Аналитическая механика. Сборник задач. Учебное пособие

1.10. Устойчивость движения

Для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости процесса по отношению к возмущениям параметра следует сопоставить малые приращения параметра с приращением функции, описывающей процесс, для всех моментов времени, указанных в условии конкретной задачи. Достаточно получить оценку сверху максимума абсолютного значения функции. В соответствии с определением устойчивости для каждой оценки этого максимума необходимо указать окрестность около выбранного значения параметра, такую, что абсолютные значения приращений параметра внутри этой окрестности обеспечивают указанную оценку максимума.

Для исследования устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений разыскиваются частные решения (предлагаемые задачи составлены для одного или двух уравнений):

Для постоянных A и B (или только A в случае одного уравнения) получаются алгебраические уравнения. Условие существования ненулевого решения дает характеристическое уравнение для собственных значений в форме равенства нулю определителя в случае двух урав-

нений или равенства нулю полинома – в случае одного уравнения. Характеристические показатели можно вычислить при невысокой

степени характеристического уравнения или, не вычисляя, определить, в какой части комплексной плоскости лежат корни уравнения.

Приведем условия асимптотической устойчивости для характеристического полинома, дающего уравнения:

a0 4 a1 3 a2 2 a3 a4 0.

Считаем a0 0 (в случае необходимости можно сменить знаки

всех слагаемых полинома). Чтобы действительные части всех корней этого уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно совместное выполнение условий (критерий Льенара и Шипара):

При исследовании устойчивости для различных значений параметров, от которых зависят коэффициенты дифференциальных уравнений, необходимо в плоскости параметров не только построить области устойчивости, но и изучить значения характеристических показателей на границах этих областей.

Если дифференциальные уравнения нелинейны, то исследование устойчивости указанного в условии задачи решения выполняется линеаризацией нелинейных функций около этого решения. При этом результаты для линеаризованных уравнений верны только в случае асимптотической устойчивости.

1.11. Формулировки задач устойчивости

При формулировке задачи устойчивости необходимо описать те механические явления и процессы, которые могут предположительно вести к неустойчивости. Желательно классифицировать механическую систему и в случае ожидаемой неустойчивости указать источник энергии возмущенного движения.

Далее следует указать тот класс отклонений от основного движения (или состояния равновесия), по отношению к которому имеет практический смысл постановка задачи устойчивости для данной механической системы, и обсудить совокупность начальных возмущений, не влияющих на последующее возмущенное движение.

Такое предварительное обсуждение должно предшествовать записи основных соотношений и исследованию задачи устойчивости.

13

2.ЗАДАЧИ ПО ТЕМАМ

2.1.Условия связей

1.Запишите условия связей для двух точечных масс, соединенных стержнем постоянной длины и скользящих по разным сторонам угла.

2.Три точечные массы шарнирно соединены двумя стержнями постоянной длины. Укажите условия связей.

3.Массы кривошипно-шатунного механизма представлены массой шарнира на конце кривошипа и массой ползуна. Укажите условия связей.

4.Запишите уравнения связей для двух масс в соседних вершинах параллелограммного механизма. В двух других вершинах – шарнирные опоры.

5.Две точечные массы находятся на окружности; третья соединена

сними стержнями, длины которых равны радиусу окружности. Составьте уравнения связей.

6.Цилиндр с маятником, подвешенным на оси, катится по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра сосредоточена на оси. Запишите условия связей.

7.Мишень и ракета движутся в одной плоскости. Найдите связи, накладываемые на движение ракеты, если она наводится:

а) на мишень; б) в точку встречи, вычисленную по положениям и скоростям

мишени и ракеты в момент наведения; в) в точку встречи, если известно время запаздывания данных о

положении и скорости мишени.

8.Запишите условие связи для плоского движения материальной точки, движущейся под постоянным углом к радиусу-вектору ее положения в неподвижной системе координат.

9.Середина каждого полоза саней скользит по направлению полоза. Запишите условия связей.

14

10.Середина конька скользит по направлению конька. Введите обобщенные координаты для движения конька и укажите дифференциальную связь.

11.Укажите связи для двух масс, соединенных упругой невесомой пружиной.

12.Спутник движется по орбите, близкой к круговой, под действием притяжения Земли и удаленных тяготеющих масс. Укажите условия связей.

13.Как выглядят уравнения связей голономной системы в обобщенных координатах?

14.Собака преследует волка, сохраняя постоянным угол, под которым он виден по отношению к направлению ее движения. Запишите условие связи.

2.2. Виртуальные перемещения. Условия равновесия

15.Укажите виртуальные перемещения точечной массы, скользящей по кривошипу, угловое движение которого задано.

16.Невесомая упругая консольная балка несет на конце массу. Укажите виртуальные перемещения при заданных движениях заделки:

а) по горизонтали; б) по вертикали.

