Аналитическая механика. Сборник задач. Учебное пособие
.pdf78.Запишите уравнения движения Рауса сферического маятника: а) с жесткой нитью; б) с упругой нитью.
79.Напишите уравнения Рауса для плоского движения двух одинаковых масс, соединенных линейной пружиной.
80.По горизонтальной площадке катится труба с шероховатым цилиндром внутри. Составьте уравнения Рауса.
81.Запишите уравнения Рауса для цепочечной карусели с люльками, отклоняющимися только в осевой плоскости.
82.Материальная точка скользит по цилиндрической поверхности. Вдоль оси цилиндра действует сила веса. Составьте уравнения Рауса.
83.Запишите уравнения Рауса для плоского движения спутника.
84.Тяжелый обруч свободно вращается вокруг своего вертикального диаметра. По обручу скользит масса. Составьте уравнения движения.
85.Легкая рамка вращается вокруг вертикальной оси. На рамке имеется направляющая, наклонная к вертикали; по направляющей скользит ползунок. Составьте уравнения Рауса.
86.Составьте уравнения Рауса для тележки с маятником.
87.Груз на железнодорожной платформе жестко расчален по горизонтали и упруго по вертикали. Составьте уравнения Рауса.
88.В двух радиальных пазах свободно вращающегося маховика скользят массы, укрепленныенапружинах. СоставьтеуравненияРауса.
89.Укажите циклические координаты при движении в пространстве двух тяготеющих масс.
90.Укажите циклические координаты пространственного движения трех тяготеющих масс.
91.Укажите циклические координаты для артиллерийского снаряда, движущегося в атмосфере.
92.Составьте уравнения Рауса плоского движения точечной массы, соединенной упругой нитью с неподвижным центром.
93.На шарнирной опоре закреплен одним концом легкий стержень. На другом его конце закреплена масса, а к ней упруго прикреплена дополнительная масса, скользящая вдоль стержня. Запишите уравнения Рауса. Силы тяжести отсутствуют.
21
2.8.Траекторные уравнения
94.Функция Якоби для консервативной системы записана через радикал. Можно ли освободиться от радикалов в уравнениях Якоби?
95.Два одинаковых шара независимо падают вертикально. Составьте уравнения Якоби.
96.Составьте уравнение Якоби для двух маховиков, один из которых вращается свободно, а другой возвращается к положению равновесия пружиной.
97.Составьте уравнение траектории по кинетическому потенциалу:
Lx2 x2 y2 .
98.Точечная масса соединена линейной пружиной с неподвижной точкой на идеальной поверхности и скользит по этой поверхности. Составьте уравнение траектории.
99.Составьте уравнение траектории плоского движения двух одинаковых тяготеющих масс, считая центр масс неподвижным.
100. Запишите уравнение траектории плоского движения материальной точки в поле сил, образованном двумя центрами тяготения.
101. Запишите уравнения траектории материальной точки в однородном поле тяжести.
102. Составьте уравнение траектории материальной точки в трехмерном центральном поле сил.
103. Груз на железнодорожной платформе жестко расчален по горизонтали и упруго по вертикали. Составьте уравнение траектории.
2.9.Вариационный принцип Гамильтона
104.С помощью принципа Гамильтона оцените соотношение между временем и максимальной высотой подъема материальной точки в поле тяжести с постоянным ускорением, используя одну или две заданные функции времени:
а) для движения в пустоте; б) для движения в среде с сопротивлением, пропорциональным
скорости.
105.Пусть потенциал точечной массы в трехмерном пространстве не зависит от декартовой координаты z. Докажите, что прямой путь, соединяющийдветочки плоскости x O y, целикомлежитвэтойплоскости.
22
106.Используя принцип Гамильтона, укажите способ получить соотношение между амплитудой и периодом колебаний массы на нелинейной пружине с антисимметричной характеристикой «сила – удлинение».
107.Консервативная система с несколькими степенями свободы имеет строгий минимум потенциала. Вблизи этого минимума потенциал представлен сходящимся рядом по степеням обобщенных координат. Воспользовавшись принципом Гамильтона, составьте уравнения малых колебаний системы.
2.10.Устойчивость движения
108.Может ли быть неустойчивым движение консервативной систе-
мы?
109.Исследуйте устойчивость по отношению к возмущениям параметра следующих процессов:
а) |
x e t , t 0 ; |
|
||||
б) |
x cosCt, t 0 . |
|
||||
110. |
Исследуйте устойчивость по параметру процессов: |
|||||
а) |
x |
|
C |
|
, t 0 ; |
|
t 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
б) |
x |
t C |
, t 0 . |
|
||
t C |
|
|||||
111. |
|
|
|
|
||
Исследуйте устойчивость при возмущениях параметра процесса: |
||||||
|
|
|
|
|
x t |
sin C d . |
|
|
|
|
|
0 |
|
112. |
Исследуйте устойчивость решений уравнения |
|||||
|
|
|
|
|
x 2 x 0 |
|
при t 0 по отношению к возмущениям параметра . |
||||||
113. |
Исследуйте устойчивость решений системы уравнений: |
|||||
x x y y 0 ; x 2 x 2y y 0 . 23
114. Исследуйте устойчивость решений системы уравнений: x x 2y 2 y 0 ;
2x 2 x y y 0 .
