циклы. С помощью незначительной модификации метода Шира можно получить и полное множество путей, длины которых субоптимальны. Однако количество самих получаемых при этом ациклических путей может быть каким угодно, и даже при наличии K ациклических путей алгоритм не позволяет гарантированно их получить. Алгоритм Йена позволяет найти множество субоптимальных

106

путей по любому критерию – по количеству или по отклонению длины от минимальной, а также установить отсутствие K ациклических путей, но крайне неэффективным способом.

Кроме задачи о K ациклических путях, взятых в порядке возрастания длины, не меньшее значение имеет задача определения множества путей между двумя вершинами сети, длина которых отличается от длины оптимального маршрута не более чем на заданную величину d. При надлежащем выборе последней именно такие пути могут считаться эквивалентными. Кроме того, для любого связного (ор)графа (и даже мульти(ор)графа) и любого значения d задача имеет решение. Правда, набор субоптимальных путей между некоторыми вершинами может состоять из единственного, собственно оптимального пути.

Идея алгоритма Йена крайне проста. Пусть найден оптимальный маршрут. Субоптимальные маршруты должны отличаться от него хотя бы одной дугой. Поочередно удалим из оптимального маршрута дуги с первой до последней и для каждой измененной сети найдем оптимальный путь. Лучший из этих маршрутов будет первым субоптимальным путем (не исключено, что для всех модифицированных сетей будет найден один и тот же маршрут, если первый субоптимальный путь не имеет общих дуг с оптимальным). Заметим, что для расчета маршрутов на модифицированной сети можно частично использовать результаты расчета на исходной сети, но это требует сложной организации вычислений и запоминания дополнительных данных. Второй субоптимальный маршрут должен отличаться от первых двух, от каждого – хотя бы одной дугой. Снова будем модифицировать сеть, выбрасывая из нее уже по одной дуге из каждого из них. Чем больше маршрутов нужно найти, тем больший перебор потребуется.

10.2.Метод решения задачи

оd-субоптимальных путях

Всамое последнее время для решения такой задачи предложены модификации метода динамического программирования (Дейкстры и Левита) и адаптирован метод ветвей и границ для геометрического графа в форме, рассмотренной в предыдущем разделе. Во всех случаях порождается набор экземпляров каждой вершины графа, соответствующих разным путям ее достижения, различающимся по дли-

107

не не более чем на d. Эти экземпляры нумеруются в порядке их порождения как (j, l). Наряду с самим экземпляром вершины должен храниться путь до нее P(j, l) как последовательность вершин, для мультиграфа – как последовательность пар (вершина, ребро). Добавление к пути ребра r с конечной вершиной i будем обозначать соответственно как P(j, l)||i и P(j, l)||(r, i).

Рассмотрим модифицированный алгоритм Дейкстры. В нем используется число M, которое заведомо больше длины любого ациклического пути на графе.

1. Пусть D11 = 0, K = , K′ = {(1, 1)}, P(1, 1) = (1). Для всех i = 1, ..., m полагать Ni = 0, Di = M.

2.Определить (i, k) K′, на которой достигается минимум Djl для (j, l) K′.

3.Если

остановиться.

4.Перевести (i, k) из K′ в K. Если Ni = 1, положить Di = Dik.

5.Для всех j J2i, для которых j P(i, k), вычислить D′ = Dik + dij.

Если

полагать Nj = Nj + 1, l = Nj, добавить в K′ пару (j, l) и определить для нее Djl = D′, P(j, l) = P(i, k)||j.

6. Если K′ ≠ , перейти к п. 2.

Если нет выделенной конечной вершины и требуется определить субоптимальные пути до всех вершин, условие п. 3 не применяется. Результат применения алгоритма – набор экземпляров всех вершин (или только заданной вершины J) во множестве K в момент окончания выполнения алгоритма.

Таким образом, при нахождении нового пути к конкретной вершине j вместо замены значения длины пути до вершины на меньшую в модифицированном алгоритме применяется добавление нового экземпляра вершины, если только длина этого нового пути оказывается меньше Dj + d, т.е. путь оказывается в числе субоптимальных для этой вершины.

Правда, пока некоторый экземпляр вершины не попадет в K, о субоптимальности маршрутов судить нельзя. Можно модифицировать

108

предложенный алгоритм, предусмотрев в нем отсев вершин не по фактическому минимальному значению длины пути, а по его текущей оценке – минимальному из рассчитанных значений Djl. Такую модификацию алгоритма предлагается выполнить в порядке упражнения.

Обоснование предложенного алгоритма состоит в следующем. При его применении для любой вершины оптимальное значение длины пути до нее порождается вместе с экземпляром этой вершины. При этом экземпляр вершины с минимальной длиной пути до нее вводится в K раньше других и определяет минимальную длину пути. Это относится и к выделенной J-й вершине, если она определена.

Порождение новых экземпляров вершин заканчивается, как только не находится либо новых субоптимальных путей до всех вершин, т.е. нарушается условие (10.2), либо только до J-й вершины, т.е. выполняется условие (10.1). В первом случае множество K′ перестает пополняться и через ряд циклов остается пустым, во втором в K′ не находится ни одного перспективного экземпляра какой-либо вершины, путь из которой в J-ю мог быть субоптимальным.

Вариант рассмотренного метода ветвей и границ также предполагает порождение набора экземпляров вершин вместе с приводящими в них путями. При этом разные экземпляры вершины могут различаться по длине путей до нее не более, чем на d. При порождении нового экземпляра вершины поддерево с корнем в ранее определенном экземпляре копируется для нового экземпляра. Если ранее порожденные экземпляры заведомо не дают субоптимальных путей, они объявляются тупиковыми, как в базовом алгоритме.

Рассмотрим применение обоих подходов к ранее рассмотренному примеру (рис. 6.3). Порядок вычисления представлен в табл. 10.1, которая подобна приведенной в разделе 5, но с добавлением дополнительных столбцов (k, P(j, k)). В нашем примере d = 2. Как мы видим, для расчета 5 субоптимальных путей потребовалось породить в общей сложности 40 экземпляров узлов сети.

Далее рассмотрим применение метода ветвей и границ к той же задаче (рис. 10.1). В рассматриваемом случае, не самом благоприятном для применения метода ветвей и границ, в дереве решения образуется всего 26 вершин (экземпляров узлов сети). В дереве решений для каждой вершины показано: номер узла сети и в скобках номер экземпляра; нижняя оценка длины маршрута, а сверху, на границе фигуры, – очередность порождения вершины в дереве.

109

Таблица 10.1

Порядок расчета субоптимальных маршрутов между вершинами 1 и 7

110