17.Две свободные точечные массы соединены жестким стержнем, по которому скользит третья масса. Укажите ее виртуальное перемещение.

18.Точечная масса скользит по невесомому обручу, который без скольжения катится по земле. Укажитевиртуальноеперемещениемассы.

19.Запишите условие для виртуальных перемещений конца стержня, другой конец которого закреплен в кардановом подвесе.

20.На основе принципа виртуальных перемещений рассмотрите равновесие шара:

а) на вершине кругового конуса; б) в круговой конической воронке.

21.Две массы висят на нерастяжимом тросе, соединенные через блок. Одна из масс опирается на пружину. Запишите условие равновесия.

22.Составьте условие равновесия колеса обозрения с n люльками.

15

23.Три различных стержня, соединенных пружинами, частично погружены в жидкость вертикально. Стержни могут перемещаться тоже только вертикально. Составьте условия равновесия.

24.Назовем реакциями связей силы взаимодействия материальных точек с абсолютно твердыми поверхностями, вдоль которых эти точки движутся. Такие «реальные» реакции могут совершать работу на виртуальных перемещениях, например, останавливать движение из-за трения. Между тем механика построена на понятии реакций идеальных связей, работы на виртуальных перемещениях не совершающих. Означает ли это, что «идеальная» механика весьма неточна, например, не учитывает трения?

25.Доска наклонно прислонена к стене. Сила трения о стену пренебрежимо мала, а по полу постоянна. Составьте условие равновесия.

2.3.Уравнения Лагранжа II рода

26.Составьте выражение кинетической энергии тележки с подвешенным к ней маятником.

27.Составьте выражение кинетической энергии плоского движения замкнутой цепи (ромба) из четырех одинаковых масс, соединенных одинаковыми невесомыми звеньями.

28.Составьте уравнения плоского движения свободной материальной точки в полярных координатах.

29.Составьте уравнение вертикального движения маховика, подвешенного на нитях, намотанных на его ось.

30.Составьте уравнение колебаний с конечной амплитудой математического маятника, точка подвеса которого совершает заданное движение:

а) по вертикали; б) по горизонтали.

31.Длина математического маятника меняется заданным образом протяжкой нити через отверстие в точке подвеса. Запишите уравнение колебаний.

32.На одной стороне качелей – сосредоточенная масса, на другой стороне – такая же масса разделена пополам: половина закреплена на качелях, а вторая половина подвешена к ней в виде маятника. Составьте уравнения движения.

33.Механизм центробежного регулятора состоит из двух шаров, шарнирно подвешенных на вертикальной оси и также шарнирно

16

соединенных с подпружиненным ползуном, скользящим по этой оси. Составьте уравнения движения при свободной оси.

34.Масса скользит по горизонтальной направляющей под действием наклонной пружины, которая в вертикальном положении недеформирована. Составьте уравнение Лагранжа II рода и проанализируйте случай малого растяжения пружины.

35.Запишите уравнения пространственных колебаний паучка, выпускающего тонкую нерастяжимую паутинку.

36.Составьте выражение кинетической энергии колебаний уровней жидкости в сообщающихся сосудах.

37.Составьте уравнение колебаний маятника в вагоне, движущемся

спеременной скоростью.

38.На вершине рудничного копра установлен блок с пренебрежимо малой инерционностью. Через него переброшен упругий трос, соединяющий две тележки на наклонных путях. Составьте уравнения движения.

39.Точечная масса соединена двумя стержнями с шарнирными опорами, расположенными друг над другом вертикально. Нижняя опора неподвижна, верхняя представляет собой массивный ползун с вертикальной направляющей, соединенный пружиной с нижней опорой. Длины недеформированной пружины и стержней одинаковы. Составьте уравнения Лагранжа II рода.

40.К математическому маятнику упруго подвешен груз, перемещающийся относительно массы маятника только вертикально. Составьте уравнения движения.

41.К массе математического маятника упруго прикреплена дополнительная масса, скользящая вдоль подвеса. Запишите уравнения движения.

42. Закрепленная на пружине масса перемещается вертикально. К ней шарнирно присоединена стойка с массой на конце, скользящей по цилиндру, ось которого расположена под стойкой в ее вертикальном положении. Составьте уравнение движения.

43.Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной оси под действием момента сил. В трубке по заданному временному закону скользит шарик. Составьте уравнение Лагранжа II рода.

44.Тележка крана с подвешенным грузом катится по выгнутому подкрановому пути. Составьте уравнения движения.

45.На пружине подвешен груз, перемещающийся только вертикально. К грузу подвешен маятник. Составьте уравнения движения.

17

46.Составьте уравнения движения системы двух грузов, соединенных упругим тросом через тяжелый блок. Растяжение троса принять малым. Растяжение части троса, лежащей на блоке, не учитывать.

