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Башкирский Государственный Аграрный Университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Дискретизация сигналов. Учебное пособие

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ɢɦɟɟɦ

2 | x(n't) |

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§Z p ·

1 e jZs

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2 jQ¨

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(2.16)

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¸.

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|Z| Zc

§Z p ·

Ɂɞɟɫɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧ ɬɨɬ ɮɚɤɬ, ɱɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Q'¨

ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ ɩɪɢ

0 d

Z p

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ

sin

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(n't) x(n't)

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e jZ s ¨

1¸ dZ

³ e jZ sdZ

Z p

(2.17)

§Z p

Z s

sinZc s

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sinZ

sup

sin

ȼɜɨɞɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ

	1	Zc	§Z p ·			jZ s
M		³	Q¨		¸de		,	(2.18)
M	s	³	Q¨	2	¸de		,	(2.18)
	s	Z	©	2	¹
		c

ɩɨɥɭɱɢɦ

sinZc s

' n

| y

(n't) x(n't) | ¨M 2

(2.19)

' n2 | x(n't) | M

Ɉɰɟɧɢɦ ɜɥɢɹɧɢɟ ɪɚɡɧɨɫɬɢ [ y* (n't) x(n't)]

ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ

ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ. ɂɡ (2.3) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ

n't

y*(n't) x(n't)

³M(t n't)>x(t) x(n't)@dt

M(t n't)n(t)dt

(2.20)

n't

ɉɟɪɜɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɜ (2.20) ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ, ɩɨɥɶɡɭɹɫɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟɦ ɮɭɧɤɰɢɢ x(t) ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ Ɍɟɣɥɨɪɚ ɢ ɱɟɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɫɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ M(t) :


n't		W			W
						2
2			1
³M(t n't)>x(t) x(n't)@dt				x''>n't [@		³M(t) t2dt I1 .
			2
n't	W						W

2					2

Ɂɞɟɫɶ [ W2 .

ɉɭɫɬɶ x(t) d A , ɬɨɝɞɚ, ɩɨɥɶɡɭɹɫɶ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ Ȼɟɪɧɲɬɟɣɧɚ

x'(t)max dZc x(t) max ,

ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ:


				W
	1	2			2		2
I1 d		Zc	A		³M(t) t			dt .
I1 d	2	Zc	A		³M(t) t			dt .
	2					W
						W
				2

(2.21)

(2.22)

(2.23)

ȼɬɨɪɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɜ (2.20) ɟɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɢ ɢɦɟɟɬ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ, ɪɚɜɧɭɸ:

V 2	2	2
V 2	³	³M(t)M(x)R(t x)dtdx I2 .	(2.24)

W2 W2

ȼɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ I2 d I1 , ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ' 1n ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ

ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ (2.23), ɢɡ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɹ ' 1n ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ

ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ³M(t) t2dt . Ʉɥɚɫɫ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ M(t) ɜɟɫɶɦɚ ɲɢ-

ɪɨɤ, ɨɞɧɚɤɨ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɚɩɩɚɪɚɬɭɪɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɤɨɫɢɧɭɫɨɢɞɚɥɶɧɵɣ ɢ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ ɢɦɩɭɥɶɫɵ, ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɜ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚɯ 1.2.1, 1.2.2.

ɉɭɫɬɶ

cosS

| t |

M1 (t)

2 , M1(t)

2 .

(2.25)

®W

°0, | t |!

Ɉɛɟ ɮɭɧɤɰɢɢ M1 ɢ M2 ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɭɫɥɨɜɢɸ ɧɨɪɦɢɪɨɜɤɢ (2.25) ɢ ɨɛɪɚ-

ɡɭɸɬ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ


W								W
	2		2	(t)dt 0,05W	2	0,08W	2		2		2	(t)dt .	(2.26)
	³t		M1	(t)dt 0,05W		0,08W		³t			M2	(t)dt .	(2.26)
		W								W
2								2

ɂɡ ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɟɧɢɹ (2.26) ɫ (2.23) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɤɨɫɢɧɭɫɨɢɞɚɥɶɧɨɣ ɜɟɫɨɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ M1(t) ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬ ɜ 1,6 ɪɚɡɚ ɦɟɧɶɲɟɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ M2 (t) .

