Аналитическая механика. Сборник задач. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Е. ЛЕВИН, Д.А. КРАСНОРУЦКИЙ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2017

1

УДК 531.011(075.8) Л 363

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор К.А. Матвеев д-р техн. наук, профессор И.П. Олегин

Левин В.Е.

Л 363 Аналитическая механика. Сборник задач: учеб. пособие / В.Е. Левин, Д.А. Красноруцкий. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 28 с.

ISBN 978-5-7782-3127-6

Предлагаемые к решению задачи составлены в свое время нашим учителем, профессором Р.Е. Лампером применительно к курсу «Аналитическая механика», который он сам и поставил на кафедре «Прочность летательных аппаратов». Формулировки этих задач в основном словесные. Решающий должен сам нарисовать расчетную схему задачи, используя стандартные обозначения.

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов для студентов III курса дневной формы обучения по специальности 150303 «Прикладная механика»

СТАНДАРТНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ,

J– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс

g– ускорение поля сил тяжести

– собственное значение

– круговая частота

4

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1.1. Условия связей

Связи – это ограничения, накладываемые на положения и скорости материальных точек, составляющих механическую систему. Если положения материальных точек до наложения связей заданы радиусами-

векторами r ( – номер точки) или их компонентами x , y , z , то

связи представлены соотношениями между радиусами-векторами или их компонентами для различных точек (конечные связи) или соотно-

шениями между скоростями r или компонентами скоростей x , y , z (дифференциальные связи). В условия связей может входить

время.

В случае дифференциальных связей они должны быть линейными относительно скоростей. Коэффициенты линейных форм могут зависеть от положений точек системы и времени.

Кроме декартовых, условия связей могут быть записаны в других системах координат.

Условия связей между материальными точками абсолютно твердого тела тождественно выполняются введением обобщенных координат, описывающих произвольное положение тела. Если, кроме того, имеются связи, ограничивающие движение абсолютно твердого тела, они могут быть представлены соотношениями между обобщенными координатами или обобщенными скоростями.

1.2. Виртуальные перемещения. Условия равновесия

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения материальных точек, совместные со связями, неизменяемыми («замороженными») во времени.

5

Условия равновесия механической системы дает принцип виртуальных перемещений:

N F r 0.

v 1

Здесь N – число материальных точек и активных сил, приложенных к точкам системы; r – виртуальные перемещения этих точек,

подчиняющиеся линейным соотношениям между виртуальными дифференциалами, вытекающим из условий связей при «замороженном» времени.

В записи принципа виртуальных перемещений следует выразить все виртуальные перемещения через меньшее число виртуальных дифференциалов (число степеней свободы), которые можно считать независимыми, и получить, таким образом, условия равновесия в количестве, равном числу степеней свободы, приравнивая нулю коэффициенты при независимых дифференциалах.

Для голономной системы в качестве независимых принимаются виртуальные изменения обобщенных координат.

1.3. Уравнения Лагранжа II рода

Для механической системы, представленной кинетическим потенциалом, уравнения Лагранжа II рода имеют вид

где n – число обобщенных координат. Для классических (нерелятивистских) систем кинетический потенциал имеет вид

L = T – V.

В случаеконсервативнойсистемыможно пользоватьсяуравнениями:

Для активных сил достаточно общего происхождения и описания, в том числе описания приближенного, например, на основе эксперимен-

6

тальных данных, следует использовать уравнения Лагранжа II рода в форме

Для определения одной из обобщенных сил целесообразно дать приращение qi соответствующей обобщенной координате, просле-

дить за малыми перемещениями точек приложения активных сил при «замороженном» времени и подсчитать элементарную работу Ai всех

этих сил. Обобщенная сила окажется множителем в выражении

Ai Qi qi .

Квадрат скорости материальной точки массой mv при записи ее

кинетической энергии можно получить разными путями. Если компоненты скорости, соответствующие обобщенным скоростям, взаимно ортогональны, то квадрат скорости равен сумме квадратов компонент. В случае отсутствия такой ортогональности выражения декартовых координат точки можно найти через обобщенные координаты и, дифференцируя их по времени, получить взаимно ортогональные проекции скорости на оси декартовой системы координат.

1.4. Уравнения Аппеля

где n – число степеней свободы. Энергия ускорений зависит от ускорений материальных точек так же, как кинетическая энергия – от скоростей:

Целесообразно сначала ввести обобщенные координаты числом m, удовлетворяя условиям только конечных связей. Псевдоскорости s

7

вводятся как комбинации обобщенных скоростей, удовлетворяющих для неголономных систем условиям дифференциальных связей. Из определения псевдоскоростей и условий дифференциальных связей обобщенные скорости выражаются через псевдоскорости. Эти выражения дают одноразовые (при «замороженных» связях) соотношения

между виртуальными дифференциалами обобщенных координат qi и псевдокоординат s . Псевдосилы Пs можно найти из соотношения

Ускорения выражаются через псевдоускорения, псевдоскорости, обобщенные координаты и время. Эти же переменные входят в функцию Аппеля. Из вида уравнений Аппеля следует, что слагаемые функции Аппеля, не содержащие псевдоускорений, несущественны.

Полную систему уравнений дают уравнения Аппеля, дополненные выражениями обобщенных скоростей через псевдоскорости.

1.5. Потенциал обобщенных сил

Потенциальные обобщенные силы вычисляются по формуле

Qi .qi

По этим формулам при заданных обобщенных силах можно восстановить потенциал с точностью до произвольной функции времени. Необходимое и достаточное условие существования потенциала будет

Обобщенный потенциал рассматривается здесь только для обобщенных сил, не зависящих явно от времени. Если обобщенные силы имеют обобщенный потенциал, то они состоят из сил потенциальных гироскопических. Последние линейно зависят от обобщенных скоростей, а линейные формы скоростей должны иметь антисимметричную

матрицу коэффициентов ij :

8

По заданным ij можно восстановить коэффициенты линейной

формы в обобщенном потенциале. Так как уравнений для однозначного определения Пi меньше чем неизвестных, часть Пi можно выбрать

произвольно, например, из соображений симметрии.

1.6. Канонические уравнения Гамильтона

Для перехода от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона вместо обобщенных скоростей вводятся обобщенные импульсы:

pi L .

qi

Для консервативной системы pi T

qi

Канонические уравнения Гамильтона имеют вид

Функции Гамильтона и Лагранжа связаны соотношением

n

H pi qi L, i 1

где скобки над строкой означают, что соответствующие величины записаны в переменных Гамильтона. Для консервативной и обобщенноконсервативной систем функция Гамильтона представляет собой полную энергию, записанную в переменных Гамильтона:

H T .

9

1.7. Циклические координаты. Уравнения Рауса

Переменные Рауса состоят из двух групп: переменных Лагранжа

m 2, ..., n). Вводится функция Рауса R (qi , q , qi , p , t) :

m 1

где скобки над строкой означают, что соответствующие величины записаны в переменных Рауса. Уравнения Рауса состоят из двух групп:

Циклическими называют обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Рауса (а также в функции Лагранжа и Гамильтона). Если считать циклическими обобщенные координаты с индексами, то из последней группы уравнений Рауса следуют законы сохранения циклических обобщенных импульсов:

p c .

1.8. Траекторные уравнения

Траекторные уравнения Якоби имеют вид

Для консервативной системы P 2 G (h ). Если одна из обоб-

щенных координат qi оказывается циклической, то имеет место закон сохранения обобщенного импульса:

10