Дискретные задачи оптимизации в экономике, планировании и управлении. Учебное пособие

Дальнейшее преобразование в том же духе можно выполнить, вычислив минимальные значения по столбцам табл. 12.3 и вычтя их из значений в соответствующих столбцах (табл. 12.4). Сумма минимумов составляет 1120. В итоге получим, что минимальный по длине маршрут не короче 5840 + 1120 = 6960 км (и не длиннее, как мы помним, 9030 км). Разница между верхней и нижней оценкой достаточно велика, чтобы пытаться найти лучший маршрут, чем ранее вычисленный, но по мере их сближения значение дальнейшей оптимизации падает.

Пытаясь максимально приблизиться к нижней оценке, мы пытаемся использовать в искомом маршруте только переезды, условная длина которых в табл. 12.4 равна нулю. Для выбора наиболее перспективного переезда мы выбираем тот, отказ от которого влечет максимальное удлинение маршрута. Например, если мы отказываемся от переезда София–Стамбул, значит, из Софии мы поедем в другой город и в Стамбул приедем не из Софии. Из Софии мы можем поехать в Тирану – тот же 0, а вот в Стамбул попадем в лучшем случае из Таллина (условное расстояние 290). Итак, для всех условно нулевых переездов мы получим такие оценки потери от их неиспользования (табл. 12.5).

131

Обведенные значения показывают преимущественные участки маршрута. Ввиду того, что речь идет о встречных участках, а направление обхода городов не имеет значения, неважно, какой из двух участков выбрать.

Вопросы и упражнения

1.Следует ли из постановки задачи, что в каждом городе коммивояжер побывает только один раз?

2.Решите задачу о коммивояжере на основе данных из табл. 9.4,

9.5– оптимальный по времени маршрут посещения станций «Третьяковская», «Охотный ряд», «Павелецкая кольцевая», «Комсомольская кольцевая», «Марксистская» исходя из среднего времени ожидания поезда. Переходы между станциями пересадки считать одинаковыми в обе стороны, а длительность перехода между кольцевой и радиальной «Комсомольской» принять равной 5 мин.

132

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод динамического программирования был предложен и начал применяться к различным типам задач оптимизации в дискретных и непрерывных переменных более полувека назад. Изначально область его применения представлялась очень широкой. Метод ветвей и границ был выдвинут впервые женщинами-математиками Лэнд и Дойг в 1960 г. применительно к задаче целочисленного линейного программирования, постепенно расширять область своего применения. Представление об универсальном значении динамического программирования постепенно было поколеблено.

Тем не менее для широких классов задач дискретной оптимизации динамическое программирование удерживает прочное место, как, впрочем, и метод ветвей и границ. Как можно было убедиться, преимущества того или иного метода или даже алгоритма для конкретного типа задач сильно зависит от деталей его реализации, структур данных и организации различных вспомогательных вычислений, которым нужно уделять достаточно внимания во всех случаях, когда существенную роль играет вычислительная эффективность.

Наряду с классическими задачами, известными десятилетиями, в рассматриваемой области непрерывно появляются и новые, что диктуется прежде всего потребностями решения возникающих проблем из области экономики, планирования и управления. Их успешное решение может способствовать повышению конкурентоспособности организаций, где подобные задачи решаются. В учебном пособии было показано, что многие из новых задач могут быть решены путем развития ранее известных методов с сохранением присущей им вычислительной эффективности. Развитие описанных в учебном пособии подходов может послужить успешному решению и других, ранее не встречавшихся задач.

133

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Афанасьев Н.Н., Коровкина Т.Е. К задаче о нахождении оптимального контура карьера // Теория оптимальных процессов. – Киев, 1974. – С. 53–61.

2.Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: ИЛ, 1960.

3.Валуев А.М., Величенко В.В. О задаче планирования полета самолета гражданской авиации по свободному маршруту // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2002. – № 6. – С. 149–157.

4.Валуев А.М. Вычисление оптимальных маршрутов в сети с заданной динамикой ее загруженности для эволюционного решения задачи о равновесном рациональном распределении перевозок // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2011. – №ОВ6.

Информатизация и управление. – С. 115–125.

5.Введение в прикладное дискретное программирование: модели

ивычислительные алгоритмы: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению и специальности «Прикладная математика и информатика» / И.Х. Сигал, А.П. Иванова. – Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Физматлит, 2007. – 304 с. ил.

6.Йенсен П., Барнес П. Потоковое программирование. – М.: Радио и связь, 1984. – 392 с.

7.Касьянов В.Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. – СПб: БХВ-Петербург, 2003.

8.Кнут Д. Искусство программирования. Т. 3. Сортировка и поиск. – М.: Мир, 2001.

9.Левит Б.Ю., Лившиц В.Н. Нелинейные сетевые транспортные задачи. – М.: Транспорт, 1972. – 144 с.

10.Романовский И.В. Дискретный анализ. Учеб. пос. для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. – Изд. 2-е, испр. – СПб.: Невский диалект, 2000. – 240 с.

11.Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М.: Мир, 1984. – 496 с.

12.Chen Y.L., Chin Y.H. The quickest path problem // Computers and Operations Research. 1990. – V. 17. – P. 153–161.

134

Учебное издание

Валуев Андрей Михайлович

ДИСКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ, ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ

Учебное пособие

Редактор И.Н. Машакина

Компьютерная верстка И.Г. Иваньшина

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

135