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɜɟɥɢɱɢɧɭ I2. ɂɡ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ (2.24) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ I2 ɞɨ-

ɫɬɢɝɚɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ I2 max	V 2 ɩɪɢ M(t) G (t) ɢ R(t)	o0	ɢ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ
		tof
ɞɨ ɧɭɥɹ ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ W	ɞɥɹ ɲɢɪɨɤɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɮɭɧɤɰɢɣ M(t) , ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɞɥɹ

M1(t) ɢ M2 (t) . ȼ ɬɨ ɠɟ ɜɪɟɦɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ I1 , ɤɚɤ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɡ (2.23), ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ

W ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ. Ɉɬɫɸɞɚ ɫɪɚɡɭ ɜɵɬɟɤɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ' 1n ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɞɟ-

ɥɚɧɚ ɤɚɤ ɭɝɨɞɧɨ ɦɚɥɨɣ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɲɭɦɚ ɧɚ ɜɯɨɞɟ. ɋɨɤɪɚɳɟɧɢɟ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɫɬɪɨɛɢɪɭɸɳɟɝɨ ɢɦɩɭɥɶɫɚ W ɧɢɠɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɝɪɚɧɢɰɵ ɧɟ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɢ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨ ɭɫɥɨɠɧɹɟɬ ɚɩɩɚɪɚɬɭɪɧɭɸ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɸ. Ɏɢɡɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨɬ ɮɚɤɬ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɫ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɟɦ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ I1 ɫɭɦ-

ɦɚɪɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ' 1n	ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɲɭɦɨɜɚɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɚɹ I2, ɦɚɫ-
ɤɢɪɭɸɳɚɹ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɟ ɫɧɢɠɟɧɢɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ I1.
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɧɢɠɧɟɣ ɝɪɚɧɢɰɵ W ɦɨɠɧɨ ɜɡɹɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ W					W0 , ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ
	I1			I 2 .	(2.27)
	R(x) V 2e	\|x\|
ɉɭɫɬɶ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,		W	,	f (t) AsinZt, M(t) M1(t) , ɬɨɝɞɚ ɜ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ (2.24)

W W

|x t|

r2 §

dtdx 2V

¨W

³³e

¨ r

0 0

ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɢɡ (2.23) ɢɦɟɟɦ

2 W

(2.28)

(2.29)

ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ I1,I2 ɜ (2.27), ɩɨɥɭɱɢɦ:

W 2

AZ2

2 V

1 .

(2.30)

ȿɫɥɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɲɭɦɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɦɚɥ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, r = 0,001T,

ɝɞɟ T

, ɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V

0,01A, ɬɨ ɢɡ (2.30) ɩɨɥɭ-

ɱɢɦ ɧɢɠɧɸɸ ɝɪɚɧɢɰɭ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ W ɢɦɩɭɥɶɫɚ M2 (t) : W0

0,04T .

ɋɭɦɦɢɪɭɹ ɜɵɲɟɫɤɚɡɚɧɧɨɟ, ɩɨɥɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɫɢɝɧɚɥɚ

ɩɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɦ ɨɬɫɱɟɬɚɦ ɦɨɠɧɨ ɨɰɟɧɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:

' d '01 ' 02 '03 ' 04 ,

(2.31)

ɝɞɟ

' 01

¦un0 (t) ,

|n| !N

sup

sin

Z s ·

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sinZ

|Z| Z

2 ¸

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2AQ¨

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' 03 2I1

' 04 2 I2

sup

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sinZ

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|Z| Z

¨1 Q¨

¸¸ Q¨

, (2.32)

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sup sin

Z s ·

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§Z

p ·

|Z| Z

¨1

Q¨

¸¸

Q¨

¸.

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|n| N ¨

¹¹

ɋɥɚɝɚɟɦɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ (2.31) ɨɩɢɫɵɜɚɸɬ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ ɩɨɥɧɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ, ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚɦɢ ɜɨɡɧɢɤɧɨɜɟɧɢɹ.

' 01 – ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɭɫɟɱɟɧɢɹ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɚɹ ɩɪɢ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ ɨɬɫɱɟɬɨɜ N; ' 01 0 ɩɪɢ N f.