115. Исследуйте устойчивость нулевого решения при значениях
V 0 :
а) x x Vx Vy V 2 y 0 ;y y Vx Vy V 2 y 0 ; б) x x Vx Vy V 2 y 0 ;y 4 y Vx Vy V 2 y 0 .
116. Исследуйте устойчивость тривиального решения системы уравнений:
x x y 0 ;
y ky x 0 , k 0
взависимости от параметра a.
117.Укажите значения параметров, при которых асимптотически устойчивы решения системы уравнений:
x x x y 0 ;y y 4y x 0 .
118. Найдите область асимптотической устойчивости:
x x kx y y 0 ;y 2 y ky x x 0 .
119. Будут ли асимптотически устойчивы решения уравнения:
а) x x x x 0 ; б) x 2x 3x 4x 0 ?
120. Будет ли асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения
x 2x 3 sin x 4 tgx 0 ?
24
121. Постройте область параметров, в которой устойчиво нулевое решение системы уравнений:
x sh(x ky) ; y sin (x y).
122. Исследуйте устойчивость решения x = 0, y = 1 системы уравнений:
x k ln y x ; y ekx y .
123. Исследуйте устойчивость нулевого решения системы уравнений:
x e x cos y sin y ; y sin y sh2 x .
2.11.Формулировки задач устойчивости
124.Сформулируйте задачу об устойчивости равновесия прямолинейного стержня, сжатого продольной силой.
125.Поставьте задачу об устойчивости шарика в вертикальной струе воздуха или водяной струе фонтана.
126.Поставьте задачу об устойчивости продольного движения ракеты с жидкостным двигателем, реагирующим на подачу топлива, и упругими топливными баками.
127.Из прямолинейного лежащего на земле шланга вытекает сжатый
воздух. Сформулируйте задачу об устойчивости исходного положения шланга.
128. Объясните возможную причину неустойчивости и дайте формулировки устойчивости и неустойчивости для центробежного регулятора паровой машины.
129.Сформулируйте задачу об устойчивости вертикального падения горизонтального листа бумаги.
130.Из-за неплотного прилегания листа обшивки крыла в щель под обшивкой попадает воздух из внешнего потока. Объясните причину возможной неустойчивости обшивки и сформулируйте задачу устойчивости.
131.Сформулируйте задачу об устойчивости движения велосипеда.
25
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2008. – 264 с.
2. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. – М.: Физматлит, 2008. – 304 с.
3.Лампер Р.Е. Методическое руководство к решению задач по аналитической механике / Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1977. – 30 с.
4.Канунников А.Ю., Лампер Р.Е. Устойчивость в малом (устойчивость по Ляпунову): учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 40 с.
26
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Стандартные обозначения, принятые в условиях и решениях задач |
..................3 |
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ............................................... |
5 |
1.1. Условия связей............................................................................................... |
5 |
1.2. Виртуальные перемещения. Условия равновесия....................................... |
5 |
1.3. Уравнения Лагранжа II рода......................................................................... |
6 |
1.4. Уравнения Аппеля......................................................................................... |
7 |
1.5. Потенциал обобщенных сил......................................................................... |
8 |
1.6. Канонические уравнения Гамильтона.......................................................... |
9 |
1.7. Циклические координаты. Уравнения Рауса............................................. |
10 |
1.8. Траекторные уравнения............................................................................... |
10 |
1.9. Вариационный принцип Гамильтона......................................................... |
11 |
1.10. Устойчивость движения.............................................................................. |
12 |
1.11. Формулировки задач устойчивости ........................................................... |
13 |
2. ЗАДАЧИ ПО ТЕМАМ....................................................................................... |
14 |
2.1. Условия связей............................................................................................. |
14 |
2.2. Виртуальные перемещения. Условия равновесия..................................... |
15 |
2.3. Уравнения Лагранжа II рода....................................................................... |
16 |
2.4. Уравнения Аппеля....................................................................................... |
18 |
2.5. Потенциал обобщенных сил....................................................................... |
18 |
2.6. Канонические уравнения Гамильтона........................................................ |
19 |
2.7. Циклические координаты. Уравнения Рауса............................................. |
20 |
2.8. Траекторные уравнения............................................................................... |
22 |
2.9. Вариационный принцип Гамильтона......................................................... |
22 |
2.10. Устойчивость движения.............................................................................. |
23 |
2.11. Формулировки задач устойчивости ........................................................... |
25 |
Библиографический список.................................................................................. |
26 |
27 |
|
Левин Владимир Евгеньевич Красноруцкий Дмитрий Александрович
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Учебное пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
___________________________________________________________________________________
Подписано в печать 17.01.2017. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 1,62. Печ. л. 1,75. Изд. № 359/16. Заказ № Цена договорная
___________________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
28