47.На горизонтальной поверхности лежат два катка, на них – доска, на ней – два катка, на них – доска. Все поверхности идеально шероховатые. К верхней доске приложена горизонтальная сила. Составьте уравнения движения.

48.Составьте уравнения движения для подвешенной одним концом цепи из одинаковых точечных масс, соединенных одинаковыми невесомыми звеньями. Движение плоское.

49.Цепочка соскальзывает со стола без трения. Запишите уравнение вертикального движения ее конца.

2.4.Уравнения Аппеля

50.Три массы, последовательно соединенные двумя пружинами, движутся вдоль прямой. Составьте уравнения Аппеля.

51.Запишите уравнения Аппеля для математического маятника с упругой нитью.

52.Две массы, соединенные стержнем, движутся по сторонам прямого угла. Одна из масс соединена с вершиной угла пружиной, недеформированной при длине, равной длине стержня. Составьте уравнения Аппеля.

53.Середина конька скользит по направлению конька. К середине конька отнесены масса и момент инерции (относительно оси, перпендикулярной поверхности и льда). Составьте уравнения движения.

54.Точечная масса скользит внутри сферической чашки. Составьте уравнения Аппеля.

55.Материальная точка скользит по сфере, пересекая меридианы под заданным углом. Составьте уравнения движения.

56.Из теоремы об изменении кинетического момента получите уравнения Эйлера вращения тела с неподвижной точкой.

2.5.Потенциал обобщенных сил

57.К потенциальной энергии консервативной системы добавлена произвольная функция времени (не влияющая на обобщенные силы). Нарушается ли теорема о сохранении полной энергии?

18

58.Будут ли потенциальными силы:

а) Q1 Asin t , Q2 ... Qn 0;

б) Q1 2q1q2t f1(t) , Q2 q12t f2 (t)?

59.Найдите обобщенный потенциал для обобщенных сил:

а) Q1 q1q2q2 , Q2 q1q2q1;

б) Q1 n q2n 1 q1n 1 q2 , Q2 n q1n 1 q2n 1 q1;

в) Q1 4q2 , Q2 1 4q1 .

60.Найдите обобщенный потенциал:

Q1 aq1 bq2 , Q2 bq1 aq2 .

61.Вычислите обобщенные силы по обобщенному потенциалу:

а) V q1q2q3 q2q3q1 q3q1q2 ; б) V (q1q2 ) q1q2;

в) V q2q1 q1q2 .

62.Найдите обобщенный потенциал сил Кориолиса в трехмерном пространстве.

2.6.Канонические уравнения Гамильтона

63.Составьте уравнения Гамильтона для материальной точки, движущейся в трехмерном пространстве:

а) в однородном поле тяжести; б) в центральном поле сил.

64.Составьте уравнения Гамильтона для плоских движений двойного маятника.

65.На концах диаметра свободно вращающегося маховика шарнирно закреплены два легких стержня с массами на концах. Запишите уравнения Гамильтона.

66.По горизонтальной окружности скользят концы оси маховика. Составьте уравнения движения.

67.Две массы центробежного регулятора шарнирно подвешены на вертикальной оси и шарнирно соединены стержнями с легким ползу-

19

ном. Составьте канонические уравнения Гамильтона при свободном вращении оси.

68.Составьте уравнения Гамильтона для материальной точки, скользящей в конической воронке.

69.Легкая рамка в виде прямоугольного треугольника свободно вращается вокруг одного из катетов. По гипотенузе скользит масса, удерживаемая пружиной. Составьте уравнения движения Гамильтона.

70.Составьте канонические уравнения Гамильтона для тележки на горизонтальных рельсах, удерживаемой упругим тросом, с подвешенным к ней маятником.

71.Составьте уравнения движения Гамильтона математического маятника с упругой нитью.

72.Составьте уравнения Гамильтона для карусели с двумя люльками, отклоняющимися только в меридиональной плоскости.

73.Составьте уравнения Гамильтона для двух одинаковых маятников, соединенных пружиной. Колебания маятников малые.

74.Составьте уравнения Гамильтона для кабины лифта и подвешенного в ней плоского маятника.

75.По теореме Донкина:

Функция Гамильтона, кроме времени и обобщенных координат, зависит еще от обобщенных импульсов. Поэтому из равенства частных производных (с обратным знаком) следует:

H L ( p1, p2 ,..., pn ) ,

где – произвольная функция. Это неверно. Найдите ошибку.

2.7. Циклические координаты. Уравнения Рауса

76.Может ли функция Гамильтона не зависеть от циклических импульсов?

77.На железнодорожной платформе упруго расчалены в горизонтальном направлении два одинаковых груза. Платформа катится свободно. Составьте уравнения Рауса.

20