' 02 – ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸ p ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ v(t) , ɩɨɫɬɭɩɚɸɳɢɯ ɧɚ ɜɨɫɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɸɳɢɣ ɮɢɥɶɬɪ; ' 02o 0 ɩɪɢ p o 0 .

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ' 03 ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɚ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɯ ɨɬɫɱɟɬɨɜ y(n't) ɢ ɨɛɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɧɭɥɶ ɩɪɢ M(t) G(t) .

ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ' 04 ɨɬɪɚɠɚɟɬ ɧɚɥɢɱɢɟ ɲɭɦɚ ɜɨ ɜɯɨɞɧɨɦ ɫɢɝɧɚɥɟ.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɰɟɧɤɚ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɜɵɪɚɠɟɧɢɣ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɭɱɟɫɬɶ ɜɥɢɹɧɢɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɢ ɨɰɟɧɢɬɶ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɨɫɬɶ ɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ ɜɜɟɞɟɧɢɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɪɟɤɬɢɪɭɸɳɢɯ ɮɢɥɶɬɪɨɜ.

2.3. ɂɧɫɬɪɭɦɟɧɬɚɥɶɧɚɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɢ (ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ)

ɉɪɨɰɟɫɫ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɢ ɫɨɩɪɹɠɟɧ ɫ ɩɨɹɜɥɟɧɢɟɦ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ, ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɵɯ ɧɟɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟɦ ɜ ɪɟɚɥɶɧɨɣ ɠɢɡɧɢ ɭɫɥɨɜɢɣ ɬɟɨɪɟɦɵ Ʉɨɬɟɥɶɧɢɤɨɜɚ, ɧɨ ɢ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɯ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɫɬɢ ɛɵɫɬɪɨɞɟɣɫɬɜɢɹ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɨɣ ɚɩɩɚɪɚɬɭɪɵ.

ȼ ɩɨɞɚɜɥɹɸɳɟɦ ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɟ ɫɥɭɱɚɟɜ ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɢ ɢ ɤɜɚɧɬɨɜɚɧɢɹ ɫɢɝɧɚɥɨɜ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɚɧɚɥɨɝɨ-ɰɢɮɪɨɜɵɦɢ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɹɦɢ (Ⱥɐɉ). ɉɪɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧɢɹ ɜɵɫɨɤɨɣ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ Ⱥɐɉ ɫ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚɦɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢ ɯɪɚɧɟɧɢɹ (ɍȼɏ) ɧɚ ɜɯɨɞɟ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɹ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɚɧɚɥɨɝɨɜɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥɚ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɜ ɍȼɏ, ɢ ɢɦɟɧɧɨ ɟɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɚɥɶɧɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɢ (ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ). ɉɨɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɤɜɚɧɬɨɜɚɧɢɹ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɞ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɦɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɫɢɝɧɚɥɚ ɢ ɧɚ ɩɪɨɰɟɫɫ ɞɢɫɤɪɟɬɢɡɚɰɢɢ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɟɯɚɧɢɡɦ ɜɨɡɧɢɤɧɨɜɟɧɢɹ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɜ Ⱥɐɉ, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ – Ⱥɐɉ ɫ ɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚɦɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ɢ ɯɪɚɧɟɧɢɹ.

ɉɨɥɧɚɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɚɹ ɫɯɟɦɚ ɍȼɏ ɞɨɥɠɧɚ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɨɬɤɪɵɬɨɝɨ ɤɥɸɱɚ, ɟɝɨ ɦɟɠɷɥɟɤɬɪɨɞɧɵɟ ɟɦɤɨɫɬɢ, ɧɟɢɞɟɚɥɶɧɨɫɬɶ ɧɚɤɨɩɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɤɨɧɞɟɧɫɚɬɨɪɚ, ɮɨɪɦɭ ɢ ɧɟɫɬɚɛɢɥɶɧɨɫɬɶ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɢ ɮɚɡɵ ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɢɯ ɢɦɩɭɥɶɫɨɜ. ɍɱɟɬ ɜɫɟɯ ɷɬɢɯ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɜ ɩɪɢɧɰɢɩɟ ɩɨɡɜɨɥɢɬ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɢɫɚɬɶ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ, ɨɞɧɚɤɨ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɶ ɢ ɜɵɫɨɤɢɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɬɚɤɨɣ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɣ ɫɯɟɦɟ, ɞɟɥɚɟɬ ɷɬɨ ɜɟɫɶɦɚ ɫɥɨɠɧɨɣ ɡɚɞɚɱɟɣ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɨɛɵɱɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɭɩɪɨɳɟɧɧɭɸ ɥɢɧɟɣɧɭɸ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɭɸ ɫɯɟɦɭ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɭɸ: u1 – ɢɫɬɨɱɧɢɤ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ ɫ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɦ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟɦ RȽ , R(t) – ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɟ ɫɨ-

ɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɤɥɸɱɚ, ɭɩɪɚɜɥɹɟɦɨɝɨ ɢɦɩɭɥɶɫɨɦ u ɭɩɪ , ɋɧ – ɧɚɤɨɩɢɬɟɥɶɧɚɹ ɟɦ-

ɤɨɫɬɶ, Rɜɯ – ɜɯɨɞɧɨɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɛɭɮɟɪɧɨɝɨ ɭɫɢɥɢɬɟɥɹ.

ɋɬɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɩɨɞɨɛɧɨɝɨ ɍȼɏ, ɤ ɤɨɬɨɪɵɦ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɫɦɟɳɟɧɢɟ ɧɭɥɹ, ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɩɟɪɟɞɚɱɢ, ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɯɪɚɧɟɧɢɹ, ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɨɞɪɨɛɧɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɜ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɟ.

ɑɢɫɥɨ ɪɚɡɪɹɞɨɜ Ⱥɐɉ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɨɝɨ ɞɥɹ ɤɜɚɧɬɨɜɚɧɢɹ ɜɵɯɨɞɧɵɯ ɫɢɝɧɚɥɨɜ ɍȼɏ, ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɨɝɪɚɧɢɱɢɜɚɬɶ ɢɫɯɨɞɹ ɢɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɬɚɬɢɱɟ-

ɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɍȼɏ 'ɫɬ. Ɉɛɵɱɧɨ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɨɛɥɸɞɚɸɬ ɭɫɥɨɜɢɟ 'ɫɬ q 2 ,

ɝɞɟ q – ɲɚɝ ɤɜɚɧɬɨɜɚɧɢɹ Ⱥɐɉ. Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɭɸ ɠɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ 'ɞ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɭɫɥɨɜɢɹ 'ɞ t q 2 , ɤɨɝɞɚ ɨɧɚ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɩɪɟɜɵ-

ɲɚɬɶ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ Ⱥɐɉ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ Ⱥɐɉ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɟɝɨ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢ ɨɩɢɫɚɧɢɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɢ ɩɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɟɟ ɚɧɚɥɢɡɟ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ ɧɟ ɛɭɞɟɦ.

2.3.1. ɋɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ

Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɚɹ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɡɹɬɢɹ ɨɬɫɱɟɬɚ, ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɧɨɣ ɧɚɥɢɱɢɟɦ ɚɩɟɪɬɭɪɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ta .

ȼ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɟɣ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɍȼɏ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɪɟɠɢɦɚ ɪɚɛɨɬɵ ɜɵɞɟɥɹɸɬ ɞɜɟ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ:

ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ (ɧɟɞɨɡɚɪɹɞɚ) ɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɭɸ ɚɩɟɪɬɭɪɧɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ.

ɉɪɨɜɟɞɟɦ ɫɪɚɜɧɢɬɟɥɶɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɷɬɢɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɢ ɨɰɟɧɢɦ ɢɯ ɪɟɚɥɶɧɨ ɞɨɫɬɢɝɚɟɦɵɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ.

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ Gɫɥ ɨɛɭɫɥɨɜɥɟɧɚ ɢɧɟɪɰɢɨɧɧɨɫɬɶɸ ɰɟɩɢ ɡɚɪɹɞɚ ɧɚɤɨɩɢɬɟɥɶɧɨɣ ɟɦɤɨɫɬɢ. ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɩɪɢɧɹɬɨɣ ɦɨɞɟɥɶɸ ɷɬɚ ɰɟɩɶ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɚɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɦ ɡɜɟɧɨɦ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫ ɩɟɪɟɞɚɬɨɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ

W ( p)		1	,	(2.33)
	1	pWɡ

ɝɞɟ Wɡ (RȽ Ro ) Cɧ – ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɜɪɟɦɟɧɢ ɰɟɩɢ ɡɚɪɹɞɚ;

Ro – ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɡɚɦɤɧɭɬɨɝɨ ɤɥɸɱɚ.

ȼɯɨɞɧɨɟ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɛɭɮɟɪɧɨɝɨ ɭɫɢɥɢɬɟɥɹ ɧɟɫɥɨɠɧɨ ɨɛɟɫɩɟɱɢɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɦ Rɜɯ !! RȽ Ro , ɩɨɷɬɨɦɭ ɜ ɪɟɠɢɦɟ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɢ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ ɟɝɨ ɨɛɵɱɧɨ ɧɟ ɭɱɢɬɵɜɚɸɬ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɰɟɫɫ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɩɪɢ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦ ɜɯɨɞɧɨɦ ɫɢɝɧɚɥɟ: ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɧɚ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɯɨɞɧɨɟ ɧɚɩɪɹ-

ɠɟɧɢɟ U1 (ɜɟɤɬɨɪ OA) ɢ ɜɵɯɨɞɧɨɟ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɟ U2 W ( jZ) U1

(ɜɟɤɬɨɪ OB).

Ɇɨɞɭɥɶ ɜɵɯɨɞɧɨɝɨ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ

(2.34)

1 Z2Wɡ2

ɮɚɡɨɜɵɣ ɫɞɜɢɝ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɯɨɞɧɨɝɨ M

arctg ( ZW ɡ) .

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɧɚ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪɨɦ

BA, ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɨɞɭɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɧɨ:

Gɫɥ

ZWɡ

(2.35)

1 Z2Wɡ2

ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɭɦɟɧɶɲɟɧɚ ɩɭɬɟɦ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ

OB ɧɚ ɭɝɨɥ M ɞɨ ɫɨɜɩɚɞɟɧɢɹ ɫ ɨɫɶɸ ɚɛɫɰɢɫɫ. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɜɟɫɬɢ ɡɚ-

ɞɟɪɠɤɭ ɜɵɯɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥɚ ɍȼɏ ɧɚ ɜɪɟɦɹ (–Wɡ). Ɏɢɡɢɱɟɫɤɢ ɧɟɪɟɚɥɢɡɭɟɦɚɹ ɡɚ-

ɞɟɪɠɤɚ ɧɚ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɟ ɜɪɟɦɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɚ ɢɡɦɟɧɟɧɢɸ ɞɚɬɢɪɨɜɤɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɨɬɫɱɟɬɚ, ɬ. ɟ. ɨɬɧɟɫɟɧɢɢ ɨɬɫɱɟɬɚ, ɜɡɹɬɨɝɨ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t = 0, ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ ɜɪɟɦɟɧɢ t Wɡ . ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɩɨɫɥɟ ɬɚɤɨɣ ɤɨɪɪɟɤɰɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ

ɬɨɥɶɤɨ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɫɢɝɧɚɥɨɜ u1(t)

ɢ u2 (t) ɢ ɪɚɜɧɚ

Gɫɥ.ɤ

=1-

(2.36)

1 Z2W 2 ɡ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɞɚɬɢɪɨɜɤɢ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɜ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɣ ɦɟɪɟ ɫɤɨɦɩɟɧɫɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɫɲɢɪɢɬɶ ɫɩɟɤɬɪ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥɚ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɭɪɨɜɧɹ 1 % ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɩɪɢ ZW ɡ = 0,15, ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɜ 15 ɪɚɡ ɛɨɥɶɲɟɣ ɱɚɫɬɨɬɟ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝ-

ɧɚɥɚ.

ȿɳɟ ɛɨɥɟɟ ɩɨɥɧɚɹ ɫɬɟɩɟɧɶ ɤɨɪɪɟɤɰɢɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɫɥɟɠɟɧɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɞɨɫɬɢɝɧɭɬɚ ɜɜɟɞɟɧɢɟɦ ɮɨɪɫɢɪɭɸɳɟɝɨ ɡɜɟɧɚ ɧɚ ɜɯɨɞɟ ɍȼɏ ɥɢɛɨ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɰɢɮɪɨɜɨɣ ɮɢɥɶɬɪɚɰɢɟɣ.

ȼɬɨɪɨɣ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɟɣ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ, ɫɪɚɜɧɢɦɨɣ ɩɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɫ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶɸ ɫɥɟɠɟɧɢɹ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ. ɉɪɢɱɢɧɨɣ ɟɟ ɜɨɡɧɢɤɧɨɜɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɧɟɱɧɨɫɬɶ ɜɪɟɦɟɧɢ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ ɤɥɸɱɚ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɰɟɫɫ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ. ȼ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t = 0 ɜ ɍȼɏ ɩɨɫɬɭɩɚɟɬ ɭɩɪɚɜɥɹɸɳɢɣ ɩɟɪɟɩɚɞ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɹ. ɋɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɤɥɸɱɚ, ɪɚɜɧɨɟ R0 ɜ ɪɟɠɢɦɟ ɫɥɟɠɟɧɢɹ, ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɜɨɡɪɚɫɬɚɬɶ ɢ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ t = tɩ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɪɚɜɧɵɦ Rf – ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɸ ɪɚɡɨɦɤɧɭɬɨɝɨ ɤɥɸɱɚ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ, ɱɬɨ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ ɤɥɸɱɚ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ

ɩɨ ɥɢɧɟɣɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ u1(t)	u0 u1t .
Ɍɨɤ, ɩɪɨɬɟɤɚɸɳɢɣ ɱɟɪɟɡ ɤɥɸɱ, ɪɚɜɟɧ
i		u1(t) u2 (t)	C	du2	,	(2.37)
i		R(t)	C	dt	,	(2.37)
		R(t)		dt
	39

ɨɬɫɸɞɚ

du2

u /t) .

(2.38)

R(t)C

ɉɪɢ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦ ɭɫɥɨɜɢɢ

u2 (0)

u0 u1R0C , ɭɱɢɬɵɜɚɸɳɟɦ ɧɚɥɢɱɢɟ ɩɨ-

ɝɪɟɲɧɨɫɬɢ ɫɥɟɠɟɧɢɹ, ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.38) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

(t)

R Ce

R(t)C

u/ e 0 R(t)C

R(t)C dt .

(2.39)

0 R(t)C

Ⱦɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɜɵɯɨɞɧɨɝɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɍȼɏ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ

ɦɨɦɟɧɬɭ ɨɤɨɧɱɚɧɢɹ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ ɤɥɸɱɚ t

tɩ , ɪɚɜɧɚ

tɩ

(t)

(t) u

)

R(t)C

u ¨t

R Ce 0

e 0

tɩ t		t
		³
³		e0

0 R(t)C

dt ·

R(t)C dt¸¸ (2.40)

¸¸

ɝɞɟ tɞ – ɦɨɦɟɧɬ ɞɚɬɢɪɨɜɤɢ ɨɬɫɱɟɬɚ.

ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ (2.40) ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɦɨ-

ɞɟɥɢ ɍȼɏ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɜɯɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥɚ u/

ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ

ɨɬ ɭɪɨɜɧɹ ɫɢɝɧɚɥɚ.

ɉɪɢ ɨɬɧɟɫɟɧɢɢ ɨɬɫɱɟɬɚ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ ɧɚɱɚɥɚ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ ɤɥɸɱɚ (tɞ

0) ɩɨ-

ɝɪɟɲɧɨɫɬɶ 'ɞ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɜɟ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɟ: ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɥɟɠɟɧɢɹ

tɩ

R C e

R(t)C

(2.41)

ɫɥ

ɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɪɚɡɦɵɤɚɧɢɹ

tɩ

R(t)C

R(t)C dt .

u/ e 0

(2.42)

0 R(t)C

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